邛崃市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

1． 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（ ）

A．0° A．3﹣4i

B．45° C．60° D．90°

2． 已知复数z满足（3+4i）z=25，则=（ ）

B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i

3． 若当xR时，函数f(x)a|x|（a0且a1）始终满足f(x)1，则函数y（ ）

loga|x|的图象大致是 3x

【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等． 4． 已知等差数列{an}满足2a3﹣aA．2 A．

B．4

C．8

D．16

，则

B．

p为（ ）

5． 设命题p：

+2a13=0，且数列{bn} 是等比数列，若b8=a8，则b4b12=（ ）

C． D．

6． 设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣2，0）∪（2，+∞） ∪（0，2）

D．0）（﹣2，

第 1 页，共 16 页

7． 执行下面的程序框图，若输入x2016，则输出的结果为（ ）

A．2015 B．2016 C．2116 D．2048

2

8． 函数y=2sinx+sin2x的最小正周期（ ）

A． B． C．π D．2π

9． 设m，n是正整数，多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为﹣16，则含x2

项的系数是（ A．﹣13 B．6 C．79 D．37 10．已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0，y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（ A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

11．定义：数列{an}前n项的乘积Tn=a1•a2•…•an，数列an=29﹣n，则下面的等式中正确的是（ ） A．T1=T19 B．T3=T17

C．T5=T12

D．T8=T11

12．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（ ）

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移

个单位长度

D．向左平移

个单位长度

二、填空题

13．下列四个命题：

①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点

第 2 页，共 16 页

）） ②经过空间任意三点有且只有一个平面 ③过两平行直线有且只有一个平面 ④在空间两两相交的三条直线必共面 其中正确命题的序号是 ．

14．已知函数f(x)asinxcosxsinx___________．

【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．

15．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值 ．

16．在极坐标系中，O是极点，设点A，B的极坐标分别是（2的距离是 ．

17．从等边三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+的最小值为 ．

，则这两个正方形的面积之和

，

），则O点到直线AB

21的一条对称轴方程为x，则函数f(x)的最大值为26），（3，

18．直线x2yt0与抛物线y216x交于A，B两点，且与x轴负半轴相交，若O为坐标原点，则

OAB面积的最大值为 . 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.

三、解答题

19．已知抛物线C：x2=2y的焦点为F．

（Ⅰ）设抛物线上任一点P（m，n）．求证：以P为切点与抛物线相切的方程是mx=y+n；

（Ⅱ）若过动点M（x0，0）（x0≠0）的直线l与抛物线C相切，试判断直线MF与直线l的位置关系，并予以证明．

第 3 页，共 16 页

20．已知函数f（x）=•，其中=（2cosx，（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；

（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=积．

21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：

（1）直线EF∥平面PCD； （2）平面BEF⊥平面PAD．

，且sinB=2sinC，求△ABC的面

sin2x），=（cosx，1），x∈R．

第 4 页，共 16 页

22．已知f（x）=（1+x）m+（1+2x）n（m，n∈N*）的展开式中x的系数为11．

2

（1）求x的系数取最小值时n的值．

2

（2）当x的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和．

23．已知数列{an}满足a1=，an+1=an+（Ⅰ）证明：bn∈（0，1） （Ⅱ）证明：

=

，数列{bn}满足bn=

（Ⅲ）证明：对任意正整数n有an

．

24．数列{an}中，a18，a42，且满足an22an1an0(nN*). （1）求数列{an}的通项公式； （2）设Sn|a1||a2|

第 5 页，共 16 页

|an|，求Sn.

第 6 页，共 16 页

邛崃市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：连结A1D、BD、A1B，

∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D， ∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角， ∵A1D=A1B=BD， ∴∠DA1B=60°． 故选：C．

∴CD1与EF所成角为60°．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

2． 【答案】B

解析：∵（3+4i）z=25，z=∴=3+4i． 故选：B．

3． 【答案】C

|x|【解析】由f(x)a始终满足f(x)1可知a1．由函数y==3﹣4i．

loga|x|是奇函数，排除B；当x(0,1)时，x3loga|x|0，此时y4． 【答案】D

loga|x|0，排除A；当x时，y0，排除D，因此选C． 3x【解析】解：由等差数列的性质可得a3+a13=2a8，

2

即有a8=4a8，

解得a8=4（0舍去）， 即有b8=a8=4，

2

由等比数列的性质可得b4b12=b8=16．

第 7 页，共 16 页

故选：D．

5． 【答案】A

【解析】【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，故答案为：A 6． 【答案】A 【解析】解：设g（x）=g′（x）=

，

p为：

。

，则g（x）的导数为：

∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立， 即当x＞0时，g′（x）＜0，

∴当x＞0时，函数g（x）为减函数， 又∵g（﹣x）=

=

=

=g（x），

∴函数g（x）为定义域上的偶函数， ∴x＜0时，函数g（x）是增函数， 又∵g（﹣2）=

=0=g（2），

∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（2），解得：0＜x＜2， x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（﹣2），解得：x＜﹣2， ∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）． 故选：A．

7． 【答案】D 【解析】

试题分析：由于20160，由程序框图可得对循环进行加运算，可以得到x2，从而可得y1，由于

20151，则进行y2y循环，最终可得输出结果为2048．1

考点：程序框图． 8． 【答案】C

2

【解析】解：函数y=2sinx+sin2x=2×

+sin2x=sin（2x﹣）+1，

则函数的最小正周期为故选：C．

=π，

第 8 页，共 16 页

【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为

，属于基础题．

（﹣2）+

（﹣5）=﹣16，

9． 【答案】 D

【解析】

二项式系数的性质． 【专题】二项式定理．

【分析】由含x一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m、n为正整

2

数，可得m=3、n=2，从而求得含x项的系数．

mn

【解答】解：由于多项式（1﹣2x）+（1﹣5x）中含x一次项的系数为

可得2m+5n=16 ①．

再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2， 故含x项的系数是

2

2

（﹣2）+

2

（﹣5）=37，

故选：D． 10．【答案】C

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

2222

【解析】解：由点P（x0，y0）在圆C：x+y=4外，可得x0+y0＞4，

求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=故直线和圆C相交， 故选：C．

＜=2，

【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．

11．【答案】C

9n

【解析】解：∵an=2﹣， 8+7+…+9﹣n

=∴Tn=a1•a2•…•an=2

819

∴T1=2，T19=2﹣，故A不正确

T3=221，T17=20，故B不正确 T5=230，T12=230，故C正确 T8=236，T11=233，故D不正确 故选C

第 9 页，共 16 页

12．【答案】A

个单位长度，可得y=sin3（x﹣

）=sin（3x﹣

）的图象，

【解析】解：把函数y=sin3x的图象向右平移

故选：A．

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】 ③ ．

【解析】解：①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上，故错误； ②经过空间不共线三点有且只有一个平面，故错误； ③过两平行直线有且只有一个平面，正确；

④在空间两两相交交点不重合的三条直线必共面，三线共点时，三线可能不共面，故错误， 故正确命题的序号是③， 故答案为：③

14．【答案】1 【

解

析

】

15．【答案】 5﹣4 ．

【解析】解：如图，圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3， 即：故答案为：5

﹣4．

﹣4=5

﹣4．

|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，

第 10 页，共 16 页

【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．

16．【答案】

【解析】解：根据点A，B的极坐标分别是（2）、（﹣，故AB的斜率为﹣

），

，故直线AB的方程为 y﹣

=

，

=﹣

（x﹣3），即x+3

y﹣12=0，

，

），（3，

），可得A、B的直角坐标分别是（3，

．

所以O点到直线AB的距离是故答案为：

．

【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．

17．【答案】

．

【解析】解：设大小正方形的边长分别为x，y，（x，y＞0）． 则

+x+y+

=3+

，

化为：x+y=3．

22则x+y

=，当且仅当x=y=时取等号．

∴这两个正方形的面积之和的最小值为． 故答案为：．

第 11 页，共 16 页

18．【答案】【

5123 9解

析

】

三、解答题

19．【答案】

22

【解析】证明：（Ⅰ）由抛物线C：x=2y得，y=x，则y′=x，

∴在点P（m，n）切线的斜率k=m，

∴切线方程是y﹣n=m（x﹣m），即y﹣n=mx﹣m，

2

又点P（m，n）是抛物线上一点，

2

∴m=2n，

∴切线方程是mx﹣2n=y﹣n，即mx=y+n … （Ⅱ）直线MF与直线l位置关系是垂直．

由（Ⅰ）得，设切点为P（m，n），则切线l方程为mx=y+n， ∴切线l的斜率k=m，点M（，0）， 又点F（0，）， 此时，kMF=

=== …

∴k•kMF=m×（）=﹣1，

第 12 页，共 16 页

∴直线MF⊥直线l …

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，直线垂直的条件等，属于中档题．

20．【答案】

2

【解析】解：（1）f（x）=•=2cosx+

sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，

令﹣解得﹣

+2kπ≤2x++kπ≤x≤

≤+2kπ，

+kπ，

+kπ，

+kπ]，

函数y=f（x）的单调递增区间是[﹣（Ⅱ）∵f（A）=2 ∴2sin（2A+

）+1=2，即sin（2A+

．…

）= …．

又∵0＜A＜π，∴A=∵a=

，

2222

由余弦定理得a=b+c﹣2bccosA=（b+c）﹣3bc=7 ①…

∵sinB=2sinC∴b=2c ②…

2

由①②得c=．…

∴S△ABC=

21．【答案】

．…

【解析】证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD． 又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD 所以直线EF∥平面PCD．

（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．

所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD． 因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD． 又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．

第 13 页，共 16 页

【点评】本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．

22．【答案】

【解析】 【专题】计算题．

+（11﹣m）（

﹣1）=（m﹣

2）+

【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，列出方程得到m，n的关系；利用二项展

2

开式的通项公式求出x的系数，

将m，n的关系代入得到关于m的二次函数，配方求出最小值

11

【解答】解：（1）由已知Cm+2Cn=11，∴m+2n=11，

（2）通过对x分别赋值1，﹣1，两式子相加求出展开式中x的奇次幂项的系数之和．

x2的系数为Cm2+22Cn2=

+2n（n﹣1）=．

∵m∈N*，∴m=5时，x2的系数取得最小值22， 此时n=3．

253

（2）由（1）知，当x的系数取得最小值时，m=5，n=3，∴f（x）=（1+x）+（1+2x）．

设这时f（x）的展开式为 f（x）=a0+a1x+a2x2++a5x5，

53

令x=1，a0+a1+a2+a3+a4+a5=2+3，

令x=﹣1，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣1， 两式相减得2（a1+a3+a5）=60，

故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30． 问题． 23．【答案】

【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和

第 14 页，共 16 页

【解析】证明：（Ⅰ）由bn=∴

，且an+1=an+，得，

，下面用数学归纳法证明：0＜bn＜1．

①由a1=∈（0，1），知0＜b1＜1， ②假设0＜bk＜1，则∵0＜bk＜1，∴

*

，

，则0＜bk+1＜1．

综上，当n∈N时，bn∈（0，1）； （Ⅱ）由∴

，可得，

=

， =

．

故；

（Ⅲ）由（Ⅱ）得：

，

故由

．

知，当n≥2时，

=

．

【点评】本题考查了数列递推式，考查了用数学归纳法证明与自然数有关的命题，训练了放缩法证明数列不等 式，对递推式的循环运用是证明该题的关键，考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力，是压轴题．

29nn(n5)24．【答案】（1）an102n；（2）Sn2．

n9n40(n5)【解析】

试题分析：（1）由an22an1an0，所以{an}是等差数列且a18，a42，即可求解数列{an}的通

第 15 页，共 16 页

项公式；（2）由（1）令an0，得n5，当n5时，an0；当n5时，an0；当n5时，an0，即可分类讨论求解数列Sn．

当n5时，Sn|a1||a2|29nn(n5)∴Sn2.1

n9n40(n5)|an|a1a2an9nn

2

考点：等差数列的通项公式；数列的求和．

第 16 页，共 16 页