海南省文昌中学2015届高三数学5月段考试题 文

（总分：150分，考试时间：120分钟）

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，下列每小题有且只有一个正确答案，请把正确答

案的代号，涂在答题卡上）

1．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩∁UN＝{2,4}，则N＝( ) A．{1,2,3}

B．{1,3,5}

C．{1,4,5}

D．{2,3,4}

a－ib＋i

2．已知a、b分别为直线y＝x＋1的斜率与纵截距，复数z＝在复平面上对应的点到原点i的距离为( )

A．1 B．2

*

C．4 D．2

3. 点An(n，an)(n∈N)都在函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)的图象上，则a2＋a10与2a6的大小关系为( ) A．a2＋a10>2a6 C．a2＋a10＝2a6

B．a2＋a10<2a6

D．a2＋a10与2a6的大小与a有关

4．下列命题正确的是( )

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

5．设{an}是等比数列，则“a1B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

6．某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) 1

(锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)

3A．3 B．2 C．3 D．1

1

7．知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则

916ΔPF1F2的面积等于( ) A．24

B．36

C．48

D．96

x2y2

8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)(ω>0，|φ|<ππ

，)，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( ) 631A． 2C．

B．2 2

π

) 的部分图象如图所示，如果x1，x2∈(－2

3

D．1 2

2

9．设p在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x＋px＋1＝0有实数根的概率为( ) 1

A． 5

2

B． 5

3

C． 5

4D． 5

10．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜

的产量、成本和售价如下表所示.

黄瓜 韭菜 年产量/亩 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2万元 0.9万元 每吨售价 0.55万元 0.3万元 为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( ) A．50，0

11．已知a为常数，若曲线y＝ax＋3x－lnx存在与直线x＋y－1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是

( )

1

A．[－，＋∞)

2C．[－1，＋∞)

1

B．(－∞，－]

2D．(－∞，－1]

2

B．30，20 C．20，30 D．0，50

19

12．已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则＋的最小值为( )

mn8A． 3

11 B． 4

14C．

5

17D．

6

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答卷上）

2

13．图1是某学生的数学成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1、A2、„、A14.图2是统计茎

叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是________．

114．已知向量a＝8，x，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为________． 2

15．设函数f(x)＝ x2＋bx＋c，x≤0，

2， x>0，

若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的解的

个数是________．

16．已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2

*

n－1

，n∈N，设数列{an}的前n项和为Sn.若不等式Sn>kan－2对一

*

切n∈N恒成立，则实数k的取值范围是________．

三、解答题：本大题共６小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

在ABC中，A，tan(AB)7，AC32. 4（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）求ABC的面积. 18.（本小题满分12分）

某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

3

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人

的概率；

（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是

否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

P(χ2≥k) k 0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

19．（本小题满分12分）

如图，DC平面ABC，EB//DC，AC=BC=EB=2DC=2，ACB90，P、Q分别为DE、AB的中点。 （1）求证：PQ//平面ACD；

（2）求几何体B—ADE的体积；

20．（本小题满分12分）

x2y23已知椭圆C:221(ab0)的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，且经过点P(1,).

2ab（1）求椭圆C的方程；

（2）设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平

行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由.

21．(本小题满分12分)

4

设函数f(x)12xlnx，其中a 1为大于零的常数。 2a（1）当a1时，求函数f(x)的单调区间和极值；

1（2）当x[1,2]时，不等式f(x)2恒成立，求a的取值范围。

选考题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题

号。

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径，AECD于点E,DA平分BDE. （1）证明：AE是⊙O的切线 （2）如果AB4，AE2,求CD.

23.（本小题满分10分）选修4－4:坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1

xmtcos的极坐标方程为4cos，曲线C2的参数方程是 ytsin （t为参数，0），射线,,(与曲线C1交于极点O外的三点A，B，C.

44（1）求证：|OB|+|OC|=2|OA|; （2）当

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数 f(x)2x12xa

12时，B，C两点在曲线C2上，求m与的值.

13时，求不等式 f(x)6的解集； （1）a＝－

5

1（2）若关于x 的不等式 f(x)a恒成立，求实数a的取值范围 [ 6

2014—2015学年度第二学期 高三年级数学(文科)段考试题参考答案 第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题

题号 选项 二、填空题

5

13. 10 14. 4 15. 3 16. (－∞，) 3三、解答题

17．解：(I)在ABC中,因为ABCπ

所以tanCtan[π(AB)]tan(AB) 因为tan(AB)7,所以tanC7 sinCtanC772cosC又 解得|sinC| 1022sinCcosC11 B 2 B 3 D 4 C 5 C 6 D 7 C 8 C 9 C 10 B 11 A 12 A 因为C(0,π), 所以sinC(II) 因为A72 101tanBπtan(AB)7 ,所以

1tanB433sinB 因为C(0,π), 所以

45解得tanB由正弦定理

bc,代入得到c7 sinBsinC11π21bcsinA 327sin 2242所以SABC18. 解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．

所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，

(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．

其中，至少1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是

7

(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)． 7

故所求的概率P＝.

10

(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：

生产能手 非生产能手 合计 25周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 所以得

2

＝100×（15×25－15×45）2560×40×30×70＝14

≈1.79.

因为1.79<2.706，

所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

19．（本小题满分12分）

（1）证明：取BC的中点M，连接PM,QM，易证平面PQMM⊥平面平面ACD

又PQ平面PQM.PQM⊥平面平面ACDACD„„„„„„„„„„„„（４分）

（2）DC平面ABCACDC,又ACBC,AC平面BCDE„（９分）

S14BADESA-BDE3SBDEAC3 „„„„„„„„„„„„„„（12分）

20．（本小题满分12分）

解：（1）c1,b2a32,a2b2c2 „„„„„„„„„„„„„„„„（2分）

a2,b3， „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（3分）

 椭圆C的方程为x24y231 „„„„„„„„„„„„„（4分）

（2）假设存在符合条件的点M(x0,y0),

设直线l的方程为xmy1 „„„„„„„„„„„„„„„„（5分）

8

由 xmy13x4y12得:(3m24)y26my90，022 y6m1y23m24，AB的中点为43m3m24,3m24 „（7分） 四边形AMBF2为平行四边形

x014AB与MF2的中点重合，即： 23m24 y03m23m242M(3m123m24,6m3m24) „„„„„„„„„„„„„（9分）

把点M坐标代入椭圆C的方程得:27m424m2800 解得m2209 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（11分） 存在符合条件的直线l的方程为：y3510(x1) „„„„（12分）

21．(本小题满分12分)

解析：(1)当a1时，f(x)x1x21xx，

令f(x)0得x1，令f(x)0得0x1 故函数f(x)的单调递增区间为(1,)，减区间为(0,1). 从而f(x)在(0,)的极小值为f(1)=

12，f(x)无极大值„„„„（4分） （2）f(x)11x2aaxxax(x0). f(x)2在[1,2]上恒成立f(x)在[1,2]上的最小值fmin(x)2.a0,令f(x)0得xa

①当0a1，即0a1时，函数f(x)在[1,2]上递增，

f(x)的最小值为　f(1)12a2,解得0a14;„„„„„（6分）

②当a2,即a4时，函数f(x)在[1，2]上递减， f(x)的最小值为f(2)2aln 9

22,无解.(x)在[1，2]上递减，f(x)的最小值为f(2)2aln22,无解. „„„„„„„„（8分） ③当1a2,即1a4时，函数f(x)在[1,a]上递减，在[a,2]上递增，所以 所以f(x)的最小值为f(a)1212lna2,无解.

„„„（10分） 综上，所求a的取值范围为(0,14).„„„„„„„„„„„（12分）

22．选修4－1：几何证明选讲

解：（1）连结OA，则OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA，

又∠ODA＝∠ADE，所以∠ADE＝∠OAD，所以OA∥CE． 因为AE⊥CE，所以OA⊥AE．

所以AE是⊙O的切线. „„„„„„„„„„„„„„„„（5分） （2）由（Ⅰ）可得△ADE∽△BDA，

所以

AEABAD＝BD，即2AD＝4BD，则BD＝2AD， 所以∠ABD＝30，从而∠DAE＝30，所以DE＝AEtan30＝233． 由切割线定理，得AE2

＝ED·EC， 所以4＝233 (233＋CD)，所以CD＝433. „„„„„„„„（10分）

23. 选修4－4：坐标系与参数方程

„„„„„„„„„„„„（2分）

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（5分）

„„„„„„„（7分）

„„„„（9分）

10

时，函数f „„„„„„„„„„„„（10分）

24. 选修4—5：不等式选讲

解：(1) 当a＝－3 时，f(x)6 为2x12x3≤6，

3等价于 x或1x32 22 2x12x362x1(2x3)6或 x1 „„„„„„„„„„„„„„„（3分） 2(2x1)(2x3)6解得

32x2或132x2或1x2， 所以不等式f(x)6的解集为[-1，2]； „„„„„„„„„„（5分） (Ⅱ) 因为|2x1||2xa|2x1(2xa)=|1a|， „„„„„„（7分）

所以a＜|1a|，解得a12 实数a的取值范围（-，

12）． „„„„„„„„„„„„„„（10分）

11