全称量词和特称量词之欧阳术创编

3．1全称量词与全称命题

时间：2021.02.02 创作：欧阳术 3．2存在量词与特称命题

明目标、知重点1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义.2.会判断全称命题和特称命题的真假． 1．全称量词与全称命题

在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．含有全称量词的命题，叫作全称命题． 2．存在量词与特称命题

在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词． 含有存在量词的命题，叫作特称命题． 探究点一全称量词与全称命题

思考1下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ (1)x>3；

(2)2x＋1是整数；

(3)对所有的x∈R，x>3；

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．

答语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．

小结短语“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．像这样含有全称量词的命题，叫作全称命题． 思考2如何判定一个全称命题的真假？

答要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(即举反例)． 例1判断下列全称命题的真假： (1)所有的素数是奇数； (2)任意x∈R，x2＋1≥1；

(3)对每一个无理数x，x2也是无理数． 解(1)2是素数，但2不是奇数．

所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题． (2)任意x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.

所以，全称命题“任意x∈R，x2＋1≥1”是真命题．

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

(3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数．

所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．

反思与感悟判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．

跟踪训练1试判断下列全称命题的真假： (1)任意x∈R，x2＋2>0；(2)任意x∈N，x4≥1. (3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.

解(1)由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“任意x∈R，x2＋2>0”是真命题．

(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“任意x∈N，x4≥1”是假命题．

(3)由于任意α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题． 探究点二存在量词与特称命题

思考1下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ (1)2x＋1＝3；

(2)x能被2和3整除；

(3)存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3；

(4)至少有一个x0∈Z，使x0能被2和3整除．

答(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．

小结“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题．

思考2怎样判断一个特称命题的真假？

答要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题是假命题．

例2判断下列特称命题的真假：

(1)有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0； (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线； (3)有些整数只有两个正因数．

解(1)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在．所以，特称命题“有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0”是假命题．

(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．

(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

整数只有两个正因数”是真命题．

反思与感悟特称命题是含有存在量词的命题，判断一个特称命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可． 跟踪训练2判断下列命题的真假： (1)存在x0∈Z，x30<1；

(2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)有一个实数α，tanα无意义； π(4)存在x0∈R，cosx0＝2.

解(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1， ∴“存在x0∈Z，x30<1”是真命题． (2)真命题，如梯形．

π

(3)真命题，当α＝2时，tanα无意义． (4)∵当x∈R时，cosx∈[－1,1]， π

而2>1，∴不存在x0∈R， π

使cosx0＝2，

∴原命题是假命题．

探究点三全称命题、特称命题的应用

思考不等式有解和不等式恒成立有何区别？

答不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

称命题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题．

例3(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；

(2)令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对任意x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．

解(1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，

77

解得a≥4，∴实数a的取值范围为4，＋∞.



(2)∵对任意x∈R，p(x)是真命题． ∴对任意x∈R，ax2＋2x＋1>0恒成立， 当a＝0时，不等式为2x＋1>0不恒成立， 当

a>0，

a≠0时，若不等式恒成立，则

Δ＝4－4a<0，

∴a>1.

反思与感悟有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别．

跟踪训练3(1)对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立，求实数m的取值范围；

(2)存在实数x，不等式sinx＋cosx>m有解，求实数m的取值范围．

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

解(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R， ∵y＝sinx＋cosx＝π2sinx＋4≥－

2，

又∵任意x∈R，sinx＋cosx>m恒成立， ∴只要m<－2即可．

∴所求m的取值范围是(－∞，－2)． (2)令y＝sinx＋cosx，x∈R， ∵y＝sinx＋cosx＝π2sinx＋4∈[－

2，2]．

又∵存在x∈R，sinx＋cosx>m有解， ∴只要m<2即可，

∴所求m的取值范围是(－∞，2)． 1．下列命题中特称命题的个数是()

①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sinx|≤1. A．0B．1C．2D．3 答案B

解析命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个特称命题．

2．下列命题中，不是全称命题的是()

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．每一个向量都有大小

D．一定存在没有最大值的二次函数 答案D

解析D选项是特称命题． 3．下列命题中的假命题是()

A．存在x∈R，lgx＝0B．存在x∈R，tanx＝1 C．任意x∈R，x3>0D．任意x∈R,2x>0 答案C

π

解析对于A，当x＝1时，lgx＝0，正确；对于B，当x＝4时，tanx＝1，正确；对于C，当x＜0时，x3＜0，错误；对于D，任意x∈R,2x＞0，正确．

4．用量词符号“任意”“存在”表述下列命题： (1)凸n边形的外角和等于2π. (2)有一个有理数x0满足x20＝3.

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.

解(1)任意x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π. (2)存在x0∈Q，x20＝3.

(3)任意α∈R，sin2α＋cos2α＝1. [呈重点、现规律]

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．

2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．

3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题． 一、基础过关 1．下列命题：

①中国公民都有受教育的权利；

②每一个中学生都要接受爱国主义教育； ③有人既能写小说，也能搞发明创造； ④任何一个数除0，都等于0. 其中全称命题的个数是() A．1B．2C．3D．4 答案C

解析命题①②④都是全称命题． 2．下列特称命题是假命题的是() A．存在x∈Q，使2x－x3＝0

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C．有的素数是偶数 D．有的有理数没有倒数 答案B

13

解析对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋2)2＋4>0恒成立． 3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x>0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．下列说法正确的是() A．四个命题都是真命题 B．①②是全称命题 C．②③是特称命题

D．四个命题中有两个假命题 答案C

解析①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．

4．下列全称命题中真命题的个数为() ①负数没有对数；

②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab； ③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点； ④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. A．1B．2C．3D．4

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

答案C

解析①②③为真命题．

5．下列全称命题为真命题的是() A．所有的素数是奇数 B．任意x∈R，x2＋3≥3 C．任意x∈R,2x－1＝0 D．所有的平行向量都相等 答案B

6．下列命题中，真命题是________． ①存在

πx0∈0，2，sinx0＋cosx0≥2； 

②任意x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1；

③存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数； ④任意

π

x∈2，π，tanx>sinx.



答案②③ 解析对于①， 任意

π

x∈0，2，sinx＋cosx＝



π

2sinx＋4≤



2，

∴此命题为假命题；

对于②，当x∈(3，＋∞)时，x2－2x－1＝(x－1)2－2>0， ∴此命题为真命题；

对于③，当m＝0时，f(x)＝x2为偶函数，

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

∴此命题为真命题； 对于④，当

πx∈2，π时，tanx<0∴此命题为假命题．

7．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，并判断其真假． (1)存在一条直线，其斜率不存在；

(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解； 1

(3)存在实数x0，使得＝2.

x20－x0＋1解(1)是特称命题，是真命题． (2)是全称命题，是假命题． (3)是特称命题，是假命题． 二、能力提升

8．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案(－∞，3]

解析对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3. 9．给出下列四个命题：

①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形； ③存在x，y∈R，x2＋y2≤1；

④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1. 其中全称命题是________．

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

答案①②④

解析①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”．

10．四个命题：①任意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________． 答案0

解析x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0， ∵当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立， ∴①为假命题．

当且仅当x＝±2时，x2＝2， ∴不存在x∈Q，使得x2＝2， ∴②为假命题，

对任意x∈R，x2＋1≠0， ∴③为假命题，

4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， 即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立， ∴④为假命题．

∴①②③④均为假命题． 11．判断下列命题的真假： (1)对任意x∈R，|x|>0；

(2)对任意a∈R，函数y＝logax是单调函数；

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

(3)对任意x∈R，x2>－1； (4)存在a∈{向量}，使a·b＝0.

解(1)由于0∈R，当x＝0时，|x|>0不成立，因此命题“对任意x∈R，|x|>0”是假命题．

(2)由于1∈R，当a＝1时，y＝logax无意义，因此命题“对任意a∈R，函数y＝logax是单调函数”是假命题． (3)由于对任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2>－1. 因此命题“对任意x∈R，x2>－1”是真命题．

(4)由于0∈{向量}，当a＝0时，能使a·b＝0，因此命题“存在a∈{向量}，使a·b＝0”是真命题． 12．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.

(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；

(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．

解(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.

(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)． 若存在实数x使不等式m>f(x)成立，

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02

只需m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4， 所以f(x)min＝4，所以m>4.

故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)． 三、探究与拓展

13．若任意x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．

解①当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；

②当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．

又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1. 综上所述，当m＝0时，a∈R； 当m≠0时，a∈[－1,1]．

时间：2021.02.02 创作：欧阳术 欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.02