学习目标 1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．
知识点一 正态曲线与正态分布
11．我们称f(x)＝eσ2π
(x)222，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象
为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．
思考1 正态曲线f(x)＝
1
e2πσ
(x)222，x∈R中的参数μ，σ有何意义？
答案 μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝μ；σ>0表示标准差，D(X)＝σ2.一个正态密度函数由μ，σ唯一确定，π和e为常数，x为自变量，x∈R.
思考2 若随机变量X～N(μ，σ2)，则X是离散型随机变量吗？
答案 若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a 1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方． 2．曲线与x轴之间的面积为1. 3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． 4．曲线在x＝μ处达到峰值1. σ2π5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. 7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 知识点三 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 1．正态曲线中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( ) 2．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．( ) 3．正态曲线可以关于y轴对称．( ) 1 4．若X～N(μ，σ2)，则P(X<μ)＝.( ) 2 一、正态曲线 例1 (1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝ ，方差σ2＝ . (2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是( ) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同 反思感悟 利用正态曲线的特点求参数μ，σ (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ. 1 (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ. σ2π 跟踪训练1 (多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有( ) A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升 C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 二、利用正态分布求概率 例2 设ξ～N(1,22)，试求： (1)P(－1≤ξ≤3)； (2)P(3≤ξ≤5)． 延伸探究 若本例条件不变，求P(ξ>5)． 反思感悟 利用正态分布的对称性求概率 由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率 相等． 跟踪训练2 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( ) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 三、正态分布的应用 例3 有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求： (1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比； (2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ 反思感悟 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法 (1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值． (2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化． (3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果． 跟踪训练3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现在已知该班同学 根据对称性求正态曲线在某个区间内取值的概率 典例 已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)等于( ) A．0.477 B．0.954 C．0.628 D．0.977 [素养提升] 借助图象较直观的分析出P(ξ>2)与P(－2≤ξ≤2)概率的关系，提升了学生的直观想象素养． 1．设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝体的均值与标准差分别是( ) A．10与8 C．8与10 2．正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为( ) A．P1＝P2 B．P1 3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) (附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.45%) B．10与2 D．2与10 1 e8π(x10)28，则这个正态总 A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 4．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ 1．知识清单：(1)正态曲线及其特点．(2)正态分布．(3)正态分布的应用，3σ原则． 2．方法归纳：转化化归、数形结合． 3．常见误区：概率区间转化不等价． 1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是( ) A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件 B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件 C．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件 D．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件 2．(多选)已知三个正态密度函数φi(x)＝列结论正确的是( ) 1 eσ2π(xi)22i2(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则下 A．σ1＝σ2 C．μ1＝μ2 3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ<4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于( ) A．0.16 C．0.68 B．0.32 D．0.84 B．μ1>μ2 D．σ2<σ3 1 10，，则该随机变量的4．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是2方差等于( ) 2 A．10 B．100 C. D.π 5.如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( ) 2 π A．σ1>1>σ2>σ3>0 C．σ1>σ2>1>σ3>0 6．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X≤1)＝0.5，则实数a的值为 ． 7．已知随机变量X～N(2，σ2)，如图所示，若P(X 8．已知X～N(4，σ2)，且P(2 10．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？ 11．在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( ) A．1 500名 B．1 700名 C．4 500名 D．8 000名 12．一批电阻的电阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000,52)，现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，可以认为( ) A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 13．某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100,1)．现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为( ) 444341A. B. C. D. 455545 14．已知随机变量X～N(2,22)，且aX＋b(a>0)服从标准正态分布N(0,1)，则a＝ ，b＝ . 215．(多选)设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ2)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中 错误的是( ) A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t) D．对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t) 16．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)； (2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求： ①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ ②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每位农民的年收入互相独立，记这1 000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为ξ，求E(ξ)． 附参考数据：6.92≈2.63， 若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容