教师: 学生: 日期:2013-03-09星期:六 时段:08:00—10:00
课 题 因数、倍数 年级 五年级 学习目标与 2、掌握2、3、5倍数的特征 考点分析 学习重点 学习方法 重点：2、3、5倍数的特征 1、掌握因数、倍数、质数、合数、公因数、公倍数的概念 3、会找最大公因数和最小公倍数 难点：找公因数、公倍数的特征 讲练结合 学习内容与过程 一、倍数与因数的关系 【知识点1】倍数与因数之间的关系是相互的，不能单独存在。 例如：6是倍数、3和2是因数。（×）改正：6是3和2的倍数，3和2是6的因数。 练习： （1）8×5=40，（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。 （2）因为36÷9=4，所以（ ）是（ ）和（ ）的倍数，（ ）和（ ）是（ ）的因数。 （3）在18÷6=3中，18是6的（ ），3和6是（ ）的（ ）。 （4）在14÷7=2中，（ ）能被（ ）整除，（ ）能整除（ ），（ ）是（ ）的倍数，（ ）是（ ）的因数。 （5）若A÷B=C（A、B、C都是非零自然数），则A是B的（ ）数，B是A的（ ）数。 （6）如果A、B是两个整数（B≠0），且A÷B＝2，那么A是B的 ，B是A的 。 （7）判断并改正：因为7×6=42，所以42是倍数，7是因数。 （ ） 因为15÷5=3，所以15和5是3的因数，5和3是15的倍数。（ ） 5是因数，15是倍数。（ ） 甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数。 （ ） （8）甲数×3=乙数，乙数是甲数的（ ）。 A、倍数 B、因数 C、自然数 【知识点2】倍数因数只考虑正数，小数、分数等不讨论倍数、因数的问题。 例如：0.6×5=3，虽然可以表示0.6的5倍是3但是，0.6是小数是不讨论倍数因数问题。 因此类似的：因为0.6×5=3，所以3是0.6和5的倍数。是错误的说法。 练习： （1）有5÷2=2.5可知（ ） A、5能被2除尽 B、2能被5整除 C、5能被2整除 D、2是5的因数，5是2的倍数 （2）36÷5=7……1可知（ ） A、5和7是36的因数 B、5能整除36 C、36能被5除尽 D、36是5的倍数 （3）属于因数和倍数关系的等式是（ ） A、2×0.25＝0.5 B、2×25＝50 C、2×0＝0 【知识点3】没有前提条件确定倍数与因数
例如：36的因数有（ ）。
确定一个数的所有因数，我们应该从1的乘法口诀一次找出。如：1×36=36、2×18=36、3×12=36、4×9=36、6×6=36因此36的所有因数为：1、2、3、4、6、9、12、18、36重复的和相同的只算一个因数。 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。 例如：7的倍数（ ）。
确定一个数的倍数，同样依据乘法口诀，如：1×7=7、2×7=14、3×7=21、4×7=28、5×7=35……还有很多。 因此7的倍数有：7、14、21、28、35、42……
一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。 练习：
（1）20的因数有： （2）45的因数有： （3）24的倍数有： （4）17的倍数有： （5）下面的数，因数个数最多的是（ ）。 A、18 B、 36 C、40
（6）判断并改正：14比12大，所以14的因数比12的因数多 （ ） 1是1，2，3，4，5… 的因数 （ ）
一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。 （ ） 一个数的最小倍数是它本身 （ ）
12是4的倍数，8是4的倍数，12与8的和也是4的倍数。 （ ） 凡是8的倍数也一定是2的倍数。（ ） （7）幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了32颗糖平均分给他们，正好分完。小朋友的人数可能是多少？ （8）小红到超市买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了3本同样的日记本，售货员阿姨说应付35元，小红认为不对。你能解释这是为什么吗？
【知识点4】有前提条件的情况下确定倍数与因数 例如：25以内5的倍数有（ 5、10、15、20、25 ）。特别注意前提条件是25以内！ 例如：5、1、20、35、40、10、140、2
以上各数中，是20的因数的数有（ ）；是20的倍数的数有（ ）；既是20的倍数又是20的因数的数有（ ）。
首先我们应该明确20的因数有哪些，然后在上面的数中一次找出，特别注意没有在以上数字中出现的因数是不能填入括号的！ 练习：
（1）100以内19的倍数有：
（2）在4，6，8，10，12，16，18，20，22，24，28，32，36 中4的倍数：
36的因数： （3）一个数既是6的倍数，又是60的因数，这个数可能是 （4）用1、5、6、8、9组成的数中，是3的倍数的数有
是2的倍数的数有 。
【知识点3】关于倍数因数的一些概念性问题
一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。
1是任一自然数（0除外）的因数。也是任一自然数（0除外）的最小因数。 一个数的因数最少有1个，这个数是1。除1以外的任何整数至少有两个因数（0除外）。 一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。 一个数的最小倍数=一个数的最大因数=这个数 练习： （1）一个数的倍数个数是（ ），最小的倍数是（ ），（ ）最大的倍数。 （2）一个数的因数的个数是（ ），最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）。 （3）在研究因数和倍数时，我们所说的数一般指的是（ ）。 （4）判断并改正：一个数的因数都比他的倍数小。 （ ） 1是所有的自然数的因数。 （ ） 一个数的因数一定小于他本身。 （ ） 一个数的倍数一定比他的因数大。 （ ） 任何一个数的倍数个数一定比因数个数多。 （ ） 二、2、3、5的倍数的特征 【知识点1】2、3、5的倍数特征 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。例如：202、480、304，都能被2整除。 个位上是0或5的数，是5的倍数。例如：5、30、405都能被5整除。 一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如：12、108、204都能被3整除。 个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数。例如：80、20、70、130等。 个位上是0且各位数字的和是3的倍数，那么这个数既是2的倍数又是3和5的倍数。例如：120、90、180、270等。 自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。也就是说是2的倍数的数也叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数也叫做奇数。（因此在自然数中，除了奇数就是偶数） 偶数＋偶数=偶数 偶数－偶数=偶数 偶数×偶数=偶数 偶数＋奇数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数×奇数=偶数 奇数＋奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 奇数×奇数=奇数 奇数－奇数=偶数 无论多少个偶数相加都是偶数 偶数个奇数相加是偶数 奇数个奇数相加是奇数 练习： （1）在 27、68、44、72、587、602、431、800中，把奇数和偶数分别填在相应的圈内。 奇数 偶数 （2）按要求填数。 3的倍数： 2 ，3 ， 1 ， 7 4 ， 8 6 ， 4 6。 2和3的倍数： 4 ， 1 ，6 ， 4 ，9 ， 5 ， 6 。 2、3和5的倍数： 0， 2 。 （3）写出5个3的倍数的偶数： 写出3个5的倍数的奇数： （4）猜猜我是谁。 我比10小，是3的倍数，我可能是（ ）。 我在10和20之间，又是3和5的倍数，我是（ ）。 我是一个两位数且是奇数，十位数字和个位数字的和是18，我是（ ）。 （5）一个六位数548 能同时被3、4、5整除，这样的六位数中最小的一个是（ ）。 一个四位数698 ，如果在个位上填上数字（ ）。那么这个数既是2的倍数，又是5的倍数。 117 既是3的倍数，又是5的倍数；249 既是2的倍数，又是3的倍数。 （6）把下面的数按要求填到合适的位置。 435、27、65、105、216、720、18、35、40 2的倍数（ ）； 3的倍数（ ）； 3的倍数（ ）； 2、5的倍数（ ）； 2、3的倍数（ ）； 2、3、5的倍数（ ）。 （7）同时是2和3的倍数中，最小的是（ ），两位数中最大的是（ ）。 （8）能同时被２、３和５整除的最小三位数是_ _，最大两位数是 _ _，最小两位数是_ __，最大三位数是_ _。 （9）三个连续偶数的和是72，这三个偶数分别是（ ）、（ ）和（ ）。 （10）226至少增加（ ）就是3的倍数，至少减少（ ）就是5的倍数。 （11）用5、6、8排成一个三位数且是2的倍数，再排成一个三位数，使他有因数5，各有几种排法？这些数中有3的倍数吗？ （12）在（ ）里填上一个数，使87（ ）是3的倍数，共有（ ）种填法。 A、1 B、2 C、3 D、4 最小的四位奇数比最大的三位偶数大（ ）。 A、113 B、13 C、3 A B是一个三位数，已知A+B=14，且A B是3的倍数， 中可能填的数有（ ）个。 A、1 B、2 C、3 D、4 （13）判断并改正：两个奇数的和，可能是偶数。（ ） 最小的奇数是1，最小的偶数是2.（ ） 一个自然数不是奇数就是偶数。（ ） 个位上是3、6、9的数都是3的倍数。（ ） 是3的倍数的数一定是9的倍数，是9的倍数的数一定是3的倍数。（ ） 偶数的因数一定比奇数的因数多。 （ ） 【知识点2】一些特殊数的倍数的特征 一个数各位数上的和能被9整除，这个数就是9的倍数。 但是，能被3整除的数不一定能被9整除；能被9整除的数一定能被3整除。 一个数的末两位数能被4整除，这个数就是4的倍数。例如：16、404、1256都是4的倍数。 一个数的末两位数能被25整除，这个数就是25的倍数。例如：50、325、500、1675都是25的倍数。 一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就是8（或125）的倍数。例如：1168、4600、5000、12344都是8的倍数，1125、13375、5000都是125的倍数。 如果a和b都是c的倍数，那么a－b和a＋b一定也是c的倍数 如果a是c的倍数，那么a乘以一个数（0除外）后的积也是c的倍数 练习： （1）五位数□153□能同时被5和9整除，这样的六位数有（ ）、（ ）。 （2）六位数□1576□能同时被55整除，这样的六位数有（ ）、（ ）。 （3）一个比20小的偶数，他有因数3，又是4的倍数，这个数是（ ）。 【知识点3】最大公因数与最小公倍数 由于一个数的因数个数是有限的而且最大的因数是这个数本身，最小的因数都是1.因此，几个数公共的因数也只考虑其最大的公共因数，而不考虑最小的公共因数。 例如：12、16、18的最大公因数 12的因数有：1、2、3、4、6、12 公共得因数有：1、2 16的因数有：1、2、4、8、16 18的因数有：1、2、3、6、9、18 因此12、16、18的最大的公共因数即最大公因数是：2 练习： （1）12的约数有（ ）；18的约数有（ ）；其中（ ）是12和 18的公约数；它们的最大公约数是（ ）。 （2）求下面数的最大公约数 24和36 54和72 7和63 12、18、36 （3）长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料)多少块？ （4）动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子,每只可得多少粒. 同样由于一个数的倍数个数是无限的，但其最小的倍数是他本身，因此在求几个数的公倍数时只能考虑其最小的公共倍数。 例如：2、4、5的最小公倍数 2的倍数有：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、…… 4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、…… 5的倍数有：5、10、15、20、25、30、35、40、…… 公共的倍数有：20、40…… 所以2、4、5的最小公倍数是：20 练习： （1）写出100以内的4的倍数有（ ）；100以内的6的倍数有（ ）；它们的公倍数有（ ）；它们的最小公倍数是（ ）。 （2）210与330的最小公倍数是最大公约数的_____倍. （3）是2、3、5的倍数的最小三位数是（ ）。一个数是5的倍数，又有因数3，也是7的倍数，这个数最小是（ ）。 （4）求下面数的最小公倍数 12和18 13和11 13.和65 6、7、21 （5）一串珠子，5粒5粒数，6粒6粒数，7粒7粒数，8粒8粒数都正好数完，这串珠子至少有多少粒？ （6）在1～1999中的自然数中，是3的倍数，又是5的倍数的数一共有多少个？ （7）能被3、7、8、11四个数同时整除的最大六位数是多少？ （8）一堆棋子，6个6个地数余4个，9个9个地数余4个，10个10个地数余8个，这堆棋子至少有多少个？ （10）判断并改正：有因数2，同时又是5的倍数的数一定是10的倍数。（ ） 三、质数和合数 【知识点1】质数和合数的相关定义 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数） 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。 如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数（两个因数）、合数（大于两个因数）和1（1个因数）。 100百以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。共25个。 除1以外所有的质数都是奇数。 除1以外任意两个质数的和都是偶数 最小的质数是2，最小的合数是4 质数×质数=合数 合数×合数=合数 质数×合数=合数 练习： （1）像2、3、5、7这样的数都是（ ），像10、6、30、15这样的数都是（ ）。 （2）20以内的质数有（ ），合数有（ ）。 （3）自然数（ ）除外，按因数的个数可以分为（ ）、（ ）和（ ）。 （4）在16、23、169、31、27、54、102、111、97、121这些数中，（ ）是质数，（ ）是合数。 （5）用A表示一个大于1的自然数，A2必定是（ ）。A+A必定是（ ）。 （6）一个四位数，个位上的数是最小的质数，十位上是最小的自然数，百位上是最大的一位数，最高位上是最小的合数，这个数是（ ）。 （7）两个连续的质数是（ ）和（ ）；两个连续的合数是（ ）和（ ） （8）两个质数的和是12，积是35，这两个质数是（ ） A. 3和8 B. 2和9 C. 5和7 （9）判断并改正：一个自然数不是质数就是合数。（ ） 所有偶数都是合数。（ ） 一个合数的因数的个数比一个质数的因数的个数多。（ ） 所有质数都是奇数。（ ） 两个不同质数的和一定是偶数。（ ） 三个连续自然数中，至少有一个合数。（ ） 大于2的两个质数的积是合数。（ ） 7的倍数都是合数。（ ） 20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。（ ） 2是偶数也是合数。（ ） 1是最小的自然数，也是最小的质数。（ ） 最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。（ ） （10）下面是一道有余数的整数除法算式：A÷B=C… R 1既不是质数也不是合数。 （ ） 个位上是3的数一定是3的倍数。（ ） 所有的偶数都是合数。 （ ） 所有的质数都是奇数。 （ ） 两个数相乘的积一定是合数。 （ ） （11）写出一些三位数，这些数都同时是2、3、5的倍数。（每种写两个数）（6%） ①有两个数字是质数： ②有两个数字是合数： ③有两个数字是奇数： 【知识点2】分解质因数（相加和相乘） 把一个合数分成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数， 例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。 分解质因数，应该从最小的质数开始试积，直到每个因数都是质数时为止。 例如：24=2×12 24=3×8 2×6 因此24=2×2×2×3 2×4 2×3 2×2 42=（2）+（40）=（3）+（39）=（5）+（37） × × √ 练习： （1）把48、51、28用几个质数相乘的形式分别表示出来。 （2）下列的数可以用那两个质数的和表示，并总结规律。 9=（ ）+（ ） 42=（ ）+（ ） 38=（ ）+（ ） 80=（ ）+（ ） 50=（ ）+（ ） 62=（ ）+（ ） （3）用质数填空，质数不能重复 18=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）＋（ ）＋（ ） 12=（ ）×（ ）×（ ） 30=（ ）×（ ）×（ ） 8＝（ ）×（ ）×（ ） （4）100以内的哪些数是三个不同质数的积？ 【知识点3】确定数字 这类题关键在于准确掌握有关倍数、因数、奇数、偶数、质数、合数以及一些特殊的数。 例如：两个质数的和是25，这两个质数的差是多少？ 首先将25分解成两个质数的和的形式：25=2+23=3+22=5+20=7+18=11+14=13+12=17+8=19+6 √ × × × × × × × 通过分解只有2和23一种情况，因此这两个质数的差是23-2=21 练习： （1）一个四位数，个位上的数是最小的奇数，十位上的数是最小的偶数，百位上的数是最小的合数，千位上的数既是质数又是偶数，这个四位数是多少？ （2）猜电话号码0592－A B C D E F G 提示：A——5的最小倍数 B——最小的自然数 C——5的最大因数 D——它既是4的倍数，又是4的因数E——它的所有因数是1，2，3，6 F——它的所有因数是1， 3 G——它只有一个因数这个号码就是 （3）1＋2＋3＋……＋999＋1000＋1001的和是奇数还是偶数？请写出理由。 （4）有两个质数，和是18，积是65，这两个质数是（ ）和（ ）。 （5）在100～150中，找出两个整数，使它们相乘的积等于91和187的乘积，这两个数分别是（ ）和（ ）。 （6）连续五个奇数的积的末位数是（ ）。 （7）两数相加的和是最大的两位数，两数相减的差是大于90的最小质数，那么这两个数的积是（ ）。 （8）三个连续自然数的乘积是720，这三个数是（ ）、（ ）和（ ）。 （9）把六个数：85、51、33、91、65、77分成两组，每组三个数，每组中三个数的乘积相等。写出其中一个组的三个数（ ） （10）一个数的最大因数和最小倍数相加等于62，这个数是（ ） （11）一个数是18的倍数，它又是18的因数，猜一猜，这个数是（ ）。 （12）一个数是48的因数，这个数可能是（ ） 一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个可能是（ ） 一个数既是48的因数，又是8的倍数，同时还是3的倍数，这个数是（ ） *短除法：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如：把18分解质因数为18=2×3×3 2 18 2 18 24 3 9 3 9 12 3 3 4 18=2×3×3 18和24的最大公因数是2×3=6， 18和24的最小公倍数是2×3×3×4=72
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