最新人教版高中数学必修二同步知识点培优训练一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

【基础全面练】 (20分钟 35分)

1．下列棱锥有6个面的是( ) A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥

【解析】选C.由棱锥的结构特征可知，五棱锥有6个面．

2．如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，则剩余部分是( )

A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体

【解析】选B.余下部分是四棱锥A′­BCC′B′.

3．一正方体的六个面上用记号笔分别标记了一个字，已知其表面展开图如图所示，则在原正方体中，互为对面的是( )

A.聚与口，少与会，戴与罩 B．聚与戴，口与会，少与罩 C．聚与口，少与罩，戴与会 D．聚与戴，口与罩，少与会

【解析】选B.以戴为底，折叠正方体后，即可判断出：聚与戴，口与会，少与罩互为对面． 4．下列关于棱柱的说法： (1)所有的面都是平行四边形． (2)每一个面都不会是三角形． (3)两底面平行，并且各侧棱也平行． 其中正确说法的序号是________．

【解析】(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形．

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(2)错误，棱柱的底面可以是三角形． (3)正确，由棱柱的定义易知． 所以说法正确的序号是(3). 答案：(3)

5．下面属于多面体的是________(将正确答案的序号填在横线上). ①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．

【解析】由多面体的结构特征可知，①②是多面体，而③④是旋转体． 答案：①②

6．如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.

(1)折起后形成的几何体是什么几何体？

(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ (3)每个面的三角形面积为多少？

【解析】(1)如图，折起后的几何体是三棱锥．

(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．

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(3)S△PEF＝ a2，S△DPF＝S△DPE＝ ×2a·a＝a2，

22S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE 13

＝(2a)2－ a2－a2－a2＝ a2.

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【补偿训练】

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画一个三棱台，再把它分成： (1)一个三棱柱和另一个多面体． (2)三个三棱锥，并用字母表示． 【解析】画三棱台一定要利用三棱锥．

(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′ 【综合突破练】 (30分钟 50分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列说法中，正确的是( ) A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面

C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形

【解析】选D.A选项不符合棱柱的结构特征；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD­A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的结构特征．

AB″C″，另一个多面体是B′C′BCC′′B′′. ABC，B′

A′BC，C′

A′B′C.

2．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )

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A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4

B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝2，A1C1＝2，AC＝4 C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D.A1B1＝AB，B1C1＝BC，C1A1＝CA

【解题指南】根据棱台的上下底面相似，逐项判断． 【解析】选C.不妨设ABC­A1B1C1是三棱台． 如图，延长AA1，BB1，CC1交于点O.

由ABC­A1B1C1是三棱台可得A1B1∥AB ，B1C1∥BC，A1C1∥AC，所以△OA1B1∽△OAB，△OB1C1∽△A1B1OB1B1C1OC1A1C1A1B1B1C1A1C1

OBC，△OA1C1∽△OAC，所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ .将选项A，

ABOBBCOCACABBCACB，C中的数据代入验证可发现选项C满足条件．当AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1时，ABC­A1B1C1是三棱柱，故D错．

3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解析】选D.如图所示，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中取四棱锥A1­ABCD，则此四棱锥的四个侧面全为直角三角形．

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4．下列说法中正确的是( )

A．顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥 B．底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 C．顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥 D．底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥

【解析】选D.对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三角形不一定为正三角形，故A错；

对于选项B，如图所示，△ABC为正三角形，若PA＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，则△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故B错；

对于选项C，顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故C错；D正确．

5．如图，往长方体容器ABCD ­A1B1C1D1内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：

①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形EFGH的面积不改变； ③当E在AA1上时，AE＋BF是定值． 其中，正确的说法是( ) A．①②

B．①

C．①②③ D．①③

【解析】选D.显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度改变，水面四边形EFGH的面积也改变，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE­DCGH的高不变，所以梯

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形ABFE的面积不变，又梯形ABFE的高不变，所以AE＋BF是定值，故③正确．所以①③正确． 二、填空题(每小题5分，共15分)

6．一个棱锥至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．

【解析】面最少的棱锥是三棱锥，它有4个面；顶点最少的棱台是三棱台，它有3条侧棱． 答案：4 3

7．从正方体ABCD­A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是： (1)正方形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．

其中正确结论的个数为________． 【解析】如图所示：

四边形ABCD为正方形，故(1)满足条件；四面体D ­A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故(2)满足条件；四面体D­B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件；四面体C­B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件；故正确的结论有4个． 答案：4

8．长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为________．

ab＝12，【解析】设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，不妨令bc＝6，

ac＝8，

答案：29 三、解答题

所以 abc＝24.分别除以

bc，ac，ab，得a＝4，b＝3，c＝2.所以体对角线长为42＋32＋22 ＝29 .

9．(10分)如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，三个侧面都是矩形，AB＝3，AA1＝4，M为AA1

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的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29 ，设这条最短路线与CC1的交点为N.求：

(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长． (2)PC和NC的长．

【解析】(1)正三棱柱ABC­A1B1C1的侧面展开图是一个长为9、宽为4的矩形，其对角线长为92＋42 ＝97 .

(2)如图所示，将侧面沿AA1剪开展平，由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路径为线段MP.

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设PC＝x，在Rt△MAP中，有(3＋x)2＋22＝(29 )2，解得x＝2，故PC＝2，NC＝ .

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