相似三角形的六大证明技巧大全

第2讲 模块一 相似三角形6大证明技巧

相似三角形证明方法

相似三角形的判定方法总结：

1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS）

3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)

5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型.

示意图 AECDBBAODC结论 反A型： 如图，已知△ABC，∠ADE=∠C，则△ADE∽AC=AD·AB. △ACB（AA），∴AE·BE，若连CD、进而能证明△ACD∽△ABE(SAS) 反X型： 如图，已知角∠BAO=∠CDO，则△AOB∽△DOCOC=OD·OB. 若连AD，BC，进而能（AA），∴OA·证明△AOD∽△BOC. “类射影”与射影模型 示意图 结论 类射影： 如图，已知△ABC，∠ABD=∠C，则△ABD∽AC. △ACB（AA），∴AB2=AD·ADCBC 射影定理 如图，已知∠ACB=90°，CH⊥AB于H，则AC2AHAB,BC2BHBA,HC2HAHB A HB精彩文案

“旋转相似”与“一线三等角”

示意图 AEBDCE结论 旋转相似： 如图，已知△ABC∽△ADE，则ABAD ，ACAE∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE， ∴△BAD∽△CAE（SAS） D一线三等角： 如图，已知∠A=∠C=∠DBE，则△DAB∽△BCE（AA） ABC巩固练习 反A型与反X型

已知△ABC中，∠AEF=∠ACB，求证：（1）AEABAFAC（2）∠BEO=∠CFO， ∠EBO=∠FCO（3）∠OEF=∠OBC，∠OFE=∠OCB

AEOFC

B类射影

如图，已知AB2ACAD，求证：

BDAB BCACADC射影定理

已知△ABC，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，求证：AC2AHAB，BC2BHBA，HC2HAHB

B

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模块二 比例式的证明方法

通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A型，X型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。

在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算 技巧一：三点定型

【例1】 如图，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F，求证：

DCCF．

AEADDFABC E【例2】 如图，△ABC中，BAC90，M为BC的中点，DMBC交CA的延长线于

D，交AB于E．求证：AM2MDME

DAEBMC

【例3】 如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，ABC的平分线BE交AC于E，

交AD于F．求证：

BFAB． BEBCAE

BFDC

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技巧二：等线段代换

悄悄地替换比例式中的某条线段…

【例4】 如图，在△ABC，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于

F，求证：FD2FBFC

AEBF

DC

【例5】 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F，

ECAD．求证：ACBECEAD．

DFC

EAB

【例6】 如图，△ACB为等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：

AB2BECD

A

BDEC

【例7】 如图，△ABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，

延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2PEPF．

AEPBDCF

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技巧三：等比代换

【例8】 如图，平行四边形ABCD中，过B作直线AC、AD于O，E、交CD的延长线

于F，求证：OB2OEOF．

FAOBCED

【例9】 如图，在△ABC中，已知A90时，ADBC于D，E为直角边AC的中点，

过D、E作直线交AB的延长线于F．求证：ABAFACDF．

AEBDC

F

【例10】 如图，在△ABC中（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使

ADAE，直线DE和BC的延长线交于点P．求证：BPCECPBD

ADBECP

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技巧四：等积代换

【例11】 如图，△ABC中，BD、CE是高，EHBC于H、交BD于G、交CA的延长

线于M．求证：HE2HGMH．

MAEGBHD

C【例12】 如图，在△ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F，连EF，

求证：∠AEF=∠C

AEFBDC

【例13】 如图，在△ABC中，BAC90，D为AC中点，AEBD，E为垂足，求证：

CBDECD．

ADECB

【例14】 在Rt△ABC中，AD⊥BC，P为AD中点，MN⊥BC，求证MN2ANNC

ANPCBDM 18

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技巧五：证等量先证等比

【例15】 已知，平行四边形ABCD中，E、F分别在直线AD、CD上，EF//AC，BE、BF

分别交AC于M、N.，求证：AM=CN.

AMEFND

B

C【例16】 已知如图AB=AC，BD//AC，AB//CE，过A点的直线分别交BD、CE于D、E. 求

证：AM=NC，MN//DE.

EADNMBC

【例17】 如图，△ABC为等腰直角三角形，点P为AB上任意一点，PF⊥BC，PE⊥AC，

AF交PE于N，BE交PF于M.，求证：PM=PN，MN//AB.

A

ENPM

CFB精彩文案

【例18】 如图，正方形BFDE内接于△ABC，CE与DF交于点N，AF交ED于点M，CE

与AF交于点P. 求证：（1）MN//AC；（2）EM=DN.

AMPDN

EB

FC【例19】 （※）设E、F分别为AC、AB的中点，D为BC上一点，P在BF上，DP//CF，

Q在CE上，DQ//BE，PQ交BE于R，交CF于S，求证：RSPQ

A13FGRPBDSEQ

C

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【例20】 （※）如图，梯形ABCD的底边AB上任取一点M，过M作MK//BD，MN//AC，

分别交AD、BC于K、N，连KN，分别交对角线AC、BD于P、Q，求证：KP=QN.

DOPKRA 技巧六：几何计算

CNQSMB

【例21】 （2016年四月调考）如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是角平分线，AE是中线，

BF⊥AD于G，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H.（1）求证：AH=BH，（2）若∠BAC=60°，求

FG的值. DGAHB

FGDEM

C精彩文案

【例22】 （2016七一华源）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、

CD上，∠1＝∠2＝∠3＝α. 求证：（1）EF＋EG＝AE （2）求证：CE＋CG＝AF

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