基本不等式求最值的类型与方法

一、几个重要的基本不等式：

22①a2b22ababab2(a、bR)，当且仅当a = b时，“=”号成立； 2②ab2ababab2(a、bR)，当且仅当a = b时，“=”号成立； ③a3b3c33abcabca3b3c33(a、b、cR)，当且仅当a = b = c时,“=”号成立；

3④abc33abcabcabc3(a、b、cR) ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

② 熟悉一个重要的不等式链：2a2b211abab22。 ab二、函数f(x)axbx(a、b0)图象及性质 y(1)函数f(x)axbxa、b0图象如图： b2abaoxb(2)函数f(x)axba、b0性质：

2abax①值域：(,2ab][2ab,)；

②单调递增区间：(,b]，[b,)；单调递减区间：(0,ba]，[baaa,0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数yx12(x1)2(x1)的最小值。 1

解析：yx12(x1)2(x1)(x1)12(x1)21(x1)x1x11222(x1)21(x1) 33x1x11222(x1)2132152， 当且仅当

x1212(x1)2(x1)即x2时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值：

①yx2(32x)(0x32) ②ysin2xcosx(0x2)

解析：①

0x32,∴32x0， ∴yx2(32x)(0x32)xx(32x)[xx(32x)33]1，

当且仅当x32x即x1时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ②

0x2,∴sinx0,cosx0，则y0，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。

y2sin4xcos2xsin2xsin2xcos2x11sin222xsin2x2cos2x342(sinxsinx2cos2x)2(3)27,

当且仅当sin2x2cos2x(0x2)tanx2，即xarctan2时 “=”号成立，故

此函数最大值是239。 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要

通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。

例3、若x、yR，求f(x)x4x(0x1)的最小值。 解法一：（单调性法）由函数f(x)axbx(a、b0)图象及性质知，当x(0,1]时，函数

f(x)x4x是减函数。证明：任取x1,x2(0,1]且0x1x21，则

2

f(x(x44xxxx41)f2)(x1x2)(xx)(x1x2)421x(x1x2)12，

121x2x1x2∵0xx1x21，∴x1x241x20,x0，则f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)， 1x2即f(x)x4x在(0,1]上是减函数。故当x1时，f(x)x4x在(0,1]上有最小值5。 解法二：（配方法）因0x1，则有f(x)x42x(xx)24， 易知当0x1时，2xx0且单调递减，则f(x)(2xx)24在(0,1]上也是减函数， 即f(x)x4x在(0,1]上是减函数，当x1时，f(x)x4x在(0,1]上有最小值5。 解法三：（拆分法）f(x)x413x(0x1)(x1x)3x2xx15，

当且仅当x1时“=”号成立，故此函数最小值是5。

评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。 类型Ⅳ：条件最值问题。 例4、已知正数x、y满足

81xy1，求x2y的最小值。 解法一：（利用均值不等式）x2y(81)(x2y)10xxyy16yx102xy16yx18, 81xy1当且仅当即x12,y3时“=”号成立，故此函数最小值是18。 xy16yx解法二：（消元法）由81xy1得yxxx8，由y0x80又x0x8，则

x2yx2xx8x2(x8)16x8x216x8(x8)1616x8102(x8)x81018。 3

当且仅当x816x8即x12,此时y3时“=”号成立，故此函数最小值是18。 解法三：（三角换元法）令8sin2xxx8sin2x 1则有cos2x1yycos2x则：x2y82sin2xcos2x8csc2x2sec2x8(1cot2x)2(1tan2x)108cot2x2tan2x 102(8cot2x)(2tan2x)18，易求得x12,此时y3时“=”号成立，故最小值是18。

评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：x2y(8x1y)(x2y)281xyx2y8。原因就是等号成立的条件不一致。

类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数x、y满足xyxy3，试求xy、xy的范围。 解法一：由x0,y0，则xyxy3xy3xy2xy，

即(xy)22xy30解得xy1(舍)或xy3，

当且仅当xy且xyxy3即xy3时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。 又xy3xy(xy2)2(xy)24(xy)120xy2(舍)或xy6， 当且仅当xy且xyxy3即xy3时取“=”号，故xy的取值范围是[6,)。

解法二：由x0,y0，xyxy3(x1)yx3知x1，

则：yx3x3x1，由y0x10x1， 则：xyxx3x23x(x1)25(x4x1x11)4x1(x1)4x152(x1)x159， 当且仅当x14x1(x0)即x3，并求得y3时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。 xyxx3x1xx14x1x4x11(x1)4x122(x1)4x126，

4

当且仅当x14x1(x0)即x3，并求得y3时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。 评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。 四、均值不等式易错例析： 例1. 求函数yx4x9x的最值。

错解：yx4x9x213x36xx13x36x132x36x25 当且仅当x36x即x6时取等号。所以当x6时，y的最小值为25，此函数没有最大值。分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。因为函数yx4x9x的定义域为，00，，所以须对x的正负加以分类讨论。正解：1）当x0时，y13x36x132x36x25 当且仅当x36x即x6时取等号。所以当x6时，ymin25 2）当x0时，x0，36x0， x36x2x36x12 y13[(x)(36x)]13121 当且仅当x36x，即x6时取等号，所以当x6时，ymax13121. 例2. 当x0时，求y4x9x2的最小值。

错解：因为x0，y4x996x224xx2x

所以当且仅当4x93xx94时，y62即minx2318。

分析：用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必须分别满足“积为定值”或“和为定值”，而上述解法中4x与

9x2的积不是定值，导致错误。 3正解：因为x0，y4x999x22x2xx232x2xx23336

5

当且仅当2x93，即x363时等号成立，所以当x363x222时，ymin336。

例3. 求yx25x24(xR)的最小值。

错解：因为yx25x24x2412x242x41x242，所以ymin2

分析：忽视了取最小值时须x241成立的条件，而此式化解得x2x243，无解，所

以原函数y取不到最小值2。 正解：令tx24t2，则yt1t(t2)

又因为t1时，yt15t是递增的。所以当t2，即x0时，ymin2。

例4.已知x,yR且

1x4y1，求uxy的最小值. 错解：11x4y4xyxy4 ,uxy2xy8,u的最小值为8. 分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为1x4y和xy，而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值8. 正解：u(xy)(144xxy)5yyx549 当且仅当

4xyyx即x3,y6时等号成立. u的最小值为9. 综上所述，应用均值不等式求最值要注意：

一要正：各项或各因式必须为正数；

二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；

三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。

6

技巧一：凑项 例1：已知x54，求函数y4x21的最大值。 4x5解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)14x5不是常数，所以对4x2要进行拆、凑项，

x514,54x0，y4x24x554x154x3231，

当且仅当54x154x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。 技巧二：凑系数 例2. 当时，求yx(82x)的最大值。 解析：由

知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当

，即x＝2时取等号 当x＝2时，yx(8

2x)的最大值为8。

技巧三： 分离

x2例3. 求y7x10x1(x1)的值域。 解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当

,即

时,y2（x1)4x159（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

y(t1)27(t1）+10t25t44t=ttt5

当,即t=时,y2t4t59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)xax的单调性。2例：求函数yx5的值域。

x24解：令x24t(t2)，则yx25x241x24x24t1t(t2)

7

因t0,t11，但t1tt解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。 因为yt1在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y5t2。 所以，所求函数的值域为5,2。

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知x0,y0，且

1x9y1，求xy的最小值。 解：

x0,y0,1x9y1，xyxy1x9yyx9xy1061016

当且仅当yx9xy时，上式等号成立，又1x9y1，可得x4,y12时，xymin16 。

巩固练习：

1、已知：x2y2a,m2n2b且ab，则mxny的最大值为( )

(B)aba2b2 (C)a2b22(A)ab2 (D)2

2、若a,x,yR，且xyaxy恒成立，则a的最小值是( )

(A)22 (B)2 (C)2 (D)1

3、已知下列不等式：①x332x(xR)；②a5b5a3b2a2b3(a,bR)； ③a2b22(ab1).其中正确的个数是( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4、设a,bR，则下列不等式中不成立的是( )

(A)(ab)(11a2b2ab)4 (B) ab2ab (C)ab1ab2 (D)2ababab

5、设a,bR且2ab1,S2ab4a2b2的最大值是( ) (A)21 (B)

212 (C)21 (D)212 6、若实数a,b满足ab2，则3a3b的最小值是( )

(A)18 (B)6 (C)23 (D)243 7、若正数a,b满足abab3，则ab的取值范围是 .

8、若x,yR,且2xy1，则

1x1y的最小值为 . 基本不等式 知识点：

8

1. (1)若a,bR，则a2b22ab (2)若a,bR，则aba2b22 （当且仅当ab时取

“=”）

2. (1)若a,bR*，则ab2ab

(2)若a,bR*，则ab2ab （当且仅当ab时取“=”）

(3)若a,bR*ab2，则ab (当且仅当ab时取“=”） 23.若x0，则x1x2 (当且仅当x1时取“=”） 若x0，则x1x2 (当且仅当x1时取“=”）

若x0，则x1x2即x1x2或x1x-2 (当且仅当ab时取“=”）

4.若ab0，则abba2 (当且仅当ab时取“=”）若ab0，则

abababa2即ba2或bba-2 (当且仅当ab时取“=”） a,bRab225.若，则(2ab2)2（当且仅当ab时取“=”） 注意：

(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，

当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用

应用一：求最值 例：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋

1

2x 2

（2）y＝x＋1

x 解：(1)y＝3x 2＋

1

2x 2

≥23x 2·

1

2x 2

＝6 ∴值域为[6 ，+∞）

9

(2)当x＞0时，y＝x＋1

x ≥2

x·1

x

＝2； 当x＜0时， y＝x＋1x = －（－ x－1

x ）≤－2

x·1

x

=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧

技巧一：凑项

例 已知x54，求函数y4x214x5的最大值。 解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)14x5不是常数，所以对4x2要进行拆、凑项，

x54,54x0，y4x214x5154x54x3231

当且仅当54x154x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。

技巧二：凑系数 例： 当时，求yx(82x)的最大值。 解析：由

知，

，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为

两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑

上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，yx(8

2x)的最大值为8。

变式：设0x32，求函数y4x(32x)的最大值。 解：∵0x32∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)22x32x2922 当且仅当2x32x,即x340,32时等号成立。

10

技巧三： 分离 技巧四：换元

例：求yx27x10x1(x1)的值域。 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当

,即

时,y2（x1)4x159（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

(t1)27(t1）+102yt=t5t4tt4t5

当,即t=时,y2t4t59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(x)xax的单调性。 2例：求函数yx5x2的值域。

4解：令x24t(t2)，则2yx5x24124t1(t2)

x24xt因t0,t11，但t1tt解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

因为yt1t在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y52。

所以，所求函数的值域为5,2。

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 例：已知x0,y0，且

1x9y1，求xy的最小值。 11

错．解．：

x0,y0，且

1x9y1，xy1x9yxy29xy2xy12 故 xymin12 。

错因：解法中两次连用均值不等式，在xy2xy等号成立条件是xy，在19y29等xxy号成立条件是

1x9

y

即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解：

x0,y0,1x9y1，xyxy1x9yyx9xy1061016

当且仅当yx9xy时，上式等号成立，又1x9y1，可得x4,y12时，xymin16 。

技巧七

例：已知x，y为正实数，且x 2

＋

y 2

2

＝1，求x1＋y 2

的最大值.

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

a 2＋b 2

2

。

同时还应化简

1＋y 2 中y2前面的系数为 1

1＋y 22

， x1＋y 2 ＝x 2·2

＝

2

x·

12 ＋y 2

2

下面将x，

1y 2

2 ＋2

分别看成两个因式： x 2＋(1y 2

x·

1

y 2

2 ＋2

)2x 2＋y 21

2 ＋2 ≤2

＝

2 ＋2

2

＝3

4

即x1＋y 2 ＝2 ·x

12 ＋y 22 ≤ 34

2

12

技巧八：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1

ab 的最小值.

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：a＝30－2bb＋1 ， ab＝30－2b－2 b 2＋30bb＋1 ·b＝b＋1

由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2t 2＋34t－31

1616

t ＝－2（t＋t ）＋34∵t＋t ≥2

t·

16

t ＝8

∴ ab≤18 ∴ y≥

1

18

当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab ∴ 30－ab≥22 ab

令u＝ab 则u2＋22 u－30≤0， －52 ≤u≤32

∴ab ≤32 ，ab≤18，∴y≥1

18

点评：①本题考查不等式

abab（a,bR2）的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式aba2b30（a,bR）出发求得ab的范围，关键是寻找到ab与ab之间的关

系，由此想到不等式ab2ab（a,bR），这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.

技巧九、取平方

例: 求函数y2x152x(112x52)的最大值。

解析：注意到2x与52x的和为定值。

y2(2x152x)242(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8

13

又y0，所以0y22 当且仅当2x1=52x，即x32时取等号。 故ymax22。 应用二：利用均值不等式证明不等式

例：已知a、b、cR，且abc1。求证：1a11b11c18 分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又11abca12bcaaa，可由此变形入手。

解：

a、b、cR，abc1。11abc2bca1aaa。同理1b12acb，1c12abc。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1a11b11c12bc2ac2ababc8。当且仅当abc13时取等号。 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x0,y0且

1x9y1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。 解：令xyk,x0,y0,19xxy1，ykx9x9yky1.10kykx9xky1 110k23k 。k16 ，m,16

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若

ab1,Plgalgb,Q12(lgalgb),Rlg(ab2)，则P,Q,R的大小关系是 . 分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0

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p Q ∴R>Q>P。

15 Q1（lgalgb)lgalgb2ab1Rlg()lgablgab22

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