多侧向支撑梁的完全支撑刚度的FEM分析

江苏建筑２００９年第增刊（总第１３０期）多侧向支撑梁的完全支撑刚度的ＦＥＭ分析曹峰，潘正琪，孙旭光（中国联合工程公司，浙江杭州３１００２２）［摘要】文章分析了多侧向支撑梁的完全支撑刚度临界值。首先介绍了舍有侧向支撑的薄壁构件有限元法，推导了侧向支撑带来的附加刚度矩阵，再介绍了单侧向支撑粱的临界支撑刚度的理论分析，然后利用编制的有限元程序对多侧向支撑梁的临界支撑刚度进行了算例求解。【关键词】侧向支撑；有限元法；完全支撑刚度；临界刚度【中图分类号１ＴＵ３２３．３【文献标识码】Ａｆ文章编号］１００５—６２７０（２００９）Ｓ０—００１３—０３ＲｅｓｅａｒｃｈｏｆＭｕｌｔｉｐｌｅ－Ｌａｔｅｒａｌ－Ｂｒａｃｅｓ－Ｂｅａｍ’ｓＣｏｍｐｌｅｔｅＢｒａｃｅ’ｓＳｔｉｆｆｎｅｓｓＢａｓｅｄｏｎＦＥＭＣＡＯＦｅｎｇＰＡＮＺｈｅｎｇ－ｑｉＳＵＮＸｕ－ｇｕａｎｇ（ＣｈｉｎａＵｎｉｔｅｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＣｏｒｐｏｒａｔｉｏｎ，ＨａｎｇｚｈｏｕＺｈｅｊｉａｎｇ３１００２２Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒａｎａｌｙｓｅｄｔｈｅｕｌｔｉｍａｔｅｃｏｍｐｌｅｔｅｂｒａｃｅ’ｓｓｔｉｆｆｎｅｓｓｏｆｍｕｌｔｉｐｌｅ－ｌａｔｅｒａｌ－ｂｒａｃｅｓ－ｂｅａｍ．Ｆｉｒｓｔｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｓｔｈｅｔｈｉｎ—ｗａｌｌｅｄｍｅｍｂｅｒ’ＳＦＥＭｉｎｃｌｕｄｉｎｇｔｈｅｌａｔｅｒａｌｂｒａｃｅｓａｎｄｉｎｄｕｃｅｓｔｈｅａｄｄｉｔｉｏｎａｌｓｔｉｆｆｎｅｓｓｍａｔｒｉｘ．Ｔｈｅｎａｎａｌｙｓｅｓｔｈｅｕｌｔｉｍａｔｅｓｔｉｆｆｎｅｓｓｏｆｓｉｎｇｌｅｂｒａｃｅ’Ｓｂｅａｍｉｎｔｈｅｏｒｙ．Ａｔｌａｓｔａｎａｌｙｓｅｓｔｈｅｕｈｉｍａｔｅｓｔｉｆｆｎｅｓｓｏｆｍｕｌｔｉｐｌｅｂｒａｃｅ’ＳｂｅａｍｂｙＦＥＭ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌａｔｅｒａｌｂｒａｃｅ；ＦＥＭ；ｃｏｍｐｌｅｔｅｂｒａｃｅ’Ｓｓｔｉｆｆｎｅｓｓ；ｕｌｔｉｍａｔｅｓｔｉｆｆｎｅｓｓＯ前言吲为几何刚度矩阵，是对构件稳定性的描述，ｆ研和｛毋分别钢结构建筑中，梁或柱有侧向支撑作用的情况很多，这为总位移和总荷载向量，晖ｂ】为附加的支撑刚度矩阵。样就形成了单或多侧向支撑作用的系统，如门式刚架中屋单元位移向量和单元荷载向量分别为：架斜梁一檩条一隅撑作用系统．楼面主梁一次梁作用系统．ｆ以｝＝＜加ｌ０ｌ０’１硼２Ｕ－Ｚ口２村７２如口’２＞ｆ柱一梁一角撑作用系统等。｛Ｅｅｌ＝＜Ｆ，ａＱ，，嵋－Ｑ，１幔－尬ｔＢ“屹如‰支撑不是刚度越大越好。不是截面越大越好．而是利用ＭｄＭｔＢⅡ莎适当的截面和刚度取得有效的支撑效果。完全支撑是指支单元刚度矩阵嘲和嘲已经比较成熟，在此不再赘述。撑能够使被支撑构件按照支撑点间距发生失稳的支撑。完程序中在形成单刚时，可以根据实际荷载和分析需要全支撵所需要的支撑刚度和强度可用能量方法或有限元方缩减。例如没有轴向载荷，可略去轴向位移这一项，从而可法确定。实际支撑的刚度和轴压强度都必须在大于完全支将单元刚度矩阵变为１２ｘｉ２．一般在分析薄壁构件的稳定撑所需要的最小刚度的情况下获得。这个最小刚度也称为时，只考虑跟侧扭相关的项，可将单元刚度矩阵变为８ｘ８。临界刚度。因此，求解单或多侧向支撑系统的临界刚度显得程序在形成总刚时，可以在考虑约束情况后进一步缩减。尤为重要。梁有了侧向支撑作用后，就会给单刚带来附加矩阵支ｌ含有支撑的有限元法撑晖ｂ】的影响，本文利用势能最小值原理来推导晖ｂ】。文献［１】中对含有支撑的薄壁构件的有限元法有了一定梁弯扭失稳时支撑中的势能为：的应用，但以往文献中对此的系统介绍和推导很少，本文下（３）面对含有侧向支撑的梁的有限元法做了系统的描述。Ⅱｂ．寺％姚＝寺七ｂ【Ｈ．＋∽响旰弹性分析时，总的有限元平衡方程为：其中矗¨Ｕｂ、几分别为支撑的侧向刚度、支撑点的位移｛Ⅸｄ＋ⅨＪ｝ｆ∽＝㈣（１）及支撑点的Ｙ坐标，％扎分别为剪心的水平位移和Ｙ坐标。当有了侧向支撑时，就可以得到新的有限元平衡方程，将“。、口用位移函数代入，将Ⅱｂ加入总的能量表达式，根据也就是本文分析支撑问题的指导方程：势能最小原理，分别对ｆｕｌ＇、｛０ｌ求导，得到如下刚度矩阵｛【』钮＋吲十口ｑ｝ｆ∽＝∽（２）１其中刚为物理刚度矩阵，是对构件物理参数的描述，［收稿日］２００９－０５－１【作者简介博峰，男，中国联合工程公司。万　方数据１４晖ｂ】：０ｌ０７１０ｋｂ（Ｙ．－ｒＯ０］０００ｋ乏。∥ｏ后。饥训２ｏ１０００ｊ对于每个有支撑的节点，把ｆＫｂ】对应着添加到总刚上去，就形成了最终的刚度矩阵。２完全支撑刚度分析本文所分析的完全支撑刚度都是针对理想构件的弹性分析。２．１理论分析当支撑刚度达到临界刚度时。主要构件的临界荷载就达到某个极限值．因此可以利用这种关系来进行求解。首先求解分段的稳定微分方程．得出各段ｕ和ｐ的特解和通解的表达式，利用边界条件得到解中的系数。求出各段１２和一表达式，利用侧向支撑力氏矗。（Ⅱ＋Ｐ研，扭转支撑扭矩雌＾ｐ可以得到一组齐次方程，令方程的系数行列式为零，就得到了包含临界弯矩和支撑刚度间关系的临界方程。利用这个方程进行数学方法的处理就可以获得临界支撑刚度。文献［２】中对受侧向支撑和扭转支撑的梁的屈曲问题进行了理论分析．得到了跨中受侧向和扭转支撑的纯弯状态下的临界支撑刚度公式。受力模型如图ｌ。Ｘ图１跨中有单根侧向支撑和扭转支撑作用的纯弯梁扭转支撑ｌ临界刚度珏型焦掣±竺Ｚｑ。肭支黜删度露萨塑掣掣｛２｛其中ａ．和膏是与梁截面性质、梁长相关的组合参数。显而易见，理论求解方法比较复杂。如果是较为复杂的荷载情况或者是多道支撑系统．则就较难求解临界刚度，必须要借助于程序等方法求解，因此本文下面对多侧向支撑构件的临界刚度值的求解做了尝试。２．２程序分析本文利用推导出来的［Ｋｄ编制了含有多根侧向支撑梁的有限元程序。利用上述的有限元程序，采用总刚矩阵行列式逼近于零的数学处理方法，可以得到临界弯矩耽和支撑刚度七。的关系图。图２所示的是一根有三根侧向支撑作用的纯弯梁。从（ｂ）到（ｅ）是它的四阶变形模态（同样，两个侧向支撑作用的梁就有三阶变形模态．四个侧向支撑作用的梁就有五阶变形模态）。上述的支撑刚度与梁的临界弯矩对应的关系图万　方数据江苏建筑２００９年增刊（总第１３０期）秽一≥～一ｌ—ｊ…勺。么二∑◇：么二二＝二二二乇。么二二二二二二∑。［］＜７［）◇，图２三根侧向支撑作用的梁的四阶变形模态上会有四段折线来相应地对应每一种模态。到了（ｅ）图即为它的第四阶模态．这时起作用的支撑叫做完全支撑。它的临界值就对应着第四段折线的起始值。所以可以利用这种方法来求多侧向支撑构件的完全支撑刚度的临界值。这就是利用有限元程序求临界刚度的指导思想。图３和图４示例出三根侧向支撑作用的梁的ｋｂ一虬图以表示四阶变形模态。纵坐标为临界弯矩Ｍ，单位Ｎ．ｍｍ，横坐标坐标利用参数将其无量纲化，为Ｓ＝ｋ拶＝ｋｄ（４８Ｅ肌，）。为统一，下面算例都是理想的纯弯梁，侧向支撑等间距布置，支撑刚度相同，支撑位置在梁的受压翼缘。图３一ＳＨ３００ｘ２００ｘ８／１０梁的矗广耽关系图梁截面为Ｈ３００ｘ２００ｘ８／１０ｍｍ．Ｌ＝１５０００．侧向长细比Ｌｈｙ＝３２９。后ｒ织关系图如图３。可以看到，图上有四段折线。第四个折点对应的横坐标值即为完全支撑的临界刚度，它表示着一旦支撑刚度等于这个临界值。被支撑构件将按照支撑间距发生失稳．而支撑刚度大于这个临界值时，支撑就起到完全支撑的效果。读图３知，梁的完全支撑的临界刚度ｌｓａ＝２６．０。厂～Ｓ图４Ｈ６００ｘ２００ｘ８／１０梁的｜｜｝厂耽关系图梁截面为Ｈ６００ｘ２００ｘ８／１０ｍｍ，Ｌ＝１５０００ｍｍ，Ｌｌｉ，＝３８５。垩茎壁篁表！！唑生笙丝型！璺笙！！垒塑！跨长／ｒａｍ堡旦＝塑型包童撵盟丝堕墨型廑笪梁侧向长细比临界刚度截面／ｍｍ跨Ｋ／ｒａｍ梁侧向长细比ｆ｜缶界刚度！主截面／咖表表表矗厂批关系图如图４。读图４可知Ｓ产２４．０。下面利用这两种截面。采用不同跨长和侧向支撑数目来进行临界刚度的求解。从临界刚度的表格见（表ｌ，表２，表３，表４）可以得出这样的规律：对于同一截面，梁侧向长细比越大．支撑临界刚度越大；对于梁同一截面同一跨长，支撑越多。临界刚度越大；临界刚度与截面性质参数也有很大的关系。３结论参考文献［１】Ｗａｎｇ，Ｙ．Ｃ．ＵｌｔｉｍａｔｅｓｉｏｎａｌＢｒａｃｅｄ１９８８．ＳｔｒｅｎｇｔｈＡｎａｓｙｓｉｓｏｆＴｈｒｅｅ－Ｄｉｍｅｎ－ｔｈｅｓｉｓ，ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＩ－Ｂｅａｍｓ［Ｄ］．ＰｈＤｏｆＳｈｅｆｆｉｅｌｄ，【２】２ＴｏｎｇＧｅｎ－Ｓｈｕ＆ＣｈｅｎＳｈａｏ－Ｆａｎ．ＢｕｃｋｌｉｎｇｏｆＬａｔｅｒａｌｌｙａｎｄＴｏｒｓｉｏｎａｌｌｙＢｒａｃｅｄ４１－５５．Ｂｅａｍｓ田．Ｊ．ＣｏｎｓｔｒｕｃｔＳｔｅｅｌ１９８８，１１：【３】ＴｏｎｇＧｅｎ－Ｓｈｕ＆ＣｈｅｎＳｈａｏ－Ｆａｎ．ＡｎＵｎｉｆｉｅｄＡｐｐｒｏａｃｈ这种程序求解方法同样也可以推广到梁上有多根扭转支撑作用时的完全支撑刚度临界值的求解上。但利用程序方法求解出的Ｉ艋界刚度由于都是看图得出．因而只是近似值，如果考虑了残余应力、初变形等进行弹翅性分析，临界剐度值会变小。本文只是对多侧向支撑作用的粱的完全支撑的临界刚度的研究方法和求解做了初步的尝试，而没有形成系统的公式和结论，这都需要理论分析的支持和进一步的系统分析。ｆｏｒＭｕｌｔｉｐｌｅＬａｔｅｒａｌＢｒａｃｉｎｇｏｆＣｏｌｕｍｎｓｆ．１－Ｉ．Ｊ．ＣｏｎｓｔｒｕｃｔＳｔｅｅｌＲｅｓｅａｒｃｈ，１９８９，１２（２）．【４】Ｒａｊａｓｅｋａｒａｎ，Ｓ．，ａｎｄＭｕｒｒａｙ，Ｄ．Ｗ．ＦｉｎｉｔｅｔｉｏｎｏｆＩｎｅｌａｓｔｉｃＢｅａｍｓｉｏｎ，１９７３．ＥｌｅｍｅｎｔＳｏｌｕ－Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ忉．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｔｒｕｃｔｕｒａｌＤｉｖｉ－［５】吕烈武，沈世钊，等．钢结构构件稳定理论［Ｍ】．北京：中国建筑工业出版社．１９８３．【ｑ严剑松．两端铰接的楔形杆的平面外稳定【Ｄ】．浙江大学．２００４．万方数据　多侧向支撑梁的完全支撑刚度的FEM分析

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

曹峰， 潘正琪， 孙旭光， CAO Feng， PAN Zheng-qi， SUN Xu-guang中国联合工程公司,浙江杭州,310022江苏建筑

JIANGSU CONSTRUCTION2009(z1)

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