一、选择题（本大题共 15 题，每题 2 分，共 30 分） 1．关于√8的叙述正确的是（ A．√8=√3 √5 C．√8=±2√2
）．
B．在数轴上不存在表示√8的点 D．与√8最接近的整数是 3
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数学专业知识
3．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）．
A．a＜0 D 所转过的路径长为（
B．c＜0 ）．
C．a+b+c＜0 D．b2﹣4ac＜0
4．如图，在平行四边形 ABCD 中，BD=6，将平行四边形 ABCD 绕其对称中心 O 旋转 180°，则点
A．3π A．2
B．3
）．
B．－2
C．6π C．1
D．6 D．－1
5．cos60°－sin30°＋tan45°的值为（
6．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AB⊥CD，垂足为 E，点 P 在⊙O 上，连接 BP、PD、BC．若 CD= ，sinP= ，则⊙O 的直径为（
）．
A．8 B．6 C．5
）．
D．
7．下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（
y 2x 2x A．
x2
B． y x x
2
C．
12x 1 2 y 1 D．
y sin2
x
4 2 1 8．在一个不透明的袋子中装有黄球 1 个、白球 2 个，这些球除颜色外无其他差别，随机从中摸出 一个小球后不放回，则两次摸到的球都是白球的概率是（
A．
B．
C．
）．
D． ）．
sin ，则 tan 5 9．已知, 且 4 的值为（ 2 3
A． 1
7
B．7
C． 7
1
D．-7
a a 4 7 lim x2
B．
，则 2，a a 10．已知an 为等比数列， ）． 5 6 a a
8 （ 1 10
A．-7
B．-5
C．7
）．
． D．5
11．直线 y=3x 与曲线 y=x2 围成图形的面积为（ A．
B．9
C．
x2
12．若
ax x2
4 2 3
1
4 ，则a 的值为（ ）．
CD． ．1 1 2
A．0
13．教师应努力成为数学探究课题的创造者，有比较开阔的数学视野，了解与中学数学知识有关的 扩展知识和内在的数学思想，认真思考其中的一些问题，加深对数学的理解，提高（ 生进行数学探究做好充分的准备，并积累指导学生进行数学探究的资源．
A．数学能力 14．（ 和基本的内容．
A．数学思考
B．数学思维
C．数学素质
D．数学体验
），为指导学
）是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要
B．数学提问
C．数学建模 2
D．数学证明
15．评价学生在数学建模中的表现时，要重过程、重参与．不要苛求数学建模过程的严密、结果的 准确．评价内容应关注以下几个方面：创新性、（
A．实用性
B．真实性
）、合理性、有效性． C．思维性
D．灵活性
二、填空题（本大题共 5 题，每题 3 分，共 15 分）
16．如图，AC 为⊙O 的直径，点 B 在圆上，OD⊥AC 交⊙O 于点 D，连接 BD，∠BDO=15°，则∠ACB=________．
x=_________． M 6 6 不存在逆矩阵，则
17．已知矩阵 x 5
18．函数
，
ln
1
4
，若∃ 使得
4，则 _______．
19． cosxdx ________．
20．________是指教学的途径和手段，是教学过程中教师教的方法和学生学的方法的结合，是完成 教学任务的方法的总称．
三、解答题（本大题共 4 题，第 21、22、23 题各 6 分，第 24 题 7 分，共 25 分）
21．九龙坡区某社区开展全民读书活动，以丰富人们业余文化生活现计划筹资 30000 元用于购买科普书籍和文艺刊物
（1）计划购买文艺刊物的资金不少于购买科普书籍资金的 2 倍，那么最少用多少资金购买文艺刊物？
（2）经初步了解，有 200 户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资 150 元．经筹委会进步宣传， 自愿参加的户数在200 户的基础上增加了a%（其中a＞50），如果每户平均集资在150 元的基础上减少 a%，那么实际筹资将比计划筹资多 6000 元，求 a 的值．
3
22．已知 （ ） 2
（2
）
2 （ ∈ ），其图象在
取得最大值．
（1）求函数 （ ）的解析式；
（2）当 ∈ （0， ），且 （ ） ，求 2 值．
23．已知 为数列 的前 n 项和，且 2， （1）求数列 的通项公式； （2）若对∀ ∈ ∗，
（ 1） ，求数列 4 0，6 3 2n 项的和 ．
2， ∈ ∗．
的前
四、综合题（本大题共 4 题，第 25、26 题各 6 分，27 题 7 分，第 28 题 11 分，共 30 分） 25．《义务教育新课程标准》强调指出，应发展学生的数感，那么数感的主要表现在那几个方面？
26．练习设计应遵循哪些原则？
27．案例：阅读下列 3 个教师有关“代数式概念”的教学片断． 教师甲的情境创设：
“一隧道长 l 米，一列火车长 180 米，如果该列火车穿过隧道所花的时间为 t 分钟，则列车的速度怎
l 180 l 180
么表示？”学生计算得出 ，教师指出：“ ”、“10a＋2b”这类表达式称为代数式．
t t
教师乙的教学过程：
复习上节内容后，教师在黑板上写下代数式的定义：“由运算符号、括号把数和字母连接而成的表达式称为代数式”，特别指出“单独一个数或字母也称为代数式”；然后判断哪些是代数式，哪些不是；接着通过“由文字题列代数式”及“说出代数式所表示的意义”进一步解释代数式的概念；最后让学生练习与例题类似的题目．
教师丙的教学过程：
让学生自学教材，但是教材并没有说“代数式”是怎么来的，有什么作用．接着教师大胆地提出开放 式问题：“我们怎样用字母表示一个奇数？”当时教室里静极了，学生们都在思考．
先有一位男生举手回答：“2a－1”．“不对，若 a＝1.5 呢？”一位男生说．
沉默之后又有一位学生大声地说：“a 应该取整数！”有些学生不大相信：“奇数 77 能用这个式子表示吗？”不久，许多学生算出来：“a 取 39”．
此时，教师趁势作了一个简单的点拨：“只要 a 取整数，2a－1 定是奇数，对吗？那么偶数呢？”他并没有作更多的解说，点到为止，最后的课堂小结也很简单：“数和式有什么不同？”“式中的字母有约
束吗？”“前面一节学过的式子很多都是代数式！……”从师生们自如的沟通来看，他们都已成竹在胸．
5
问题：
（1）你认可教师甲的情境创设吗？说明理由； （2）你认可教师乙的教学过程吗？说明理由； （3）你认可教师丙的教学过程吗？说明理由．
28．《人教版初中数学八年级》关于“菱形”的教学分析是：“菱形”紧接“矩形”一节之后，纵观整个初中平面几何教材，它是在学生掌握了平行四边形的性质与判定，又学习了特殊的平行四边形——矩形，具备了初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的．这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面学习正方形等知识的基础，起着承前启后的作用．
请基于该情况，完成下列教学设计任务：
（1）设计菱形这一节课的教学目标以及教学重难点； （2）设计菱形的教学过程．
一、选择题（本大题共 15 题，每题 2 分，共 30 分）
1．【答案】D．解析：选项 A，√3+√5无法计算；选项 B，在数轴上存在表示√8的点；选项 C，√8 选项 D，与√8最接近的整数是√9=3．故选 D． 2．【答案】C．解析：不等式组
2
3 的解集在数轴上表示正确的是
2√2；
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，故选：C．
3．【答案】B．解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0，故 A 错误；∵抛物线与 y 轴交于负半轴，∴c＜0，故 B 正确； 由图象可得：当 x=1 时，y＞0，故 C 错误； ∵抛物线与 x 轴有两个交点，∴ 故选：B．
4．【答案】A．解析：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴ ∵将平行四边形 ABCD 绕其对称中心 O 旋转180∘，则点 D 所转过的路径是以线段 BD 为直径的半圆，
4
0，故 D 错误；
3，
∴点 D 所转过的路径长 5．【答案】C．解析：原式
6π 3π，故选：A． 1
1．故选：C．
6．【答案】C．解析：∵AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AB⊥CD，CD＝ ，点 P 在⊙O 上，sinP＝ ，∴∠CEB＝∠CEO＝90°，sin∠BCE＝sin∠P＝ ，CE＝ ，∴BE＝ ，BC＝3，连接 OC，设⊙O 的半径为 r，∵∠OEC＝90°，OC＝r，OE＝r− ，CE＝ ，∴r2＝（r− ）2＋（ ）2，解得，r＝ ，∴⊙O 的直
y sin2
径为 5，故选：C．
x2 没有零点； y
7．【答案】D．解析： 2 1 1 2
y x 不是奇函数； 是奇函
x 2x 1 2 数，但2 x
x
42
是奇函数，但没有零点；y 1 cos 2 2 x
x 1选 D．
8．【答案】D．解析：列表如下：
白
2
白
12x 也．故 s2 有i 零n是奇点
函数，
黄
1
白 白 黄 --- （白，白） （白，黄） （白，白） --- （白，黄） （黄，白） （黄，白） ---
所有等可能的情况数为 6 种，其中两次都是白球的情况数有 2 种， 所以两次摸到的球都是白球的概率是
，故选：D．
且
sin 3 5
tan1 4 1 1 ．故选：A．
1
a q3 4 3
9．【答案】A．解析：因为，
42 , 所
以4
5 ，) c 所4
o
，以
stanta n3 (
tan
3
7
7
1 3 4 10．【答案】A．解析：由题得 a8 ，因为
4a7
2或a
4
a a 2，a 4 4 7 4
2，a 7
，4，a
a 2 1
得 ： a 1q6 2 a a1 q6 4 1 q3 1 18 a q 3 2 a 或
2
， q 3 1或 a 1 = ， 所 以
1 10
7或1+（-2）3 7 ．故选：A．
0 或
， 11．【答案】D．解析：由题意，联立直线与曲线得到
解 得 3 9 ， 0
则围成图象的面积为 （3 ）
（ ）| 故选 D．
1
．答 2
【
案
lim】 x2
B8+（1-8 ）（）3
2
3 3
3 3 3 ，
． 析解x2 ：
ax x2 4
2 3 4 lim x2
2x a 3 24 x
，即 2x
a
3 2x
a 1 . 4
13．【答案】A．解析：教师应努力成为数学探究课题的创造者，有比较开阔的数学视野，了解与中学数学知识有关的扩展知识和内在的数学思想，认真思考其中的一些问题，加深对数学的理解，提高数学能力，为指导学生进行数学探究做好充分的准备，并积累指导学生进行数学探究的资源．故选：A．
14．【答案】C．解析：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容．故选：C．
15．【答案】B．解析：评价学生在数学建模中的表现时，要重过程、重参与．不要苛求数学建模过 程的严密、结果的准确．评价内容应关注以下几个方面：创新性、真实性、合理性、有效性．故选：B．
二、填空题（本大题共 5 题，每题 3 分，共 15 分）16．【答案】60°．解析：连接 DC，
2
∵AC 为⊙O 的直径，OD⊥AC，∴∠DOC=90°，∠ABC=90°，∵OD=OC，∴∠ODC=45°，
∵∠BDO=15°，∴∠BDC=30°，∴∠A=30°，∴∠ACB=60°，故答案为：60°． 17．【答案】5．解析：由题意得： 6 x 6 5 0 x 5 . 18．【答案】 ln2．解析：令
1
，故
4
ln
1
4
，令
1 ，
1 在 1，0 上是减函数，在 0， ∞ 上是增函数，
4当且仅当
4 2 | ，即 0，即
2， 2. 0
1．
当 0时 有最小值0，而 故
4，当且仅当等号成立时成立，故
19．【答案】1．解析：由微积分基本定理有： 故答案为：1．
20．【答案】教学动机．解析：教学方法是指教学的途径和手段，是教学过程中教师教的方法和学 生学的方法的结合，是完成教学任务的方法的总称．
三、解答题（本大题共 4 题，第 21、22、23 题各 6 分，第 24 题 7 分，共 25 分） 21．【答案】（1）最少用 20000 元购买文艺刊物；（2）a 的值为 100．
解析：（1）设用 x 元购买文艺刊物，则用（30000﹣x）元购买科普书籍，根据题意得x≥2（30000﹣x），解得 x≥20000． 答：最少用 20000 元购买文艺刊物；
（2）由题意得 200（1+a%）×150（1﹣2
5a %）=6000+30000， 解得 a1=100，a2=50（不合题意舍去），∵a＞50，∴a=100．
答：a 的值为 100． 22．【答案】（1） （ ） 2 解析：（1） （ ） 2
（2
（2 ）
）；（2） + √ ． 2
2
2
2
2
2
√3 由在
2 （ 1） 2 ，
（ 1）
3+（ 1） ，
取得最大值， （ ） √3
∴ （ 2） 0，即
2，经检验符合题意 2
2
（2
）． 3
∴ （ ） √3
2
（2）由 ∈ （0， ），∴ （2
） ∈ （ ， ），又 （ ） 2 ） ∈ （0， ），∴ （2
） 18 3
3， 3
2，且
2，解得
1． 3 ．
3
2），
（2 （2
） ）
+ √ ．
（2 ） ，
∴
（2 2
） ，得（2 （2
）+ 3 3 6 ）（
6
∴
23．【答案】（1） 解析：（1）6
2时，6 化为：（ ∵
0，∴ 1时，6
2；（2）
2， ∈ ∗．
2 （
3） 0，
∴数列 是等差数列，首项为 1，公差为 3． ∴ （2）
1 3（ 1） 3 （ 1）
（6
2．
2） ． 2） 3（12
7） 36
36
21．
（ ） 21
（ 1） （3 5） （6
∴
∴数列 的前 2n 项的和
36（1 2 ⋯…
） 21
18
3 ．
24.【答案】 x n 1n1 y n ．解析：按第一列展开，原式= x n 1n1 y n ．
四、综合题（本大题共 4 题，第 25、26 题各 6 分，27 题 7 分，第 28 题 11 分，共 30 分） 25．【参考答案】
数感的主要表现在以下几个方面：（1）理解数的意义；（2）能用多种方法来表示数；（3）能在具体 的情景中把握数的相对大小关系；（4）能用数来表达和交流信息；（5）能为解决问题而选择适当的算法； （6）能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释．
26．【参考答案】
（1）目的性，要围绕教学重难点设计练习，要针对学生存在的问题展开练习．
（2）层次性，练习的设计要由易到难，由浅入深，有单一到综合，要有一定的坡度．多层训练有利于暴露差异，发展学生的思维能力．
（3）多样性，练习的形式多样，有利于学生学习兴趣的激发和思维的发展，要加强知识的应用性和开放性，培养灵活应用知识和解决问题的能力．
（4）反馈调节性，及时反馈了解学生练习的情况，适当调整练习．
（5）要有弹性，分量要适中，做到质、量兼顾；能促进各个层次的学生的发展，让每个学生都得到不同的收获；无论做什么练习都要面向全体学生，让全体学生都有练习的机会，都能得到提高．
27．【参考答案】（1）甲教师情境创设的优点在于运用学生熟悉的物理背景来进行情境导入，降低了认知的难度．
缺点在于看似联系实际，其实脱离学生的现有认知水平，使学生的认知起点与数学逻辑起点失调，
4
无法引起学生的思维共鸣，使问题情境中隐含的数学问题与数学方法不能与教学目标相衔接，不能形成 学生原有认知水平及生活经验的正迁移．
（2）乙教师的教学过程存在优点也存在缺陷．优点是一开始复习了上节内容，进行了新旧知识间的过渡，降低了学生对新知识的认知难度；采取了直接导入的方法，开门见山的介绍本节课题，引起学生的注意，使学生迅速进入学习状态，对本节内容的基本轮廓有了大致了解；整个教学过程条理清楚、重难点突出；最后进行巩固练习，加深了学生对新知识的识记和掌握．
缺点在于没有进行合适的情境创设，将知识全盘塞给学生，剥夺了学生研究问题的策略，无法激发学生学习新知识的兴趣，学生只能机械地配合老师的教学，整个过程中，缺乏师生间的互动，忽略了学生的主体地位．
（3）丙教师的教学过程存在优点也存在缺陷．优点是充分发挥了学生的主体地位，开放性问题激发了学生自主探究的兴趣，有利于培养他们的独立思考能力和创新意识．
缺点在于首先教师没有给出学生自主探究的准备时间，没有提供丰富的自学素材；另外教师导入的开放式问题并不能充分突出代数式这节的核心——“数”与“式”的区别；在探究过程中，教师没有科学合理地发挥自己的主导作用，小结也显得过于潦草和模糊．
28．【参考答案】 （1）教学三维目标：
知识与能力：掌握菱形概念，能正确应用菱形的性质． 过程与方法：通过画图过程，掌握集合的思想．
情感态度与价值观：体会菱形的图形美，感受数学中的对称美． 教学重难点：
教学重点：菱形的性质． 教学难点：菱形性质的应用． （2）教学设计一、新课导入
复习导入，提问学生平行四边形与矩形的概念以及之间的关系，利用教具演示使平行四边形一组邻 边相等，引出菱形的概念．
二、讲授新课
师生共同总结得到菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边新叫做菱形．同时教师强调菱形是平行 四边形以及一组邻边相等．
接着提问学生：菱形既然是特殊的平行四边形，它就具有平行四边形的一切性质，此外还有没有其他的性质，请同学们根据菱形的定义结合图形猜一下菱形有什么性质，引导学生分别从边、角、对角线三个方面分析．预设学生可以得到菱形的两个性质：
性质定理 1：菱形的四条边都相等；
性质定理 2：菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角．并由教师引导学生完成定理的规范证明
接着教师追问 1：被对角线师分成的四个直角三角形有什么关系？追问 2：它们的底和高和两条对
5
角线有什么关系？追问 3：则菱形的面积是什么？进而得到菱形面积的求法：对角线相乘的一半，并指出当不易求出对角线长时，就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积．
三、巩固新知
给出一个图形，先由学生证明四边形是菱形并求菱形的面积 四、小结作业
小结：菱形是特殊的平行四边形，平行四边形是特殊的四边形并且，菱形具有平行四边形的所有性 质，也有特殊的性质：四条边相等，对角线互相垂直且平分每一组对角．
作业：找找生活中菱形的实例并求面积．
6
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