分离参数法——精选推荐

前⾔

在⾼中数学教学实践中，有⼀种使⽤频度⽐较⾼的数学⽅法，叫分离参数法，她和许多数学素材有关联，⾼三学⽣⼤多都⽿熟能详，但对其具体的来由和需要注意的问题却不是很清楚，本博⽂试着对此做个总结，以廓清我们认识上的误区，帮助我们提⾼教学，也帮助学⽣顺利掌握这⼀⽅法。⽅法定义

[法1]：⼆次函数法，由于Δ=a2+8>0，故不需要考虑Δ<0的情形，

a2

№

1已知函数f(x)=x2+ax−2≥0在区间[1，5]上恒成⽴，求参数a的取值范围。

只需要考虑对称轴x=−和给定区间[1，5]的相对位置关系

a

当−≤1时，即a⩾−2时，函数f(x)在区间[1,5]单调递增，

所以f(x)min=f(1)=1+a−2⩾0,解得a⩾1，⼜因为a⩾−2，所以得到a⩾1。

a22

当−≥5时，即a⩽−10 时，函数f(x)在区间 [1,5]单调递减，

235所以f(x)min=f(5)=25+5a−2≥0,解得a≥−⼜因为a≤−10，所以得到a∈∅。

a2

，

a2

a24

a22

当1<−<5，即−10综上可得a⩾1。即a的取值范围是[1，+∞)

[法2]：两边同时除以参数a的系数x(由于x∈[1，5]，不等号⽅向不变)，得到

2x2xa⩾

－x在区间 [1，5]上恒成⽴, 令g(x)=

2x－x，

则利⽤函数单调性的结论，可以看到g(x)=－x在区间 [1，5]上单调递减，所以g(x)max=g(1)=1，所以a⩾1，即a的取值范围是[1，+∞)

相⽐较⽽⾔，法2⽐法1要简单快捷的多，其使⽤的策略是将参数和⾃变量分离开，故这样的⽅法⾃然就叫分离参数法。使⽤场景

№

e2

2【2017⋅ 西安模拟】已知函数f(x)=kx2−lnx有两个零点，求参数k的取值范围。

1√2e

2

A.k> B.0

D.02e

【法1】：不完全分离参数法，定义域为(0，+∞)，转化为⽅程kx2=lnx有两个不同的实数根，

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