实变函数论的思想体系

集合论的观点在20世纪初首先引起积分学的变革，从而导致实变函数论的建立。

19世纪末，分析的严格化迫使许多数学家认真思考所谓的“病态函数”特别是不连续函数，

1,当x为有理数如狄利克雷函数f(x)，发现牛顿和莱布尼茨建立的微积分学存在缺

0，当x为无理数点：

1，R积分与极限可交换的条件太严格，可积的函数类太少， 2，积分不完全是微分的逆运算。

在这方面，首先获得成功的是法国数学家勒贝格（Lelesgue，1875—1941）。他在1902年发表的《积分，长度与面积》的博士论文，以康托尔（Cantor,1845—1918）的集合论为基础建立“测度”的概念，进而建立勒贝格积分。

黎曼积分究竟有什么缺陷？分析黎曼积分的定义：由yf(x)围成的曲边梯形的面积采用内填外包法：

mxf()xMxiiiiiiiii *

如果在每个小区间的函数值得差很小 ，当区间分的很细时矩形的面积之差可以无限小，当都趋向于一个定值L，称R可积。 那么，狄利克雷函数f(x)1,当x为有理数0，当x为无理数，不管你把区间[0,1]划分多么小的n个小

区间，m0,M1，* 式左右不相等，所以R不可积。

勒贝格的创新点：

勒贝格从数钱币产生灵感：我们数一堆硬币，可以一叠叠地竖着书，也可以一层层横着数，这就是说，我们求曲边梯形的面积，不分割定义域，而是分割值域.

仍以狄利克雷函数为例，它只取两个函数值０和１ ，取０的是［０，１］中的无理数集Ｉ，取１的是［０，１］中的有理数集Ｑ。假定Ｉ的长度 m(I)=1,Q的长度是m(Q)=0,不管把Ｙ轴上的［０，１］分的如何细，因为D（x）只有两个值，它和［０，１］构成的曲边梯形的面积始终是：1m(Q)0m(I)，这样问题归结为如何求m(I)和m(Q)了。 众所周知，在数学分析中Ｑ，Ｉ集合是没有长度的，勒贝格创立了测度论，使得m(I)=1,Q的长度是m(Q)=0,这样D(x)dx1m(Q)0m(I)＝０。

L

集合论 测度论 可测函数 勒贝格积分 本书的思路：

并重建微积分基本定理，实变函数的理论就这样展开了。实变函数是微积分的推广，它使微积分的适用范围大大扩大，引起数学分析的深刻变化，因此，勒贝格积分理论是20世纪数学的重大贡献之一，这项理论正像许多新生事物一样刚开始就遭到许多人的反对，当时就像埃尔米特这样的大数学家，都毫不掩饰他对研究病态函数的反感，他在一封信中写道：“我怀着惊恐的心情对不可到函数的令人痛惜的祸害感到厌恶。”勒贝格回忆他的积分理论公布后，在人们心中“成了没有导数的函数的人”，勒贝格从1902 年发表论文气差不多10年内在巴黎找不到职位，直到1910年才获准进入巴黎大学，他已46岁。