2019-2020学年山东省聊城市莘县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，如图是我国四个银行的商标图案，其中是轴对称图形的有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
2．（3分）下列各式：，，，，（x+y）中，是分式的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是（ ）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
4．（3分）下列各式中，从左到右变形正确的是（ ）
A．＝ B．＝a+b
C．＝﹣ D．＝
5．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90°
B．95°
C．100°
D．105°
6．（3分）如图，等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APB的度数是（
）
A．45° B．60° C．120° D．150°
7．（3分）如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．扩大4倍
8．（3分）如果点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
9．（3分）下列四个分式中，是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）若等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．13
11．（3分）如图，垂直平分AB，交AC于点D，交AB于点E，连接BD，若AC＝6cm，BC＝4cm，则△BCD的周长为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
12．（3分）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，若∠2＝40°，则∠1的度数为（ ）
A．110°
B．115°
C．125°
D．130°
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
13．（3分）若式子的值为零，则x的值为 ．
14．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数可能为 ．
15．（3分）在如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝ °．
16．（3分）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、在BC上，则∠EAN＝ ．
N
17．（3分）当x分别取100、、99、、98、、…、2、、1、0时，分式都对应着一个
值，将所有这些值相加得到的和等于 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64分）
18．（8分）先化简，再求值：的值代入求值．
，并从﹣1，0，2中选一个合适的数作为a19．（8分）如图，有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A、B，电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1、l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
20．（8分）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）
（1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；
（2）写出点A′B′C′的坐标；
（3）求△ABC的面积．
21．（8分）如图，点D，C在BF上，AB∥EF，∠A＝∠E，BD＝CF．求证：AB＝EF．
22．（8分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）若AD＝12，DE＝7，求BE的长．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．
（1）如图1，若AD垂直于x轴，垂足为点D，点A的坐标是（﹣3，1），求点B的坐标；
（2）如图2，直角边BC在两坐标轴上滑动，过A作AD⊥y轴于D．请猜想OB、OC、AD之间有怎样的关系，并证明你的猜想．
25．（8分）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
＝1﹣；＝﹣；＝﹣…
（1）计算+++……+；
（2）探究+++……+（用含n的式子表示）；
（3）计算+++……+．
2019-2020学年山东省聊城市莘县八年级（上）期中数学试卷
试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，如图是我国四个银行的商标图案，其中是轴对称图形的有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【解答】解：①不是轴对称图形；
②是轴对称图形；
③是轴对称图形；
④是轴对称图形；
故选：D．
2．（3分）下列各式：，，，，（x+y）中，是分式的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：下列各式：，，，，（x+y）中，是分式为，，（x+y）．
故选：C．
3．（3分）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是（ ）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
【解答】解：依题意知，
在△DOF与△EOF中，
∴△DOF≌△EOF（SSS），
即OF即是∠AOB的平分线．
故选：D．
4．（3分）下列各式中，从左到右变形正确的是（ ）
A．＝ B．＝a+b
C．＝﹣ D．＝
【解答】解：A、当a≠b时，原式不成立，故本选项错误；
B、当＝a+b，原式不成立，故本选项错误；
C、原式成立，故本选项正确；
D、＝，故本选项不正确．
故选：C．
5．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90°
B．95°
C．100°
D．105°
【解答】解：∵CD＝AC，∠A＝50°，
∴∠ADC＝∠A＝50°，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠ADC＝25°，
故选：D．
6．（3分）如图，等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APB的度数是（
A．45°
B．60°
C．120°
D．150°
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
）
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠APB＝180°﹣60°＝120°，
故选：C．
7．（3分）如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．扩大4倍
【解答】解：，
即分式的值不变．
故选：B．
8．（3分）如果点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值是（A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【解答】解：∵点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，
又∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
）
∴a+b＝1，故选B．
9．（3分）下列四个分式中，是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：（B）原式＝＝x+1，故B不是最简分式，
（C）原式＝，故C不是最简分式，
（D）原式＝＝a+b，故D不是最简分式，
故选：A．
10．（3分）若等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是（A．17 B．22 C．17或22 D．13
【解答】解：当腰为9时，周长＝9+9+4＝22；
当腰长为4时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
故选：B．
）
11．（3分）如图，垂直平分AB，交AC于点D，交AB于点E，连接BD，若AC＝6cm，BC＝4cm，则△BCD的周长为（ ）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴△BDC的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）．
故选：C．
12．（3分）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，若∠2＝40°，则∠1的度数为（
A．110°
B．115°
C．125°
D．130°
【解答】解：∵∠2＝40°，
∴∠FGA'＝40°，
）
∴Rt△A'FG中，∠A'FG＝90°﹣40°＝50°，
又∵∠1＝∠EFA'，
又∵∠1+∠EFG＝180°，
解得∠1＝115°，
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
13．（3分）若式子的值为零，则x的值为 ﹣1 ．
【解答】解：∵式子的值为零，
∴x2﹣1＝3，（x﹣1）（x+2）≠0，
故答案为：﹣1．
14．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数可能为 50°或130° ．
【解答】解：①当为锐角三角形时，如图，
高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°；
②当为钝角三角形时，如图，此时垂足落到三角形外面，
因为三角形内角和为180°，
所以三角形的顶角为130°．
故答案为50°或130°．
15．（3分）在如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝ 135 °．
【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
在Rt△ABC中，∠BAC+∠1＝90°，
由图可知，△ABF是等腰直角三角形，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故答案为：135．
16．（3分）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN＝ 32° ．
【解答】解：∵△ABC中，∠BAC＝106°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣106°＝74°，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝106°﹣74°＝32°．
故答案为32°．
17．（3分）当x分别取100、、99、、98、、…、2、、1、0时，分式都对应着一个
值，将所有这些值相加得到的和等于 ﹣1 ．
【解答】解：因为+＝+＝0，
所以当x分别取值，n（n为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0，
故答案为：﹣1．
三、解答题（本大题共8小题，共64分）
18．（8分）先化简，再求值：的值代入求值．
，并从﹣1，0，2中选一个合适的数作为a【解答】解：原式＝（﹣）×+﹣a
＝×+﹣a
＝﹣a
当a＝﹣1或2时，原式分母为5，无意义，
∴当a＝0时，原式＝﹣1．
19．（8分）如图，有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A、B，电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1、l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：作图如下：C1，C2就是所求的位置．
20．（8分）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）
（1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；
（2）写出点A′B′C′的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；
（2）点A′的坐标为（4，4），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1）；
（6）△ABC的面积为：7×4﹣×2×5﹣×4×5﹣×1×7＝11.5．
21．（8分）如图，点D，C在BF上，AB∥EF，∠A＝∠E，BD＝CF．求证：AB＝EF．
【解答】证明：∵AB∥EF，
∴∠B＝∠F．
∴BC＝FD．
∴△ABC≌△EFD（AAS），
∴AB＝EF．
22．（8分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）若AD＝12，DE＝7，求BE的长．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，
∴∠ECB+∠ACD＝90°∠ECB+∠CBE＝90°，
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∵AC＝BC，
（2）∵△ACD≌△CBE，
∵AD＝12，DE＝7，
∴BE＝CD＝CE﹣DE＝12﹣7＝5．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系．
【解答】解：结论：BD+CE＝DE．
理由如下：∵BF、CF分别∠ABC与∠ACB
又∵DE∥BC
∴∠BFD＝∠ABF，∠CFE＝∠ACF
∴BD+CE＝DF+EF＝DE．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．
（1）如图1，若AD垂直于x轴，垂足为点D，点A的坐标是（﹣3，1），求点B的坐标；
（2）如图2，直角边BC在两坐标轴上滑动，过A作AD⊥y轴于D．请猜想OB、OC、AD之间有怎
样的关系，并证明你的猜想．
【解答】解：（1）∵点A的坐标是（﹣3，1），
∴AD＝1，OD＝3
∴∠ACD+∠BCO＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴△ACD≌△CBO（AAS）
∴CD＝BO＝OD﹣OC＝4
（2）OB＝OC+AD，
∴四边形AEOD是矩形
∵∠BCA＝90°
∴∠ACO＝∠OBC，且BC＝AC，∠BOC＝∠AEC，
∴BO＝CE
∴BO＝CE＝EO+OC＝AD+OC
25．（8分）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
＝1﹣；＝﹣；＝﹣…
（1）计算+++……+；
（2）探究+++……+（用含n的式子表示）；
（3）计算+++……+．
【解答】解：（1）原式＝1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝7﹣
（2）原式＝1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝；
（6）原式×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝（1﹣）
＝．
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