知识点 集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 集 合 (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义. 集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算. 理解命题的概念. 命题及其关系、充分条件与必要条件 了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系. 理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 理解全称量词和存在量词的意义. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 第1讲 集合及其运算
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
考纲下载 (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法
集合 符号 2.集合间的基本关系
表示 关系 自然语言 集合A中所有元素都在集子集 合B中(即若x∈A，则x∈B) 集合A是集合B的子集，真子集 且集合B中至少有一个元素不在集合A中 集合相等 3.集合的基本运算
图形语言 续 表
符号语言 集合的并集 A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} 集合的交集 A∩B＝ {x|x∈A，且x∈B}
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．( ) (2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.( ) (3)若AB，则A⊆B且A≠B.( ) (4)N*N
Z.( )
集合的补集 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 集合的并集 集合的交集 集合的补集 集合A，B中元素相同 符号 语言 A⊆B (或B⊇A) AB (或BA) Venn图 自然数集 N 正整数集 N*(或N＋) 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R A＝B (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
(教材习题改编)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( ) A．A⊆B C．D⊆C 答案：B
(教材习题改编)设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝( ) A．{x|3≤x<5} C．{3，4}
解析：选C.因为A＝{x|2≤x<5}， B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}＝{x∈Z|x≥3}， 所以A∩B＝{3，4}．
(2017·高考江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．
解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}得a＝1，即实数a的值为1. 答案：1
(教材习题改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2 [典例引领] (1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) A．1 C．6 B．3 D．9 B．{x|2≤x≤3} D．{3，4，5} B．C⊆B D．A⊆D (2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________． 【解析】 (1)当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2. 故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素． (2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3. 当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3， 此时集合A中有重复元素3， 所以m＝1不符合题意，舍去； 当2m2＋m＝3时， 3 解得m＝－或m＝1(舍去)， 23 此时当m＝－时， 21 m＋2＝≠3符合题意． 23 所以m＝－. 2 3 【答案】 (1)C (2)－ 2 [通关练习] 1．已知集合A＝{x|x∈Z，且A．2 C．4 3 解析：选C.因为∈Z， 2－x 所以2－x的取值有－3，－1，1，3， 又因为x∈Z，所以x值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4. b 2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，a，b，则b－a＝( ) 3 ∈Z}，则集合A中的元素个数为( ) 2－x B．3 D．5 A．1 C．2 B．－1 D．－2 bb 解析：选C.因为{1，a＋b，a}＝0，a，b，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1， ab＝1.所以b－a＝2. 3．设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________． 2 （2－a）<1， 解析：由题意得 2 （3－a）≥1 1 [典例引领] (1)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1 (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________． 【解析】 (1)由题意知A＝{x|－1 ②若B≠∅，则m＋1≥－2， 2m－1≤5.解得2≤m≤3. 由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3. 【答案】 (1)B (2)(－∞，3] 1.在本例(2)中，若A⊆B，如何求解？ m＋1≤－2，m≤－3， 解：若A⊆B，则即 m≥3.2m－1≥5， 所以m的取值范围为∅. 2.若将本例(2)中的集合A改为：A＝{x|x<－2或x>5}，如何求解？ 解：因为B⊆A， 所以①当B＝∅时，即2m－1 ②当B≠∅时， m＋1>5m＋1≤2m－1， 或 2m－1<－2，m≥2，m≥2，解得或1 m>4m<－2.即m>4. 综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)． [通关练习] 1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0 解析：选D.因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个． 2．已知集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|－m －m 集合的基本运算 集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．高考对集合运算的考查主要有以下两个命题角度： (1)集合间的交、并、补运算； (2)已知集合的运算结果求参数的值(范围)． [典例引领] 角度一 集合间的交、并、补运算 (1)(2017·高考天津卷)设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}， 则(A∪B)∩C＝( ) A．{2} C．{1，2，4，6} B．{1，2，4} D．{x∈R|－1≤x≤5} (2)(2018·南昌市第一次模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，集合B＝{y|y＝x＋1}，那么A∩(∁UB)＝( ) A．∅ C．(0，1) B．(0，1] D．(1，＋∞) 【解析】 (1)A∪B＝{1，2，4，6}，(A∪B)∩C＝{1，2，4}，选项B符合． (2)由题知，A＝{x|y＝lg x}＝{x|x>0}＝(0，＋∞)，B＝{y|y＝x＋1}＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，所以A∩(∁UB)＝(0，＋∞)∩(－∞，1)＝(0，1)． 【答案】 (1)B (2)C 角度二 已知集合的运算结果求参数的值(范围) (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}， 则B＝( ) A．{1，－3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5} 1 (2)(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}， 2若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( ) A．[1，＋∞) 2 C．[，＋∞) 3 1 B．[，1] 2D．(1，＋∞) 【解析】 (1)因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}，选择C. 2a－1≥1 (2)因为A∩B≠∅，所以1，解得a≥1，故选A. 2a－1≥a2 【答案】 (1)C (2)A (1)集合基本运算的求解策略 ①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算． ②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验． ③根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解． (2)集合的交、并、补运算口诀 交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集． [通关练习] 1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝( ) A．{1} C．{0，1，2，3} B．{1，2} D．{－1，0，1，2，3} 解析：选C.由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，所以A∪B＝{0，1，2，3}，故选C. 2．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( ) A．{x|－2≤x<4} C．{x|－2≤x≤－1} B．{x|x≤2或x≥4} D．{x|－1≤x≤2} 解析：选D.依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，选D. 3．(2018·河北衡水中学第七次调研)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0 解析：选D.A＝{x|log2x<1}＝{x|0 [典例引领] Am (1)定义集合的商集运算为＝{x|x＝，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝ BnkB {x|x＝－1，k∈A}，则集合∪B中的元素个数为( ) 2AA．6 C．8 B．7 D．9 (2)如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________． B1111B111【解析】 (1)由题意知，B＝{0，1，2}，＝{0，，，，1，}，则∪B＝{0，，，， A2463A2461 1，，2}，共有7个元素，故选B. 3 (2)由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}． 【答案】 (1)B (2){0，6} 解决集合创新型问题的方法 (1)要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转化，并将其运用到具体的解题过程中． (2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等)，将新定义问题转化到已学的知识中进行求解． [通关练习] 1．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0 解析：符合题意的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个． 答案：6 集合运算的性质 (1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B. (2)A∩A＝A，A∩∅＝∅. (3)A∪A＝A，A∪∅＝A. (4)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. (5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. (6)若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2. 易错防范 (1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． (2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误． (3)防范空集．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考 虑∅是否成立，以防漏解． 1．(2017·高考北京卷)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则∁UA＝( ) A．(－2，2) C．[－2，2] B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：选C.由已知可得，集合A的补集∁UA＝[－2，2]． 2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( ) A．A∩B＝{x|x<0} C．A∪B＝{x|x>1} B．A∪B＝R D．A∩B＝∅ 解析：选A.集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，所以A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．故选A. 1 3．已知集合A＝{x∈R|x－＝0}，则满足A∪B＝{－1，0，1}的集合B的个数是( ) xA．2 C．4 B．3 D．9 1 解析：选C.解方程x－＝0，得x＝1或x＝－1，所以A＝{1，－1}，又A∪B＝{－1，0， x1}，所以B＝{0}或{0，1}或{0，－1}或{0，1，－1}，集合B共有4个． 4．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＝n，n∈A}，则A∩B的真子集个数为( ) A．5 C．7 B．6 D．8 解析：选C.由题意，得B＝{0，1，2，3，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7.故选C. 5．(2018·云南省第一次统一检测)设集合A＝{x|－x2－x＋2<0}，B＝{x|2x－5>0}，则集合A与集合B的关系是( ) A．B⊆A C．B∈A B．B⊇A D．A∈B 5 解析：选A.因为A＝{x|－x2－x＋2<0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|2x－5>0}＝{x|x>}，所以 2B⊆A，故选A. 6．(2018·陕西西安模拟)已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，则集合M与集合N的关系是( ) A．M＝N B．M∩N＝N C．M∪N＝N D．M∩N＝∅ 解析：选B.因为集合M＝{－1，0，1}．N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，所以N＝{－1，0}，所以集合M∩N＝N.故选B. 7．(2018·河南百校联盟联考)若集合A＝{x|y＝lg(3x－x2)}，B＝{y|y＝1＋A∩∁RB等于( ) A．(0，2] C．(3，5) B．(2，3) D．(－2，－1) 4 ，x∈A}，则x＋1 解析：选A.因为A＝(0，3)，所以B＝(2，5)，所以A∩∁RB＝(0，2]．故选A. 8．(2018·湖北武昌模拟)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝( ) A．{0，1} C．{0，1，2} B．{1，2} D．{0，1，2，5} 解析：选D.因为 A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}＝{x|2 B．2 D．1或2 解析：选B.当a＝1时，B中元素均为无理数 ，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1，2}，A∩B＝{1，2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅.故a的值为2，选B. 10．(2018·安徽省两校阶段性测试)设A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|ln(3－2x)<0}，则图中阴影部分表示的集合为( ) 3A．(－∞，) 23 C．[1，) 2 3 B．(1，) 23 D．(，3] 2 解析：选B.A＝{x|x2－4x＋3≤0}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|ln(3－2x)<0}＝{x|0<3－2x<1}＝33 {x|1 11．(2018·安徽淮北第二次模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x|x＋2a≥0}，N＝{x|log2(x－1)<1}，若集合M∩(∁UN)＝{x|x＝1或x≥3}，那么a的取值为( ) 1A．a＝ 21 C．a＝－ 2 1 B．a≤ 21 D．a≥ 2 解析：选C.因为log2(x－1)<1，所以x－1>0且x－1<2，即1 2 12．(2018·豫北名校联考)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P⊗Q＝{z|z＝a÷b，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1，0，1}，Q＝{－2，2}，则集合P⊗Q中元素的个数是( ) A．2 C．4 B．3 D．5 解析：选B.当a＝0时，无论b取何值，z＝a÷b＝0； 1当a＝－1，b＝－2时，z＝； 21 当a＝－1，b＝2时，z＝－； 21 当a＝1，b＝－2时，z＝－； 21 当a＝1，b＝2时，z＝. 2 11 故P⊗Q＝{0，－，}，该集合中共有3个元素，所以选B. 22 13．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝________． 解析：由于A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，结合数轴，∁U(A∪B)＝{x|0 15．设集合I＝{x|－3 16．已知A＝{x|x2－3x＋2＜0}，B＝{x|1＜x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________． 解析：因为A＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}⊆B，所以a≥2. 答案：[2，＋∞) kππkππ1．(2018·山东烟台调研)已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，集合N＝x|x＝8－4，k∈Z， 44则( ) A．M∩N＝∅ C．N⊆M B．M⊆N D．M∪N＝M （2k＋4）π2nππ 解析：选B.由题意可知，M＝{x|x＝π－，k∈Z}＝x|x＝8－4，n∈Z，N＝{x|x 84（2k－1）π2kππ ＝－或x＝π－，k∈Z}，所以M⊆N，故选B. 8484 2．(2018·宁夏银川二中考试)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是( ) A．(0，1] C．(0，1) B．[1，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：选B.法一：由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)． 由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1. 法二：因为A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，取c＝1，则B＝(0，1)，所以A⊆B成立，可排除C，D；取c＝2，则B＝(0，2)，所以A⊆B成立，可排除A. 3．设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为________． 解析：因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1 答案：(－∞，－1]∪(0，1) 4．若集合A具有以下性质： 1 (1)0∈A，1∈A；(2)x，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A，则称集合A是“完美集”， x给出以下结论： ①集合B＝{－1，0，1}是“完美集”； ②有理数集Q是“完美集”； ③设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x＋y∈A； ④设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A； y ⑤对任意的一个“完美集”A，若x，y∈A，且x≠0，则∈A. x其中正确结论的序号是________． 解析：①－1∈B，1∈B，但是－1－1＝－2∉B，B不是“完美集”； ②有理数集满足“完美集”的定义； ③0∈A，x，y∈A，0－y＝－y∈A，那么x－(－y)＝x＋y∈A； ④对任意一个“完美集”A，任取x，y∈A，若x，y中有0或1时，显然xy∈A，若x，y均111111 不为0，1，而＝＋＝＋，x，x－1∈A，那么 xy2xy2xy（x＋y）2－x2－y2（x＋y）2－x2－y2x－111 －＝∈A，所以x(x－1)∈A，进而x(x－1)＋x＝x2∈A.结合前面的算式，知xy∈A； xx（x－1）1y ⑤x，y∈A，若x≠0，那么∈A，那么由④得∈A. xx故填②③④⑤. 答案：②③④⑤ 5．已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3，5}． (1)求实数a，b，c的值； (2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z. 解：(1)因为A∩B＝{3}，所以3∈B，所以32＋c×3＋15＝0，c＝－8， 所以B＝{x∈R|x2－8x＋15＝0}＝{3，5}， 又因为A∩B＝{3}，A∪B＝{3，5}，所以A＝{3}， 所以方程x2－ax＋b＝0有两个相等的实数根都是3，所以a＝6，b＝9，所以a＝6，b＝9，c＝－8. 5 (2)不等式ax2＋bx＋c≤7即6x2＋9x－8≤7，所以2x2＋3x－5≤0，所以－≤x≤1， 25 所以P＝{x|－≤x≤1}， 2 5 所以P∩Z＝{x|－≤x≤1}∩Z＝{－2，－1，0，1}． 2 6．(2018·徐州模拟)已知集合A＝{x|1 (2)由A⊆B知2m≤1， 1－m≥3， 得m≤－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A∩B＝∅，得 1 ①若2m≥1－m，即m≥时，B＝∅，符合题意； 311m<，m<33，1 ②若2m<1－m，即m<时，需或 3 1－m≤12m≥3，11 得0≤m<或∅，即0≤m<. 33 综上知m≥0，即实数m的取值范围为[0，＋∞)． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容