合川区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
x1tcos1． 已知直线l的参数方程为（t为参数，为直线l的倾斜角），以原点O为极点，x轴
y3tsin正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4sin(3)，直线l与圆C的两个交点为A,B，当2 3
|AB|最小时，的值为（ ）
A．4 B．3 C．3 4 D．2． 过抛物线y=x2上的点的切线的倾斜角（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
3． 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ） A．10个 B．15个 C．16个 D．18个
4． 二进制数10101化为十进制数的结果为（ ） （2）A．15 B．21 C．33 D．41 5． 函数y=sin（2x+A．x=﹣
B．x=﹣
）图象的一条对称轴方程为（ ） C．x=
D．x=
6． 下列语句所表示的事件不具有相关关系的是（ ） A．瑞雪兆丰年
B．名师出高徒
C．吸烟有害健康
D．喜鹊叫喜
7． 若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（ ） A．（﹣∞，）
B．（﹣，+∞）
C．（0，+∞）
D．（﹣∞，﹣）
8． 函数y=2sin2x+sin2x的最小正周期（ ） A．
B．
C．π
D．2π
9． 若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ）
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精选高中模拟试卷
A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，﹣2） D．（4，2）
10．学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）
A．20种 B．24种 C．26种 D．30种
11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（ ） A．0
B．0或
C．
或
D．0或
12．已知
2x(x0)f(x)|log2x|(x0)B．4个
，则方程f[f(x)]2的根的个数是（ ）
A．3个
C．5个 D．6个
二、填空题
13．fx）+∞）f2）=0，flog8x）定义在R上的偶函数（在[0，上是增函数，且（则不等式（＞0的解集是 ．
14．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．
15．已知过球面上 A,B,C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且
ABBCCA2，则
球表面积是_________.
16．B、C、D四点，在半径为2的球面上有A、若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为 ．
2217．设集合 Ax|2x7x150,Bx|xaxb0,满足
AB,ABx|5x2,求实数a__________.
18．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是 ．
三、解答题
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精选高中模拟试卷
19．如图所示，一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2﹣6x﹣91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．
20．已知函数f（x）=alnx﹣x（a＞0）． （Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若x∈（0，a），证明：f（a+x）＞f（a﹣x）；
（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f（α）=f（β），且α＜β，证明：α+β＞2α
21．CE=1，CE为边向Rt△BEC外作正△EBA∠EBC=30°，∠BEC=90°，如图，在Rt△ABC中，现在分别以BE，和正△CED．
（Ⅰ）求线段AD的长；
（Ⅱ）比较∠ADC和∠ABC的大小．
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精选高中模拟试卷
22．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为
相切．
，以原点为圆心，
椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF1F2=∠PF1Q，求证：直线l过定点，并求出斜率k的取值范围．
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23．已知复数z=
（1）求z的共轭复数；
（2）若az+b=1﹣i，求实数a，b的值．
．
24．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}， （1）求a，b；
2
（2）解不等式ax﹣（ac+b）x+bc＜0．
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合川区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C的方程为(x3)2(y1)24，直线l的普通方程为y3tan(x1)，直线l过定点M(1,3)，∵
|MC|2，∴点M在圆C的内部．当|AB|最小时，直线l直线MC，kMC1，∴直线l的斜率为1，∴
，选A．
42． 【答案】B
2
【解析】解：y=x的导数为y′=2x， 在点
由k=tanα=1， 解得α=45°． 故选：B．
的切线的斜率为k=2×=1，
设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的求法，考查运算能力，属于基础题．
3． 【答案】B
【解析】解：a※b=12，a、b∈N，
*
若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；
若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，
所以满足条件的个数为4+11=15个． 故选B
4． 【答案】B 【解析】
试题分析：10101212121221，故选B. 考点：进位制 5． 【答案】A
【解析】解：对于函数y=sin（2x+
），令2x+
=kπ+
，k∈z，
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精选高中模拟试卷
求得x=π，可得它的图象的对称轴方程为x=π，k∈z， 故选：A．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
6． 【答案】D
【解析】解：根据两个变量之间的相关关系，
可以得到瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收， 名师出高徒也具有相关关系， 吸烟有害健康也具有相关关系， 故选D．
【点评】本题考查两个变量的线性相关关系，本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个变量之间的关系，本题是一个基础题．
7． 【答案】D
2
【解析】解：当x∈（0，）时，2x+x∈（0，1），
∴0＜a＜1，
22
∵函数f（x）=loga（2x+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=logat和t=2x+x复合而成，
0＜a＜1时，f（x）=logat在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间． t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣）， ∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣）， 故选：D． 大于0条件．
8． 【答案】C
【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数
2
【解析】解：函数y=2sinx+sin2x=2×
+sin2x=sin（2x﹣）+1，
则函数的最小正周期为故选：C．
=π，
【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为
，属于基础题．
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9． 【答案】C
=
=4﹣2i，
【解析】解：复数z满足iz=2+4i，则有z=
故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2）， 故选C．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的 关系，属于基础题．
10．【答案】A
【解析】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；
甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案； 甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案； 甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案． 故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案， 故选：A．
【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想．
11．【答案】D
2
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x，
22
∴当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，f（﹣x）=（﹣x）=x=f（x），
又f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数，
又直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：
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当a=0时，直线y=x+a变为直线l1，其方程为：y=x，显然，l1与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点；
当a≠0时，直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线y=x+a与函数y=f（x）相切，切点的横坐标x0∈[0，1]． 由
2
得：x﹣x﹣a=0，由△=1+4a=0得a=﹣，此时，x0=x=∈[0，1]．
综上所述，a=﹣或0 故选D．
12．【答案】C
【解析】由f[f(x)]2，设f（A）=2,则f（x）=A,则log2x2，则A=4或A=数型结合，当A=
1，作出f（x）的图像，由41时3个根，A=4时有两个交点，所以f[f(x)]2的根的个数是5个。 4）∪（64，+∞） ．
二、填空题
13．【答案】 （0，
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数， ∴f（log8x）＞0，等价为：f（|log8x|）＞f（2）， 又f（x）在[0，+∞）上为增函数， ∴|log8x|＞2，∴log8x＞2或log8x＜﹣2， ∴x＞64或0＜x＜
．
}
即不等式的解集为{x|x＞64或0＜x＜故答案为：（0，
）∪（64，+∞）
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．
14．【答案】 甲 ．
【解析】解：【解法一】甲的平均数是方差是
=（87+89+90+91+93）=90，
= [（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；
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乙的平均数是方差是∵
＜
=（78+88+89+96+99）=90，
= [（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2； ，∴成绩较为稳定的是甲．
【解法二】根据茎叶图中的数据知，
甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些； 乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些； 所以甲的成绩相对稳定些． 故答案为：甲．
【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．
15．【答案】【解析】111]
64 9考点：球的体积和表面积.
【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键. 16．【答案】
．
【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P， 设点P到CD的距离为h， 则有 V=×2×h××2，
，
当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2则四面体ABCD的体积的最大值为故答案为：
．
．
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【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．
17．【答案】a【解析】
7,b3 2考
点：一元二次不等式的解法；集合的运算.
【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了转化与化归思想的应用，其中一元二次不等式的求解是解答的关键. 18．【答案】 2：1 ．
【解析】解：设圆锥、圆柱的母线为l，底面半径为r， 所以圆锥的侧面积为：圆柱的侧面积为：2πrl
所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1 故答案为：2：1
=πrl
三、解答题
19．【答案】
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【解析】解：（方法一）设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，
2222
将圆的方程分别配方得：（x+3）+y=4，（x﹣3）+y=100， 当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|=R+2…① 当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|=10﹣R…② 将①②两式相加，得|O1M|+|O2M|=12＞|O1O2|，
∴动圆圆心M（x，y）到点O1（﹣3，0）和O2（3，0）的距离和是常数12， ∴2c=6，2a=12， ∴c=3，a=6
2
∴b=36﹣9=27
所以点M的轨迹是焦点为点O1（﹣3，0）、O2（3，0），长轴长等于12的椭圆．
，轨迹为椭圆．
∴圆心轨迹方程为
（方法二）：由方法一可得方程2
，移项再两边分别平方得：
22
两边再平方得：3x+4y﹣108=0，整理得
所以圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．
【点评】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是椭圆是关键．
20．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）令
，所以x=a．
易知，x∈（0，a）时，f′（x）＞0，x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0． 故函数f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）递减． 故f（x）max=f（a）=alna﹣a．
（Ⅱ）令g（x）=f（a﹣x）﹣f（a+x），即g（x）=aln（a﹣x）﹣aln（a+x）+2x． 所以
，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0．
所以g（x）＜g（0）=0，即f（a+x）＞f（a﹣x）． （Ⅲ）依题意得：a＜α＜β，从而a﹣α∈（0，a）．
由（Ⅱ）知，f（2a﹣α）=f[a+（a﹣α）]＞f[a﹣（a﹣α）]=f（α）=f（β）． 又2a﹣α＞a，β＞a．所以2a﹣α＜β，即α+β＞2a．
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【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）在Rt△BEC中，CE=1，∠EBC=30°，∴BE=在△ADE中，AE=BE=由余弦定理可得AD=
（Ⅱ）∵∠ADC=∠ADE+60°，∠ABC=∠EBC+60°， ∴问题转化为比较∠ADE与∠EBC的大小． 在△ADE中，由正弦定理可得∴sin∠ADE=∴∠ADE＜30° ∴∠ADC＜∠ABC．
【点评】本题考查余弦定理的运用，考查正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦、余弦定理是关键．
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）， 椭圆的离心率为
，即有=
，即a=
c，b=
=c，
＜=sin30°，
，
，DE=CE=1，∠AED=150°，
=
；
，
222
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x+y=b，
直线y=x+即有a=
与圆相切，则有，
+y2=1；
=1=b，
则椭圆C的方程为
（Ⅱ）证明：设Q（x1，y1），R（x2，y2），F1（﹣1，0）， 由∠RF1F2=∠PF1Q，可得直线QF1和RF1关于x轴对称， 即有
+
=0，即
+
=0，
即有x1y2+y2+x2y1+y1=0，①
设直线PQ：y=kx+t，代入椭圆方程，可得
222
（1+2k）x+4ktx+2t﹣2=0，
2222
判别式△=16kt﹣4（1+2k）（2t﹣2）＞0，
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22
即为t﹣2k＜1②
x1+x2=，x1x2=，③
y1=kx1+t，y2=kx2+t，
代入①可得，（k+t）（x1+x2）+2t+2kx1x2=0， 将③代入，化简可得t=2k，
则直线l的方程为y=kx+2k，即y=k（x+2）． 即有直线l恒过定点（﹣2，0）． 将t=2k代入②，可得2k＜1，
2
解得﹣＜k＜0或0＜k＜．
，0）∪（0，
）．
则直线l的斜率k的取值范围是（﹣
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．
23．【答案】
【解析】解：（1）∴=1﹣i．
．
（2）a（1+i）+b=1﹣i，即a+b+ai=1﹣i， ∴
，
解得a=﹣1，b=2．
【点评】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题，熟记相关概念是解题关键．
24．【答案】 【解析】解：（1）因为不等式ax﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1=1与x2=b是方程ax﹣3x+2=0
2
2
的两个实数根，
，解得
，所以得
．
且b＞1．由根与系的关系得
2
（2）由于a=1且 b=2，所以不等式ax﹣（ac+b）x+bc＜0，
即x﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．
2
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①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}； ②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}； ③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．
当c＜2时，不等式ax﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
2
2
当c=2时，不等式ax﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为∅．
2
综上所述：当c＞2时，不等式ax﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．
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