向量的内积

第五章方阵的特征值与特征向量

第一节 向量的内积、长度及正交性

教学目的：1. 能正确求出所给向量的内积、长度，正确判定

向量是否正交.能正确求出向量空间的规范正交基.

2.掌握施密特正交化法，以及正交矩阵的概念，

对给定的向量组能正确将其正交化.能正确判定矩 阵是否为正交阵.

教学过程：

一、向量的内积

a1b1ab221.【定义5.1】 设有n维列向量,，则anbn称a1b1a2b2anbn内积.记作 [,].即

Tab为向量与的

iii1nn[,]=a1b1a2b2anbnaibi.

Ti12.性质（以下证明时，向量为列向量）

(1) .即[,][,].符合交换律 证明：().

(2) (k)k().即[k,]k[,](k).数乘运算

证明：(k)(k)k(). (3) ().

即 [,][,][,].（乘法对加法的分配律） 证明：()().

1

TTTTTTTTTTTTTTTTTTT(4) Tai1n2i0；T00即

0[,]0；

0[,]0 .（非负性）

23.施瓦茨（Schwarz）不等式 [,][,][,]. 证明 设t且t0，对于,（同维向量）有 [t,t]0[,]t22[,]t[,]0； 若0，则[,]0，上式成立可推出4[,]24[,][,]0

结论；若0，则结论显然成立.

T另一形式 .

证明：因tR,均有

0(taibi)t2i1n2ai1n2i2taibibi2,

i1ni1nn那么0b4ac4( T2ab)iii124abi2,

2ii1i1nn(aibi)2i1nai1n2ibi1n2i.

4.向量的数量积 xyxycos. 二、向量的长度

1.【定义5.2 】的长度(范数)

22Ta12a2an.2.性质

(1)非负性 0.00；00. (2)齐次性 kk. (3)三角不等式 . 证明：

2[,][,]2[,][,]，

由施瓦茨（Schwarz）不等式知 [,][,][,].

2

22[,]2[,][,][,]

22()2；

故 .

3.由施瓦茨（Schwarz）不等式知 [,]4.单位向量

(1) 单位向量——1的向量. (2) 0，则

[,]1(0时).

11是单位向量.

(此式称为将向量单位化) 证明：

11.

[,]称为

【定义5.3】 当0,0时，arccosn维向量与 的夹角.(0)

TT例1 设(3,2,2,1),(1,5,1,3)，求与 的夹角.

解 3222221232，

125212326，

,3125211318，

所以

arccos[,]182arccosarccos.

24326T三、正交向量组

1.【定义5.4】 与正交——[,]0.（，

为列向量）显然 若0，则与任何向量都正交.即

零向量与任何向量正交.

3

2．【定义5.5】正交向量组1,2,,m——非零向量组

1,2,,m两两正交,即i0(i1,2,,m)，iTj0,(ij,i,j1,2,,m).3.【定理5.1】正交向

量组1,2,,m中的向量线性无关. 证 令 k11kiikmm0,

因1,2,,m两两正交,那么对i(i1,2,m), 用i去乘等式的两边得

T(k11kiikmm)0，而

ik1iT1kiiTikmiTmkiiTi,

所以 kiii0,又因i0,有ii0, 于是ki0(i1,2,m),所以1,2,,m线性无关. 例

2 已知三维向量空间3TT中的两个向量

1111,22，正交，试求一个非零向量3，使

111,2,3两两正交.

分析：求一个非零向量3，使130与230同时成立.

T1111解 记AT，则

12123应为方程组Ax0的解向量.

TT1111r101由于A所以0为Ax0的 ，

121~01011一个基础解系.取3=0，则 1,2,3 两两正交.

14

4.【定义5.6】设有n维向量e1,e2,,er是向量空间V（V）的一个基，如果e1,e2,,er两两正交，且都是单位向量，则称e1,e2,,er是V的一个规范正交基.

n110000221111,e,e,e例如e1234

222200110022为4的一个规范正交基.

n5.若e1,e2,,er是向量空间V（V）的一个规范正交

基，则V中的任意一个向量a均应能由e1,e2,,er线性表示，设表示式为a1e12e2rer，其系数为

i(i1,2,,n) ，则

eiTaieiTeii(i1,2,,n)即i[a,ei]为向量在规

范正交基下的坐标计算公式.

例3 求向量1,2,3,4在上述基e1,e2,e3,e4下的坐标.

T1173,,,利用上述公式可求得.

22226. 施密特(Schmidt)正交化法：设1,2,,m线性无关,

(1) 取11, (2)

T1Ti2iiT1iiiT1T2T,

1122i1i1i1(i2,,m),

则1,2,,m两两正交，且与1,2,,m可互相线性

T表示.

5

证明：由题设知1,2,,m1与1,2,,m1可互相线性表示. 取11，再取

mmk11k22km1m1, 则

0=

iTmiTmk1iT1kiiTikm1iTm1iTmkiiTiiTm,i,i2,,m1,则kiT,i2,,m1.

ii若1,2,,m两两正交， 当然,若取

T1TmmmmT1T1mm1,1,2,,m两两正

11m1m1交.

1例4 已知11,求一组非零向量2,3，使1,2,3两

1两正交.

解 2,3应满足方程 1x0即x1x2x30.

T10解此方程得基础解系为 20,31，将其正交

11化令22，则

011[,]113323212022. [2,2]1117.求规范正交基的方法： 设1,2,,r为向量空间V（V）的一个基，先将1,2,,r正交化，再将其单位化，则可以得到V的一个规范正交基.

n6

134例5 已知11,24,30,试将其正交化.

212并将其单位化.

解 令A(1,2,3)，则由A0 知1,2,3线性无关, 由施密特正交化法：取11；

310291411, 2212311T1T1410233623312011112231211T1T1T2T2.

则 1,2,3为正交向量组. 将1,2,3单位化得

102111111， ，212321121331

3613则 1,2,3是R的正交规范基.

注意：要先正交化，再单位化.

114例6已知12,23,31试将其规范正

110交化.

7

解 显然1,2,3线性无关, 取11；

1112451321, 取 221161314112TT15331T312T3212101122031312T1T1.

再将它们单位化

11132111112,1,023163223111.

则1,2,3为所求. 四、正交矩阵

1.【定义5.7】正交矩阵A——方阵A满足：ATAE（或 A1AT）.

例如AC12322cossin2，B，

sincos222284199938142， ， D99914472999228

HK1212120121200121212012120012120120012121212， 01200 1212单位矩阵E都是正交矩阵.

11M2132.性质

12112不是正交矩阵. 111312AT.

T1(2) 若A为正交矩阵，则A,A也为正交矩阵.

T证明：已知AAE,

A1(A1)TA1(AT)1(ATA)1E1E，

(1) A正交矩阵A所以A为正交矩阵.

9

1AT(AT)TAT(A1)TAT(AT)1AT(A1)1ATAEAT是正交矩阵.

(3) 若A为正交矩阵，则|A|1或|A|1.

证明：已知ATAE,有

|A|2|AT||A||ATA||E|1,

所以 |A|1.

(4) 若A与B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵. 证明：已知ATAE,BTBE,有

(AB)T(AB)(BTAT)(AB)BT(ATA)BBTBE，

所以AB是正交矩阵. (5)【定理5.2】A为正交矩阵方阵A的列(行)向量组是单位正交向量组.（正交规范向量组）

证明：A(1,2,,n)为正交矩阵ATAE

1TT2(,,,)E即

n12TnTTT11121n1TTT0222n21TTT0n2nnn10010 01iTi1(i1,2,n);

iTj0(ij,i,j1,2,,n),.

方阵A的列向量组是单位正交向量组.

3.【定义5.8】 若P为正交矩阵，则线性变换yPx称为

正交变换.

4. 设yPx为正交变换，则有

yyTyxTPTPxxTxx.

10

即正交变换保持线段的长度不变.

例7 设x为n维列向量，xx1，令HE2xx，证明H是对称的正交阵. 证 由HE2xx可推出

TTTHT(E2xxT)TET(2xxT)TE2(xT)TxTE2xxTH，

所以H是对称矩阵. 又因为

HTHH2(E2xxT)2E222xxTE4(xxT)(xxT)

E4xxT4xxTE， 所以 H是正交阵.

综上所述 H是对称的正交阵.

例8 设A,B为n阶正交阵，且AB1， 求证 AB不可逆.

证 依题意 AAE,BBE 由A1

TTABABAABAT(AB)AT EBATB(BTAT)B(AB)TAB；

得 2AB0，所以 AB0，故 AB不可逆. 例9 若A为正交矩阵,则A也为正交矩阵. 证明: A为正交矩阵A1AT,且A1又

121T1AAA1.

所以 (A)A(AA)(AA)A(A)A

T1T(AT)TA1AA1E,

故 A也为正交矩阵.

T1例10 设n阶方阵A满足AA,A0且n为奇数,

试证 EA不可逆.

T1证明: 因为AA,所以A为正交矩阵.又因为A0且

11

n为奇数,所以A1.而

EAATAA(AE)TAAEEA,

EA0，故 EA不可逆.

例11 设A为n阶正交矩阵，1,2,n为Rn的一组规范正交基，求证：A1,A2,An也是Rn的一组规范正交基.

证明：令B(A1,A2,An)，∵A为正交矩阵，

又因为1,2,n为Rn的一组规范正交基， 则BA1,2,n0

A1,A2,An也是Rn的一组基.

∵A为正交矩阵，∴ATAE

又∵1,2,n为R的一组规范正交基，

n0,ij;i,j1,2n∴j 1,ij;i,j1,2,nTiAiTiTAAAjtiTjiTEj

0,ij;i,j1,2nj 1,ij;i,j1,2,n n ∴A1,A2,An也是R的一组规范正交基.

小结：本节概念较多：向量内积、长度、正交性的定义与性

质；向量空间的规范正交基；施密特正交化法；正交矩阵及性质等.只有熟记概念才能正确进行相关计算和证明.

存在问题：构造与已知向量两两正交的向量组时，如何借助

解齐次线性方程组知识去求解向量.如何运用正交矩阵的特点判断矩阵是否正交.

12