初中二次函数知识点梳理

1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数yax2的性质

（1）抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数yax2的图像与a的符号关系.

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2（a0）. 3.二次函数 yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. 4.二次函数yax2bxc用配方法可化成：yaxh2k的形式，其中

b4acb2. h，k2a4a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax2；②yax2k；③yaxh2；④yaxh2k；⑤yax2bxc. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0. 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

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b4acb2b4acb2 （1）公式法：yaxbxcax，∴顶点是，对（，）2a4a2a4a22称轴是直线xb. 2a （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式，

得到顶点为(h,k)，对称轴是直线xh.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以

对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一

失.

9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线

bb，故：①b0时，对称轴为y轴；②0（即a、b同号）时，对称2aab轴在y轴左侧；③0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

ax （3）c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.

当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，： c） ①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交

于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右

侧，则 0.

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

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ba函数解析式 yax2 yax2k yaxh 2开口方向 对称轴 x0（y轴） x0（y轴） 顶点坐标 （0,0） (0, k) (h,0) (h,k) b4acb2(，2a4axh xh xb 2a2yaxhk 当a0时 yax2bxc 开口向上 当a0时 开口向下 11.用待定系数法求二次函数的解析式

) （1）一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）两根式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：

yaxx1xx2.

12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0, c).

（2）与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点

(h,ah2bhc). （3）抛物线与x轴的交点

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应

一元二次方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点0抛物线与x轴相交；

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②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切； ③没有交点0抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两

交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根.

（5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的

交点，由方程组

ykxnyax2bxc的解的数目来确定：①方程组有两组不同

的解时l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交点为

Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的两个根，故

bcx1x2,x1x2aaABx1x2x1x22x1x22b24acb4c4x1x2

aaaa213、（1）yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，其关于x轴作对称变换得到抛物线如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)；其关于y轴作对称变换得到抛物线如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)；其关于原点作对称变换得到抛物线如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)；

2yaxhk（2）（a0)其关于顶点旋转180度得到抛物线yaxh2k（a0)；

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