2021年中考数学专题习讲义——胡不归-阿氏圆问题

问题概述 已知定点A、B，要求找一点P，使aPA+PB值最小(a为大于0且不为1的常数)；

点P在直线上运动型称为“胡不归”问题，点P在圆周上运动型称为“阿氏圆”问题.

方法原理 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.垂线段最短；

解题思路 构造出新的线段，使其等于aPA；

构造方法：1.作∠α，使sinα=a；一般a=12、

殊直角三角形；

22和

32时，作相应30°、45°和60°角，构造出特

2.构造三角形与已知三角形相似，借助相似比将aPA转化；

注意：一般系数a满足0＜a＜1时直接构造；a＞1时需要先提取系数，如PA+2PB=2（1，2PA+PB）

PA+2PB=2（

22PA+PB）.

一．胡不归问题

1.构造含特殊角的直角三角形，将“aPA”转化

已知：如图，A为直线l上一点，B为直线外一点；

要求：在直线l上找一点P，使得12PA+PB最小.

1【分析】利用sin30°=12构造出PH=2PA，当B、P和H共

线时，PH+PB取得最小值BH，又当BH⊥AH时，BH 取得最小值

【解答】过点A作射线AM，使∠A=30°（B、M位于l异

侧），过点B作BH⊥AM于H，交直线l于点P， 则点P即为所求，此时12PA+PB最小，最小值即为

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线段BH的长.

【小结】1.构造方法可总结为：一作角，二作垂线； 2.系数a为

22、

32时，作45°和60°角.

典型例题1-1

（1）如图1，直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上一动点，连接PB，当P

点坐标为_________时，

1PA+PB取得最小值，最小值为__________； 2 （2）如图2，直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为y轴上一动点，连接PA，当P

点坐标为________时，2PA+√2PB取得最小值，最小值为_________.

图1 图2

【分析】（1）根据模型构造出12PA找出P点，借助含30°角的直角三角形解出OP长和BH长，从而

求出P点坐标和12PA+PB的最小值；

（2）2PA+√2PB=2（PA+

22PB），与（1）类似的方法求解.

【解答】（1）如图，过点A作射线AC，与y轴正半轴交于点

C，使∠OAC=30°，过点B作BH⊥AC于H，交x 轴于P，则PH=12PA，此时 PA+PB取得最小

21

值，即为BH长；已知∠OBP=30°， ∴OP=OB=3,则P（3，0）

3又OC=OA=3，∴BC=3+3，

3∴BH=

1

32BC=3332，

332即2 PA+PB的最小值为3；

（2）如图，过点B作射线BC，与x轴的正半轴交于

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点C，使∠OBC=45°，过点A作AH⊥BC于H，交 y轴于点P，此时2PA+√2PB取得最小值， ∵∠BCO=45°，∴AH=2AC=2√2，

∴2PA+√2PB=2AH=4√2，又OP=OA=1，∴P（0，1）；即当P点坐标（0，1） 时，2PA+√2PB取得最小值42.

【小结】 1.作角时，以定点、定边向“异侧”作射线；

2.（2）中提取系数2之后，答案的最小值不要忘记乘2.

√2

典型例题1-2

如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，AB＝2，则AP＋BP＋CP 的最小值为（ ）

A．2＋5 B．2＋6 C．4 D．32

【分析】由于AP=CP，AP＋BP＋CP=2AP+BP=2（PA+12PB），从而转化为胡不归模型，结合特殊直角三角形和等面积法可解出该最小值.

【解答】∵正方形ABCD为轴对称图形，∴AP=PC，

1∴AP+BP+CP=2AP+BP=2（PA+12PB），∴即求PA+2PB的最小

值，连接AE，作∠DBE=30°，交AC于E，过A作AF⊥BE， 垂足为F，在Rt△PBF中，∵∠PBF=30° ，∴PF=12PB， ∴PA+12PB的最小值即为AF长，易得∠PAO=30°， ∴OP=

AO3=

2263，AP=2OP=236，BP=OB-OP=2-6663， ∴

PF=12BP=

-，∴AP+PF=

262，AP+BP+CP的最小值为2＋6 ，故选B.

【小结】1.求解AF也可放到△ABE中，用等面积法计算；

2.点P为△ABC的“费马点”，感兴趣的读者可查阅相关资料.

变式训练1-1

如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经 小时可到达居民点B.(消防车可从公路的任意位置进入草地行驶)

B135l

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变式训练1-2

如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段 AP＋BP＋PD的最小值为___________

2.构造相似三角形，借助相似比将“aPA”转化 典型例题2-1

如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，22）， C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为线段AD、DC，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_______

【分析】设CD上速度为v，AD上速度为3v，则全程时间t=

AD3v111CDv=v(3ADCD)，当3AD+CD最

小时，总时间最少；分析条件知CO=1过点D作DH⊥AC于H，构造△ADH和△ACO相似，3AC，则DH=13AD，又CD=BD，则需DH+BD最小，此时B、D、H共线且BH⊥AC，借助相似易得点D坐标.

【解答】如图，作DH⊥AC于点H，交AO于D，此时整个运动时

间最少，易证△BOD∽△AOC，则ODOC∴OD=

122OBOA=

122，

OC=

24，∴D（0，

24）

【小结】1.首先表示出时间和各段路程的关系；

2.找出图中含有两边之比等于系数a的三角形； 3.构造相似三角形求解.

变式训练2-1

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如图，抛物线y=﹣x+x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q． （1）求直线BD的解析式；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，当△DQB面积最大时，在x轴上找一点E，使QE+

EB的值最小，求E的坐标和最小值．

2

二．阿氏圆问题

一般构造“子母”型相似三角形，借助相似比将“aPA”转化 典型例题3-1

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D为直角边AC上一 点，且CD=2，将CD绕着点C顺时针旋转α（0＜α＜90°），D'为 点D的对应点，连接AD'和BD'，则AD'+12BD'的最小值是________. 【分析】D'在以C为圆心，半径为2的圆弧上运动，△CD'B中，CD'=12BC，据此在CB上截取CF=1构造△CFD'∽△CD'B，将1即求AD'+D'F2CD'=1，2BD'转化为D'F，的最小值，A、D'、F共线时其值最小，由勾股定理易求该值.

CF【解答】在线段CB上截取CF=12CD'=1，∴CDCDCB12，又

∵∠FCD'=∠D'CB，

F∴△CFD'∽△CD'B，∴DDB12,即D'F=12BD'，要使

AD'+12BD'最小，则需AD'+D'F最小，此时A、D'、F 三点共线，AD'+D'F的最小值即为AF长，在Rt△ACF中， AF=AC2CF2=3212=10， 即AD'+12BD'的最小值是10.

变式训练3-1

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如图1，抛物线y=ax﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

2

（1）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式．

（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2=36：25，求m的值．

（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），

连接E′A、E′B． ①在x轴上找一点Q，使△OQE′∽△OE′A，求出Q点坐标．②求BE′+AE′的最小值.

变式训练3-2

在平面直角坐标系中，A（2，0），B（4，0），C（0，4），D（3，2），P是△AOC外部的第一象限内一动点，且∠CPA﹦135°，则2PD﹢PB的最小值是 ．

中考真题 6 / 19

1.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AB=8cm，∠A=30°，点D是弦AC上的一点，动点P从点C沿CA以2cm/s的速度向点D运动，再沿DO以1cm/s的速度向点O运动，设点P在整个运动过程中的时间为t，则t的最小值是 s．

2

2.如图，二次函数y=ax+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-3）、C（2，0），其对称轴与x

轴交于点D。

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

1（2）P为y轴上的一动点，连接PD，PBPD的最小值为_____，此时P点坐标为_____

2（3）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点。平面内存在点N，使A、B、M、N为顶点的

四边形为菱形，则这样的点N有 个；

3.如图，在△ACE中，CA=CE，CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上。 （1）试说明CE是⊙O的切线。

（2）若△ACE中AE边上的高为h,试用含 h的代数式表示⊙O的直径AB;

（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当1CD+OD的最小值为6时， 求

2⊙O的AB的长。

7 / 19

4.如图，抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣

x+b与抛物线的另一交点为D．

（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值； （3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线

段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

5.如图1，平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴

2

负半轴上一点，AM⊥BC于点M交y轴于点N，满足4CN=5ON．已知抛物线y=ax+bx+c经过点A、B、C． （1）求抛物线的函数关系式；

（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC、DB，若△BCD和△ABC面积满足S△BCD=S△ABC，

53

求点D的坐标；

（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线

段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止．若

35

点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标．

8 / 19

6.已知抛物线ya(x3)(x1)(a0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线y3xb与抛物线的另一个交点为D。

（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为 。

（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的

坐标。 （3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿

线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒23个单位运动到点D停止，问

3当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？

9 / 19

2

7.如图1，抛物线y＝ax＋(a＋3)x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）求a的值和直线AB的函数表达式； （2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若

C16＝，求m的値； C25（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜

2

90°)，连接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．

3

yPByPMNAxBMNE'OEAxOE图1 图2

胡不归--阿氏圆问题

变式训练1-1

𝟏𝟐+𝟓√𝟑𝟖𝟎

.提示：求PA+PB的最小值，

80

40

1

1

1

12

11

PA+PB=（ PA+PB）

80

40

40

变式训练1-2

6√2.提示：PA+PB+PD=PA+2PB=2( PA+PB)

21

变式训练2-1

解：（1）当y=0时，-12x+

2

52x+3=0，解得x1=6，x2=﹣1，

∴A（﹣1，0）、B（6，0），当x=0时，y=3，则C（0，3）．

10 / 19

∵点 D 与点 C 关于 x 轴对称， ∴点D为（0，﹣3）． 设直线BD的解析式为y=kx+b，

将D（0，﹣3）和B（6，0）分别代入得b3，

6kb0解得：k=12，b=﹣3， ∴直线BD的解析式为y=12x﹣3． （2）设P（m，0），则Q（m，-12m+

2

522

m+3） M（m，12m﹣3）．

5211△QBD的面积=12QM•QB= 2×6（-2m+m+3﹣12m+3）=﹣32（m﹣2）+24，

2

∴当m=2时，△QBD的面积有最大值，此时Q（2，6）． 如图1所示：过点E作EF⊥BD，垂足为F．

在Rt△OBD中，OB=6，OD=3，则BD=35， ∴tan∠EBF=tan∠OBD=ODBD∴EF=

5555．

BE．∴QE+

55EB=QE+EF．

55∴当点Q、E、F在一条直线上时，QE+EB有最小值．

过点Q作QF′⊥BC，垂足为F′，QF′交OB与点E′．

设QF′的解析式为y=﹣2x+b，将点Q的坐标代入得：﹣4+b=6，解得b=10， ∴QF′的解析式为y=﹣2x+10．与y=12x﹣3联立解得F（∴点E′的坐标为（5，0）．即点E的坐标为（5，0）时QE+

55265，-

25），当y=0时，x=5，

216522(226)(6) 555．

EB有最小值．最小值=QF=

变式训练3-1

解：（1）把点A（8，0）代入抛物线y=ax﹣6ax+6，得64a﹣48a+6=0， ∴a=﹣8，

32

11 / 19

3 ∴y=﹣8x+

294x+6与y轴交点，令x=0，得y=6，

∴B（0，6）．设AB为y=kx+b，将A（8，0），B（0，6）代入得，

k48kb0 ∴，解得：，

b6b63∴直线AB的解析式为y=﹣（2）∵E（m，0）， ∴N（m，﹣

3434x+6，

m+6）， P（m，﹣8m+

32

94m+6）．

∵PE∥OB， ∴△ANE∽△ABO， ∴

ANENABOB， ，解得：AN=1065(63m)43 ∴

AN3m64，

∵PM⊥AB，

∴∠PMN=∠NEA=90°． 又∵∠PNM=∠ANE， ∴△NMP∽△NEA． ∵

S1S23625，

65 ∴

PMAN65，

3294∴PM=AN==12﹣

32

m． m+6﹣6+

34又 ∵PM=﹣8m+∴12﹣

3232

m=﹣8m+3m，

2

32

m=﹣8m+3m，整理得： m﹣12m+32=0，

解得：m=4或m=8．

∵0＜m＜8∴m=4. （3）①在（2）的条件下，m=4，

∴E（4，0），设Q（d，0）．由旋转的性质可知OE′=OE=4，若△OQE′∽△OE′A．则OE∵0°＜α＜90°， ∴d＞0，

OQOEOA．

12 / 19

∴

d448，解得：d=2，

∴Q（2，0）.

②由①可知，当Q为（2，0）时， △OQE′∽△OE′A，且相似比为OE∴

12OQ24QEAE12，

AE′=QE′，

∴BE′+12AE′=BE′+QE′，

∴当E′旋转到BQ所在直线上时，BE′+QE′最小，即为BQ长度， ∵B（0，6），Q（2，0）， ∴BQ=364210，

∴BE′+12AE′的最小值为210．

变式训练3-2

42.提示：2PD﹢PB=2（PD +

12PB），即求PD +

12PB的最小值； 如图，由∠CPA﹦135°知，点P在以O为圆心，

OA长为半径的劣弧AC上运动，取OA的中点M，易知△OMP∽△OPB，则PM=

12PB，则PD +

12PB =PD +PM，当点P为

DM与弧AC的交点时，PD+PM取得最小值，即为DM长，由两点之间距离公式易得DM=2

2.

中考真题

1.23.解：当DO⊥AB时，2OD+CD有最小值，即t有最小值， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠C=90°，

∵∠A=30°，AB=8cm，

∴AC=43cm，在 Rt△AOD中，AD=2OD， ∴t=CD2CDADOD122AC223，即 t的最小值是23s．

a23abc02.解：（1）由题意c3, 解得b23，

4a2bc0c3∴抛物线解析式为 y=

1232x﹣

2

32x﹣3，

∴顶点（，﹣

938）

（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时12PB+PD最小．

13 / 19

理由：∵OA=1，OB=3， ∴tan∠ABO=

OAOB=

3312

，

∴∠ABO=30°∴PH= PB， ∴ PB+PD=PH+PD=DH，

21

∴此时 PB +PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，

2

1

∵∠AHD=90°，AD=

DHAD32，∠HAD=60°，

∴sin60°=

12，∴DH=343，

334∴PB+PD的最小值为；

（3）以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，故答案为5． 3.（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30° ∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°， ∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线；

（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2， 由题可得CH=h．在Rt△OHC中， CH=OC•sin∠COH，∴h=OC•sin60°=OC， ∴OC==2h2√34√3h，∴AB=2OC=h； 3√33√32 (3)作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，则∠AOF=∠COF=∠AOC =（180°﹣60°）=60°． 211214 / 19

∵OA=OF=OC，

∴△AOF、△COF是等边三角形， ∴AF=AO=OC=FC， ∴四边形AOCF是菱形，

∴由对称性得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC=30°， ∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°= DC， 21∴ CD+OD=DH+FD．当F、D、H三点共线时， 21DH+FD（即 CD+OD）最小， 21此时FH=OF•sin∠FOH= OF=6， 则OF=4√3，AB=2OF=8√3． ∴当 CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8√3． 21√32

4.解：（1）抛物线y=

k8（x+2）（x﹣4），令y=0，解得x=﹣2或x=4，

∴A（﹣2，0）， B（4，0）． ∵直线y=﹣

3333x+b经过点B （4，0），

43333∴﹣×4+b=0，解得b=，

433 ∴直线BD解析式为：y=﹣∴D（﹣5，33）．

x+．当 x=﹣5时，y=33，

∵点 D（﹣5，33）在抛物线y=∴

k8k8（x+2）（x﹣4）上，

（﹣5+2）（﹣5﹣4）=33，

83939 ∴k=．∴抛物线的函数表达式为： y=

2

39（x+2）（x﹣4），

即y=x﹣

239x﹣

839．

（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=﹣k，

15 / 19

∴C（0，﹣k），OC=k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽ △PAB．

① △ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB如答图2﹣1所示．

设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．tan∠BAC= tan∠PAB，即：k2=∴y=

k2yx2，

x+k，

k2 ∴P（x，

2

x+k），代入抛物线解析式得

k8（x+2）（x﹣4）=

k2x+k，

整理得：x﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2（与点A重合，舍去）， ∴P（8，5k）． ∵△ABC∽△APB， ∴

ACAB=

ABAP，即

K246=

625k1002，k=

455；

②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．

设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．tan∠ABC=tan∠PAB，∴y=

k4k4yx2，

x+

k2k42

． x+

k2∴P（x，），代入抛物线解析式y=

k8（x+2）（x﹣4），得

k8（x+2）（x﹣4）=

k4x+

k2，

整理得：x﹣4x﹣12=0，解得：x=6或x=﹣2（与点A重合，舍去）， ∴P（6，2k）． ∵△ABC∽△PAB， =

APAB

CBAB

，解得k=±2，

455 ∵k＞0，∴k=2，综上，k=或k=2．

（3）方法一：如图3，D（﹣5，33）

过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=33，ON=5，BN=4+5=9，∴tan∠DBA=作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．过点F作FG⊥DK于点G，则FG=12 =3， ∴∠DBA=30°．过点D

DF．由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，

DNBN3运动时间：t=AF+12DF，∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．由垂线段最短可知，折线AF+FG的长

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度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y=﹣

33x+

433，∴y=﹣

33×（﹣2）+

433=23，∴F（﹣2，23）．综上

FD2

所述，当点F坐标为（﹣2，23）时，点M在整个运动过程中用时最少， 方法二：作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，∵∠DBA=30°，∴∠BDH=30°，∴FH=DF×sin30°=，∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，点M在整个运动中用时为：t=

AF1FD2=AF+FH，∵lBD：y=﹣

43

33x+

433，∴FX=AX=﹣2，∴F（﹣2，

OAONOCOB

）．

OA3

435.解：（1）∵C（0，3），∴OC=3，∵4CN=5ON，∴ON=，∵∠OAN=∠NCM，∴△AON∽△COB， ∴

34

=，即=，解4

得OA=1，∴A（﹣1，0） 设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），把C（0，3）代入得a•1•（﹣4）=3，解得a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4） =﹣x+x+3；

4

4

4

3

3

2

9

m3n34（2）设直线BC的解析式为y=mx+n，把 C（0，3），B（4，0）代入得，解得，∴

4mn0n3直线BC的解析式为 y=﹣x+3，作PQ∥y轴交BC于Q，如图1，设 P（x，﹣ x+x+3），则Q（x，﹣ x+3），DQ=﹣x+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x+3x，∴S△BCD= S△CDQ+S△BDQ=×4×（﹣x+3x）=﹣x+6x， ∵S△BCD=S△ABC，∴﹣x+6x=××（4+1）×3，整理得x﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，∴D点坐标为（1，）或（3，3）；

2

2

1

4

4

4

4

2

4

2

34

2

34

2

934

3

2

93313

2

3

4

2

35

32

2

35

29

（3）点P在整个运动过程中所用的最少时间为3秒，此时点F的坐标为（2，）．提示：即使得EF+CF最小，过点C作CG∥AB，过点E作EH⊥CG于H，交BC于点F，此时△CFH∽△BCO，FH=CF

523

5

33

6.解：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y=﹣√3x+b经过点A，∴b=﹣3√3，∴y=﹣√3x﹣3√3，当x=2时，y=﹣5√3，则点D的坐标为（2，﹣5√3），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5√3，解得，a=﹣√3，则抛物线的解析式为y=﹣√3（x+3）（x﹣1）= ﹣√3x﹣2√3x+3√3； （2）∵A的坐标为（﹣3，0），C（0，3√3）∴直线AC的解析式为：y=√3x+3√3，

①∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形， ∴CP⊥AC，∴设直线CP的解析式为： y=﹣x+m，把C（0，3√3）代入得m=3√3， ∴直线CP

√3的解析式为：y=﹣x+3√3，解3

√33

2

53x3y3x33得3232yy-3x23x339或

x0532√3（不合题意，舍去）， ∴P（﹣，）； 39

y33②∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形， ∴AP⊥AC，∴设直线CP的解析式为： y=﹣x+n，把A（﹣3，0）代入得n=﹣√3， ∴直线AP的解析式为：y=﹣x﹣√3，

√33

√33

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43x3x3y3x3解得或732y0y9y-3x23x33，∴P（，﹣√3），

39

47

综上所述：点 P的坐标为（﹣，3

5

32√347

）或 （，﹣√3）； 939

（4）如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN=

DNAN

=√3，

∴∠DAN=60°，∴∠EDF=60°，

∴DE=EF2√3DEsinEDF=

3

EF，∴Q的运动时间t=

BE1

+2√3=BE+EF，

3

∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，此时点E坐标（1，﹣4√3）． 7.解：（1）把点A（4，0）代入y＝ax2

＋(a＋3)x＋3，得 16a＋4(a＋3)＋3＝0．

解得a＝－3

4

．

∴抛物线的函数表达式为：y＝－34x2＋9

4x＋3．

把x＝0代入上式，得y＝3． ∴点B的坐标为（0，3）．

由A（4，0），B（0，3）可得直线AB的函数表达式为：y＝－3

4x＋3．

（2）根据题意，得

OE＝m，AE＝4－m，AB＝5，点P的坐标可表示为(m，－3 29

4m＋4m＋3)．

∴PE＝－34m 2＋9

4m＋3……………………………………………………①

点N（m,－34m＋3),∴PN=－3 2933 2

4m＋4m＋3-(－4m＋3)=－4m＋3m,

∵△AEN∽△AOB，∴AN55

4AE=4(4－m)．

∵△PMN∽△AEN，且

C16C＝5， 2-3m2∴PN3AN＝6m5．即45(4m)645． 解得m1＝2，m2＝4(不合题意，舍去)．

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∴m的値为2．

（3）在（2）的条件下，m的値为2，点E（2，0），OE＝2．∴OE′＝OE＝2． 44

如图，取点F(0，)，连接FE′、AF．则OF＝，AF＝

33

4242

4＋()＝10．

33

yBFOE'AEx

4

OF32OE′2FE′22∵＝＝，＝，且∠FOE′＝∠E′OB，∴△FOE′∽△E′OB．∴＝．∴FE′＝E′B． OE′23OB3E′B3324

∴E′A＋E′B＝E′A＋FE′≥AF＝10．

3324

∴E′A＋E′B的最小值为10．

33

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