全等三角形专题讲解
（一）知识储备
1、全等三角形的概念： （1）能够重合的两个图形叫做全等形。
（2）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。 （3）全等三角形的表示：
如图，△ABC和△DEF是全等三角形，记作△ABC≌△DEF，符号“≌”表示全等，读作“全等于”。
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 2、全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等，对应角相等。【例1】
如图，△ABC≌△DEF，则有：AB=DE，AC=DF，BC=EF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。 3、全等三角形的判定定理： S.A.S “边角边”公理：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。【例2】 A.S.A “角边角”公理：
两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等。【例3】 A.A.S “角角边”公理：
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。【例4】 S.S.S “边边边”公理：
三边对应相等的两个三角形全等。【例5】 H.L “斜边直角边“公理
1
斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。【例6】 （二）双基回眸
1、下列说法中，正确的个数是 （ ）
①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等 A．4
B．3 C．2
D．1
2、如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____， ∠DEF的对应角是_____．
3、如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，
那么BC等于 （ ） A．6
B．5
C．4
D．无法确定
4、如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数 为 （ ） A．40° B．35°
C．30°
D．25°
5、能确定△ABC≌△DEF的条件是 （ ） A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
6、如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是 （ ）
A．甲和乙
B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
2
（三）例题经典
例1：如图，ΔABC≌ΔDCB．
（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____； （2）对应边AC＝ ，AB= ；
（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，则AO= _，BO= _，∠A=_ ，∠ABC= ．
例2：如图，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB． 求证：∠D＝∠B．
例3：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．
例4：如图，ACBD．求证：OA＝OB，OC＝OD．
例5：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点． 求证：RM平分∠PRQ．
3
例6：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC． 求证：（1）AB＝DC： （2）AD∥BC．
例7：阅读下题及一位同学的解答过程，回答问题：
如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C。那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由。 答：△AOD≌△COB． 证明：在△AOD和△COB中，
AC(已知), OAOB(已知),
AODCOB(对顶角相等),例6图
例7图
∴ △AOD≌△COB （ASA）
问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？
例8：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.
4
例9：如图，AD=AE，∠1=∠2，点D、E在BC上，BD=CE。 求证：△ABD≌△ACE．
例10：如图，已知AD∥CB，AD=CB，AE=BF， 求证：（1）△AFD≌△BEC． （2）DF∥CE.
拓展变式
例1： 如图, ∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，为什么?
例2：要测量河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长。写出已知和求证，并且进行证明。
例9图
5
实战演练 一、填空题
1、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为______．
第1题
第2题
第3题
2、已知：如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E.欲证明BD＝CE，需证明Δ_____≌△______，理由为______．
3、已知：如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．
4、如图，根据SAS，如果AB＝AC， ＝ ，即可判定ΔABD≌ΔACE.
5、如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE＝3cm，则P点到直线AB的距离是___________.
6、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于D，若AB＝10，则△BDE的周长等于＿＿＿＿.
A E
D
E 第5题
B
P A D A
C C D B B
第4题
C E
第6题
7、如图，△ABC≌△DEB，AB＝DE，∠E＝∠ABC，则∠C的对应角为 ，BD的对应边为 .
8、如图，AD＝AE，∠1＝∠2，BD＝CE，则有△ABD≌ ，理由是 .
6
9、如图，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，D、E、F是垂足，BD＝CD，那么图中的全等三角形有_______对.
A 第7题B D C B 1 D E 第8题
2 C E A AEBFDC第(8)9题
二、选择题
1、AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（ ） DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF 2、下列语句中，正确的有（ ）
（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等 （2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 （3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3、下列说法中，正确的是（ ）
A.相等的角是直角 B.不相交的两条线段平行 C.两直线平行，同位角互补 D.经过两点有且只有一条直线 4、如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（ ） A.2 B.3 C.5 D.2.5
B
第4题 F
E C 第5题
A
5、如图，∠1＝∠2，BC＝EF，欲证△ABC≌△DEF，则还须补充的一个条件是（ ） A.AB＝DE B.∠ACE＝∠DFB C.BF＝EC D.∠ABC＝∠DEF
6、如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D、E为两个顶点画位置不同的三角形，使所画的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可画出（ ）
7
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 BCA第6题 D7、如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC中点，则以下结论不正确的是（ ） A.△ABD≌△ACD
B.∠B＝∠C
第7题 C.AD是BAC的平分线 D.△ABC是等边三角形
8、如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，AC、BD交于E点，下列结论中正确的有（ ） ①∠DAE＝∠CBE ②CE＝DE ③△DEA≌△CBE ④△EAB是等腰三角形 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A 1DEC2A第8题 (12)BB
9、如图，在△ABC中，AB＞AC，AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，AB＝10，△BCD的周长为18，则BC的长为（ ）
A.8 B.6 C.4 D.2 三、解答题
1、如图，已知线段a、b，求作：Rt△ABC，使∠ACB＝90º，BC＝a，AC＝b（不写作法，保留作图痕迹）.
2、如图，BP、CP是△ABC的外角平分线，则点P必在∠BAC的平分线上，你能说出其中的道
A b a 理吗？
B 8
P
C
3、如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD，求证：AB＝BE.
D
AE1234CB4、如图，工人师傅制作了一个正方形窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条GF与GE，E、F分别是AD、BC的中点. （1）G点一定是AB的中点吗？说明理由； （2）钉这两块木条的作用是什么？
AGBEFD
C5、如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，AE＝DF，BF⊥AD，CE⊥AD，垂足分别为F、E，BF＝CE，试说明AB与CD的位置关系.
6、阅读下题及其证明过程：
已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，试说明∠BAE与∠CAE相等的理由.
理由：在△AEB和△AEC中，
C
AEFBD9
EBECABEACEAEAE
所以△AEB≌△AEC(第一步) 所以∠BAE＝∠CAE(第二步)
问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程.
7、如图（1），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠DCB，AB＝DC，AE＝DF. （1）试说明BF＝CE的理由.
（2）当E、F相向运动，形成如图（2）时，BF和CE还相等吗？请说明你的结论和理由.
8、已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，
（1）若E、F、G、H分别是各边的中点，求证：EH＝FG.
（2）若连结AD、BC交于点P，问AD、BC有何关系？证明你的结论.
9、如图，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个论断：（A）AD＝CB，（B）AE＝CF，（C）∠B＝∠D，（D）AD∥BC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，遍一道数学题，并写出解答过程.
E
10
B
F C
BCBCEADFA（E）D（F）图（1） 图（2） A
D
读书的好处
1、行万里路，读万卷书。
2、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。
3、读书破万卷，下笔如有神。
4、我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的。——达尔文
5、少壮不努力，老大徒悲伤。
6、黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。——颜真卿
7、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。
8、读书要三到：心到、眼到、口到
9、玉不琢、不成器，人不学、不知义。
10、一日无书，百事荒废。——陈寿
11、书是人类进步的阶梯。
12、一日不读口生，一日不写手生。
13、我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。——高尔基
14、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游
15、读一本好书，就如同和一个高尚的人在交谈——歌德
16、读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。——笛卡儿
17、学习永远不晚。——高尔基
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18、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。——刘向
19、学而不思则惘，思而不学则殆。——孔子
20、读书给人以快乐、给人以光彩、给人以才干。——培根
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