【创新设计】2022-2021学年高一数学北师大版必修一课时作业与单元检测：2.5 简单的幂函数

课时目标 1.把握幂函数的概念.2.生疏α＝1

2

，1,2,3，－1时幂函数y＝xα的图像与性质.3.理解奇、偶函

数的定义及图像的性质．

1．假如一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即

y＝xα，这样的函数称为________． 2．一般地，图像关于______对称的函数叫作奇函数，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．

3．(1)一般地，假如对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有________，那么函数f(x)肯定是偶函数．(2)一般地，假如对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有________，那么函数f(x)肯定是奇函数． 4．幂函数y＝xα，当α＝2k(k∈Z)时，y＝xα是______函数，当α＝2k－1 (k∈Z)时，y＝xα是______函数．(填“奇”或“偶”)

一、选择题

1．下列函数中不是幂函数的是( )

A．y＝x B．y＝x3

C．y＝2x D．y＝x－

1

2．幂函数f(x)的图像过点(4，1

2

)，那么f(8)的值为( )

A.24 B．64 C．22 D.164 23．下列是y＝x3的图像的是( )

4．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)

＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( ) A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

5．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( ) A．f(－x)＋f(x)＝0

B．f(－x)－f(x)＝－2f(x) C．f(x)·f(－x)≤0

D.fxf－x

＝－1 6．下面四个结论：①偶函数的图像肯定与y轴相交；②奇函数的图像肯定过原点；③偶函数的图像关于y轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数． 其中正确的命题个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题

7．已知函数y＝x－2m－

3的图像过原点，则实数m的取值范围是____________________． 8．偶函数y＝f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝______________. 9．已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x＋4)＝f(x)，又f(1)＝4，那么f[f(7)]＝________. 三、解答题

10．推断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝3，x∈R；

(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]； (3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|； 1－x2， x>0，(4)f(x)＝

0， x＝0，

x2－1， x<0.

11．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2m1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；

(2)反比例函数；

(3)二次函数；(4)幂函数．

力量提升

12．如图，幂函数 y＝x3m－

7(m∈N)的图像关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式．

－x2＋2x x>0

13．已知奇函数f(x)＝

0 x＝0

.

x2＋mx x<0

(1)求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y＝f(x)的图像； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．

1．幂函数在第一象限内指数变化规律：

在第一象限内直线x＝1的右侧，图像从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图像从下到上，相应的指数由大变小．

2．幂函数y＝xα的单调性，在(0，＋∞)上，α>0时为增函数，α<0时为减函数． 3．函数奇偶性

(1)从函数奇偶性定义来看，奇、偶函数的定义域肯定关于原点对称，否则此函数是非奇非偶函数． (2)函数f(x)＝c(c是常数)是偶函数，当c＝0时，该函数既是奇函数又是偶函数． 4．函数的奇偶性与图像的对称性的关系

(1)若一个函数是奇函数，则其图像关于原点对称，反之，若一个函数图像关于原点中心对称，则其肯定是奇函数．

(2)若一个函数是偶函数，则其图像关于y轴对称，反之，若一个函数图像关于y轴成轴对称，则其必为偶函数．

§5 简洁的幂函数

学问梳理

1．幂函数 2.原点 3.(1)任意 f(－x)＝f(x) (2)任意 f(－x)＝－f(x) 4.偶 奇 作业设计

1．C [依据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C不是幂函数．]

2．A [设幂函数为y＝xα，依题意，1

2

＝4α，

即22α＝2－1，∴α＝－1

2.

1∴幂函数为y＝x12，∴f(8)＝82＝

1128＝22＝4

.] 23．B [y＝x3＝

3x2，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝

3

－x2＝3x2

2＝f(x)，即y＝x3是偶函数，又∵2

3<1，∴图像上凸．]

4．B [F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)． 又x∈(－a，a)关于原点对称， ∴F(x)是偶函数．]

5．D [∵f(－x)＝－f(x)，A、B明显正确， 由于f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C正确．

当x＝0时，由题意知f(0)＝0，故D错误．]

6．A [函数y＝1

x

2是偶函数，但不与y轴相交，故①错；

函数y＝1

x是奇函数，但不过原点，故②错；

函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．]

7．m<－3

2 解析 由幂函数的性质知－2m－3>0，

故m<－3

2

.

8．2

解析 偶函数的定义域应当关于原点对称，故t－4＝－t，得t＝2. 9．0

解析 ∵f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1) ＝－f(1)＝－4，

∴f[f(7)]＝f(－4)＝－f(4)＝－f(0＋4)＝－f(0)＝0. 10．解 (1)f(－x)＝3＝f(x)， ∴f(x)是偶函数．

(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7 ＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

(3)f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．

(4)当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，

∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x)； 当x<0时f(x)＝x2－1，

此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2， ∴f(－x)＝－f(x)；

当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0. 综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为R上的奇函数．

11．解 (1)若f(x)为正比例函数，

则m2＋m－1＝1，

m2＋2m≠0

⇒m＝1.

(2)若f(x)为反比例函数，

则2m＋m－1＝－1，

m＋2m≠0

⇒m＝－1.

2(3)若f(x)为二次函数，则

m2＋m－1＝2，

⇒m＝－1±13

m2

＋2m≠0

2. (4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1， ∴m＝－1±2.

12．解 由题意，得3m－7<0.

∴m<73.

∵m∈N，∴m＝0,1或2， ∵幂函数的图像关于y轴对称， ∴3m－7为偶数． ∵m＝0时，3m－7＝－7， m＝1时，3m－7＝－4， m＝2时，3m－7＝－1.

故当m＝1时，y＝x－4符合题意． 即y＝x－4.

13．解 (1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x， ∴f(x)＝x2＋2x，∴m＝2. y＝f(x)的图像如图所示． (2)由(1)知f(x)

－x2＋2x x>0

＝

0 x＝0

x2

＋2x x<0

，由图像可知，f(x)在[－1,1]上单调递增，

要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，只需a－2>－1

a－2≤1

解得1