宜宾市2016级理科二诊数学试题

宜宾市2016级高三第二次诊断测试题

数 学（理工类）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试时间：120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。 1．设z(1i)(12i)，则z的虚部为 A. 1

B. i

C. 1

D. i

2．已知集合Axx2,BxZx3,则AIB A. {x|2x3}

B. {1,2}

C. {0,1,2}

D. {1,0,1,2}

3．一个袋子中有4个红球,2个白球,若从中任取2个球,则这2个球中有白球的概率是 A. 4 5 B. 3 5C. 2 5D. 1 34．若焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是2xy0，则该双曲线的离心率是 A. 3 B. 2 C. 5 D. 6 5．若函数f(x)2axmn(a0,且a1)的图象恒过点(1,4)，则mn A. 3

B. 1

C. 1

A1B1D. 2

C16．已知棱长都为2的正三棱柱ABCA1B1C1的直观图如图，

若正三棱柱ABCA1B1C1绕着它的一条侧棱所在直线旋 侧视方向 转，则它的侧视图可以为

ABC

2222第6题图

1D

2A3B3Cuuuruuuruuuruuuruuur7．在YABCD中，M是DC的中点，向量DN2NB，设ABa,ADb，则MN A.

12ab 63111711B. a+b C. a+b D. ab

6366631，Sn2，则{an}的公比的取值28．设Sn为等比数列{an}的前n项和， 若an0，a1范围是

3A. (0,]

423B. (0,] C. (0,)

342D. (0,)

39．已知三棱锥PABC的四个顶点都在半径为2的球面上，ABBCCA22，PA平面ABC，则三棱锥PABC的体积为

A. 6 B. 22 C.

9 4D.

8 310．要得到函数ysin(2xA. 向右平移 C. 向右平移ππ的)图象，可以将函数ycos(2x)的图象 46B. 向左平移D. 向左平移22π个单位 24π个单位 12π个单位 24π个单位 1211．过直线3x4y140上一点P，作圆C：x1y29的切线，切点分别

为A、B，则当四边形PACB面积最小时直线AB的方程是 A. 4x3y20

B. 3x4y20

C. 3x4y20 12．若关于x的不等式

A.  D. 4x3y20

ln(2x)1b≤axb成立，则的最小值是 xa1B. 

e

C.

1 2e1 e D.

1 2e二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。 13．数列{an}中，若an1an3， a2a826，则a12_____． 114．二项式x的展开式中常数项是_______．

2x915．已知奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，若函数g(x)f(x2)f(a2|x|)恰有4

个零点，则a的取值范围是_______．

16．已知直线kxyk0(k0)与抛物线y24x交于A、B两点，过B作x轴的平行

线交抛物线的准线于点M，O为坐标原点，若SOBM:SOBA1:2，则k_____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必做题：共60分. 17．（12分）

如图,在四边形ABCD中,ADB45,BAD105,AD（1）求边AB的长及cosABC的值；

6, BC2,AC3． 2DCπ（2）若记ABC, 求sin(2)的值．

3

18．（12分）

AB第17题图

艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV病毒)引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能．下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：

年份 年份代码x 感染人数y （单位：万人） 2011 1 34.3 2012 2 38.3 2013 3 43.3 2014 4 53.8 2015 5 57.7 2016 6 65.4 2017 7 71.8 2018 8 85 （1）请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图； （2）请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y与x的关系；

（3）建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国艾滋病病毒感染人数. 附注：

8参考数据：426.4；

90y8 i18yi449.6,i18xiyi2319.5,(yiy)246.2,

i180706050参考公式：相关系数ri1ni1nn(xix)(yiy)2n,i403020(xx)(yii1y)2 10123ˆˆaˆbxˆ中， b回归方程y(xi1nix)(yiy)i第18题图 456789xˆ.ˆybx,a

(xi1x)2

19．（12分）

如图，四边形ABCD是菱形，EA平面ABCD，EF//AC，CF//平面BDE，G是ABF中点．

E（1）求证：EG//平面BCF； （2）若AEAB，BAD60， 求二面角ABED的余弦值．

20．（12分）

已知点M到定点F4,0的距离和它到直线l：x（1）求点M的轨迹C的方程；

m（2）若直线l：ykx与圆x2y29相切，切点N在第四象限，直线与曲

DAGBC第19题图

254的距离的比是常数． 45线C 交于A、B两点，求证：FAB的周长为定值．

21．（12分）

已知函数f(x)axlnx． x1（1）当a1时，判断f(x)有没有极值点?若有，求出它的极值点；若没有，请说明理由；

（2）若f(x)x1，求a的取值范围．

（二）选做题：共10分。请考生在22,23题中任选择一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y22px(p0)，以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2sin()3，l与x轴交于点M．

3（1）求l的直角坐标方程，点M的极坐标；

（2）设l与C相交于A,B两点，若MA、AB、MB成等比数列，求p的值．

23．（10分）选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)xa．

3)，求a,b的值； （1）若关于x的不等式f(x)b0的解集为(1，（2）若g(x)2f(x)2f(x1)，求g(x)的最小值．

宜宾市2016级高三第二次诊断测试题

数学（理工类）参考答案

二、选择题：CDBCC，BAADA，BD

21二、填空题： 13.34；14.；15.(0,1)；16.22.

16三、解答题：

ADAB17.解：⑴在ABD中，ABD30,, sinABDsinADBDCAB62AB;AB3; ………………………………………3分 1222

ABC; 在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC32322232cosABC, cos3.……………………6分 6⑵ 由⑴ 知cos3,(,), 6233115,sin2,cos2,………………………9分 666sin1cos2

sin(23)sin2cos3cos2sin35311. ……………………12分 1218.解：⑴所求折线图如图； ………..…2分

9⑵Qx,y56.2 ………3分

2y(万人）90807060504038.334.343.353.857.765.471.885(xx)(yii188iy)xyi18ii8xy296.3,……..…5分

(xix)i12(yiy)2i184246.2299.38……6

302010分

1 2 3 4 5 6 7 8 9xr(xi1nix)(yiy)n(xi1n0.99ix)2(yiy)2i1

说明y与x的线性相关相当高，从而可用线性回归模型拟合y与x的关系 ………7分

⑶b(xx)(yy)iii1n(xx)ii1n2296.37.05,42aybx56.27.054.524.48 y7.05x24.48………………………………………………………………………



………10分

当x9时，y7.05924.4787.93

预测201年我国艾滋病感染累积人数为

87.93万

人……………………………………12分 19.(1) 证明：设ACIBDO，连接EO，OG

QABCD是菱形，O是AC、BD的中点 QG是AB中点，OG//BC ，

QOG平面BCF OG//平面BCF ………2分

QCF//平面BDE，平面BDEI平面ACFEEO，EO//FC

QEO平面BCF，EO//平面BCF，………4分 QEOIOGO，平面EOG//平面BCF

EG//平面BCF ………6分

//AO,得YAOFE，AE//OF (2) 由(Ⅰ)知EO//FC，AOOC,QEF//AC,EFQEA底面ABCD，ACBD， OA，OB，OC两两垂直， ………7分

如图建立空间直角坐标系Oxyz，设AEAB2， QBAD60,DGAB,OA3,OB1，则 E(3,0,2),B(0,1,0),D(0,1,0),G(uuuruuur31,,0), DB(0,2,0),BE(3,1,2) 222y0设平面BDE的法向量n(x,y,z),得，可取n(2,0,3),…9分

3xy2z0QEADG,EAIABA,DG平面EAB,

uuur33平面EAB的法向量可取DG(,,0) …………………11分

22uuuruuurnDG37 cosn,DGuuur773|n||DG|

二面角ABED的余弦值7 …………………12分 7(x4)2y2420（12分）解：⑴设M(x,y)由题意得, ……………2分 255x4

x2y21为轨迹C的方程； …………………4分 259⑵法一：设A(x1,y1),A到l的距设为d，

|AF|444254,|AF|d|x1|,Qx1[5,5],|AF|5x1, ……………6分 d55545x12y124Q1，AN(x12y12)9x1 ……………8分 259544FAAN5x1x15, ……………10分

55同理FBBN5,FAFBAB10 FAB的周长为定值10. …………………12

分

法二：设A(x1,y1),B(x2,y2),由题知k0,m0,

Q直线l:ykxm与圆x2y29相切

mk213,即m29(k21) ① …………………5

分

x2y21得(25k29)x250kmx25m22250 把ykxm代入25950km25m2225,x1x2, …………………7显然0,x1x22225k925k9分

50km225m2225120kk21)4……9ABk1x1x2k1(25k2925k2925k2922

分

44440km120kk21FAFB5x15x210(x1x2)101055525k2925k29 …11

分

FAFBAB10 FAB的周长为定值10. ……………..…………12

分

（0，1）（U1，+）21.（12分）解：f(x)定义域为 ……………..…………1分

⑴当a1时，f(x)xlnx1, ……………..…………2分 2（x1）令g(x)xlnx1，则g(x)11x1， xx ① 当x(0,1)时，g(x)0，g(x)为减函数，g(x)g(1)0,

f(x)0,f(x)无极值点

②当x(1,)时，g(x)0，g(x)为增函数，g(x)g(1)0,

f(x)0,f(x)无极值点

综上，当a1时， f(x)没有极值点 ……………..…………4分 ⑵ 法一：由f(x)x1，得

x1axlnx(alnxx)0 x1,即x1xx1a1(x2ax1)1 令h(x)alnxx,则h(x)12……………..…………5分 xxxxlnx0lnx0+)时 ①当a0时，x(0,1)时；x(1，，

x10x10axlnxx1成立. a0合题意. ……………..…………7分 x1 ②当0a2时，x2ax12xax0,h(x)0 当x(0,1)时，h(x)为减函数，h(x)h(1)0,x1(alnxx)0成立 x1x

当x(1,)时，h(x)为减函数，h(x)h(1)0,x1(alnxx)0成立 x1x0a2合题意. ……………..…………9分

③当a2时，由h(x)0得，x2ax10，a240

设x2ax10两根为x1,x2(x1x2),x1x2a0,x1x21,0x11x2 （x1,1)U(1,x2), 由h(x)0得，x2ax10，解集为

h(x)在(x1,1)上为增函数，h(x1)h(1)0,

x11(alnx1x1)0，a2不合题意； ……………..…………11分 x11x1 综上，a的取值范围是(,2] ……………..…………12分

x1x1(x1)lnx1x,令F(x),F(x)xlnxxlnxx2ln2x2222(x21)(lnx法二思路：分离a令G(x)lnx221,易证G(x)0,G(1)0,从而F(x)F(1),再用洛必达法则求F(1)的极限值x121)x1x2ln2x222.（10分）解：⑴由2sin()3得，sin3cos3,y3x3

3  l的直角坐标方程y3x3 ……..…………3

分

令y0得点M的直角坐标为(1,0), 点M的极坐标为 (1,)………5分 1

x1t2

⑵ 由⑴知l的倾斜角为,参数方程为,（t为参数）代入y22px，

3y3t2得3t24pt8p0,t1t24p8p ……..…………7分 ,t1t233 Q|AB|2|MB||MA|,(t1t2)2t1t2,(t1t2)25t1t2 ……..…………9分 (4p28p15)5,p ……..…………10分 33223.⑴解：由f(x)b0得，xab,

当b0时，不合题意；

当b0时，abxab, ………………………………3分

ab1a1 由已知得,ab3b2综上，a1,b2 ………………………………5分

⑵ g(x)2|xa|2|x1a|22|xa|2|x1a|22|xa||x1a| 22|(xa)(x1a)|22 ………………………4分 当|xa||x1a|a)(x1a)0,即xa1时，g(x)有最小值22 (x2

…………5分

…