Maple理论力学

1. 如图1所示一质量为m、半径为r的圆柱铁桶， 在半径为R的圆弧上作无滑动的滚动。

求圆柱铁桶在平衡位置附近作微小振动的固有频率。

解：●建模

系统受主动力：mg,F1,F2。圆桶运动为定轴转动。

● Maple程序

> resart: #清零

> J[O1]:=1/2*m*r^2: #圆桶的转动惯量

> v[O1]:=(R-r)*Dtheta: #圆桶中心O1 线的速度vo1 > omega:=(R-r)*Dtheta/r: #作纯滚动角速度ω > T:=1/2*m*v[O1]^2+1/2*J[O1]*omega^2: #系统的动能 > V:=m*g*(R-r)*(1-cos(theta)): #系统的势能 > V:=subs(cos(theta)=1-1/2*theta^2,V): #微动时，势能 > theta:=A*sin(omega0*t+beta): #θ的变化规律 > Dtheta:=diff(theta,t): #θ的导数

> Tmax:=subs(cos(omega0*t+beta)=1,T): #系统的最大动能 > Vmax:=subs(sin(omega0*t+beta)=1,V): #系统的最大势能 > eq:=Tmax=Vmax: #机械能守恒 > solve({eq},{omega0}); #解方程

{(6r6R)g},{3r3R(6r6R)g}3r3R

答：圆桶在平衡位置附近作微小振动的固有频率为0（-6r6R）g3r3R

2. 如图2所示弹簧质量系统，作水平方向的自由振动，求小车的固有频率。

解：●建模

系统受回复力：Kx。小车作自由振动。

● Maple程序

> restart: #清零

> x:=A*sin(omega0*t+beta): #小车运动的变化规律 > Dx:=diff(x,t): #x的导数 > T:=1/2*m*(Dx)^2: #系统的动能 > V:=1/2*K*x^2: #系统的势能

> Tmax:=subs(cos(omega0*t+beta)=1,T): #系统的最大动能 > Vmax:=subs(sin(omega0*t+beta)=1,V): #系统的最大势能 > eq1:=Tmax=Vmax: #机械能守恒 > solve({eq1},{omega0}); #解方程

{mK},{mmK}m

答：小车在作往复运动的固有频率为0mK。 m

3. 一个质量为m的物体在一根抗弯刚度为EJ﹑长为l的简支梁上作自由振动。若此物体在

梁未变形的位置无初速度释放，求系统自由振动的频率。

解：●建模

系统受力：mg,F。物体作直线运动。

● Maple程序

> restart: #清零 > eq:=m*diff(x(t),t$2)=m*g- #k*(delta[st]+x):

mxF..x

> eq:=lhs(eq)-rhs(eq)=0: #移项

> eq:=subs(diff(x(t),t$2)=DDx, #代换 delta[st]=m*g/k,eq):

> eq:=expand(eq/m): #展开 > eq:=subs(k=m*omega[0]^2,eq); #代换

eq := DDx0x0

> X:=A*sin(omega[0]*t+beta): #系统的通解 > k:=m*g/delta[st]: #梁的刚度系数 > omega[0]:=sqrt(k/m): #固有频率 > omega[0]:=subs(delta[st]=(mgl^3)

/(48*E*J),omega[0]); #代换

20 := 48答：系统自由振动的频率为 := 480gEJmgl3

gEJ。 3mgl4. 如图中4所示单自由度弹簧质量系统在，质量块质量为m，当质量块下拉弹簧处于平衡

位置时，静变形为40mm。求此弹簧质量系统的振动规律。

解：●建模

系统受力：mg,回复力kx。物体作上下的自由振动运动。

● Maple程序

> restart: #清零 > eq:=m*diff(x(t),t$2)=m*g-k* #(delta[st]+x):

> eq:=lhs(eq)-rhs(eq)=0: #移项 > eq:=subs(diff(x(t),t$2)=DDx, #代换 delta[st]=m*g/k,eq):

> eq:=expand(eq/m): #展开 > eq:=subs(k=m*omega[0]^2,eq): #代换

mxF..x

> X:=A*sin(omega[0]*t+beta): #系统通解

> k:=m*g/delta[st]: #弹簧刚度系数 > omega[0]:=sqrt(k/m): #固有频率 > x[0]:=-delta[st]: #初位移 > v[0]:=0: #初速度 > A:=sqrt(x[0]^2+v[0]^2/omega[0]^2): #振幅 > beta:=-Pi/2: #初相角 > delta[st]:=0.04:g:=9.8: #已知条件 > omega[0]:=eval(omega[0]): #已知条件 > A:=eval(A): #振幅数值

> X:=evalf(X,4); #系统振动规律

X := .04000cos(15.65t)

答：此弹簧质量系统的振动规律x=-0.04cos(15.65t)。

5. 龙门起重机设计中，为避免在连续启动制动过程中引起的振动，要求每一次由于启动过

程中或制动过程中引起的振动的衰减时间不得过长。有如下规定：起重质量不大于50吨的龙门起重机，在纵向水平振动时，振幅衰减到最大振幅的5%所需的时间应在25~30秒的范围。如图5所示为一15吨的龙门起重机的示意图，在作纵向水平振动时，等效

2

质量m=27.9kg.s/cm。水平方向刚度K=2000kg/cm.有实测得到对数减幅=0.10.试计算衰减时间，问是否符合要求。

解：●建模

系统受力：mg,Fd。物体作上下的自由振动运动。

● Maple程序

> restart: #清零 > T[d]:=((1/f*delta)*Lambda): #衰减时间 > Lambda:=ln(A[1]/A[j+1]): #对数缩减 > Lambda:=subs((A[1] #代换 /A[j+1]=y,Lambda)):

> f:=(1/(2*Pi))*sqrt(K/m): #固有频率

> K:=2000:m:=27.9: #已知条件 delta:=0.10:y:=100/5:

> f:=evalf(f,4); #固有频率数值

f := 1.347

> T[d]:=evalf(T[d],4); #衰减时间

Td := .2224

答：所求的时间为22.24s在所求区间内满足要求，所以是符合要求的。

6. 某精密设备用橡胶隔振器隔振，如图6所示。已知系统的固有频率为3.8Hz。橡胶隔振

器的相对阻尼系数ζ=0.125。如地面振动的垂直分量是正弦振动，振幅为0.002mm,最大振动速度为0.1256m/s。试求设备的振幅。

解：●建模

设备受力：mg,Fe。设备作曲线运动。

● Maple程序

> restart: #清零 >B:=a*sqrt(((1+(2*zeta*lambda)^2) #振幅 /9(1-lambda^2)^2+(2*lambda*zeta)^2)):

> omega:=v/a: #地面振动频率 > p:=2*Pi*f: #系统振动频率 > lambda:=omega/p: #频率比 > v:=0.1256:a:=0.002: #已知条件 f:=3.8:zeta:=0.125:

> B:=evalf(B,4); #垂直振幅数值

B := .001342

答：此设备的振幅为1.342mm.

7. 一汽车在波形路面上行驶，其模型可以简化为如图7所示的图形。路面的波形可以用函

2x表示，其中振幅d50mm,波长l8m。汽车的质量m2500kg，l弹簧的刚度系数为k300kN/m。忽略阻尼，求汽车以15m/s匀速前进时，车体的垂

数ydsin直振幅？

解：●建模

汽车受主动力：mg,Fe。汽车作曲线运动。

● Maple程序

> restart: #清零

> x:=y*t: #汽车匀速行驶位移 > y[1]:=d*sin(2*Pi*x/l): #路面波形方程 > y[1]:=subs(v=(omaga*l)/(2*Pi),y[1]): #代换

> omega:=(2*Pi*v)/l: #位移激振频率 > omega0:=sqrt(k/m): #系统的固有频率 > s:=omega/omega0: #频率比

> etal:=sqrt(1/(1-s^2)^2): #位移传递率 > b:=etal*d: #车体垂直振幅 > k:=300000:m:=2500:l:=8: #已知条件 > d:=0.050:v:=15: #已知条件 > b:=evalf(b,4); #振幅数值

b := .3184

答：车体的垂直振幅为31.84cm。

8. 一个均质的细杆质量为m,长为l,如图所示，两个刚度系数皆为k的弹簧对称的作用在 轻质细杆上。试求该系统的固有频率和固有振型。

解：●建模

已平衡位置为原点，只考虑沿铅垂方向的位移，分别以弹簧的两个支点的位移X1，X2为系统 的两个坐标。

细杆受力mg,Fe1和 Fe2。细杆作平面运动。

● Maple程序

> restart: #清零

> J[C]:=m*l^2/12: #均值细杆绕质心的转动惯量 > F[1]:=k*x[1]: #弹簧恢复力Fe1 > F[2]:=k*x[2]: #弹簧恢复力Fe2 > x[C]:=(x[1]+x[2])/2: #细杆质心的坐标

> phi:=(x[1]-x[2])/d: #细杆绕质心的微小转动 > DDx[C]:=(DDx[1]+DDx[2])/2: #细杆质心加速度

> DDphi:=(DDx[1]-DDx[2])/d: #细杆绕质心微小角加速度 > eq1:=m*DDx[C]=-F[1]-F[2]: #细杆的平面运动微分方程一 > eq2:=J[C]*DDphi=-F[1] #细杆的平面运动微分方程二 *d/2+F[2]*d/2:

> eq1:=lhs(eq1)-rhs(eq1)=0: #移项 > eq2:=lhs(eq2)-rhs(eq2)=0: #移项 > eq1:=expand(2*eq1/m): #展开 > eq2:=expand(d*eq2/J[C]): #展开 > eq1:=subs(k=m*b/2,eq1): #代换 > eq2:=subs(k=c*(m*l^2)/(6*d^2),eq2): #代换 > x[1]:=A*sin(omega*t+theta): #设解 > x[2]:=B*sin(omega*t+theta): #设解

> DDx[1]:=diff(x[1],t$2): # X1对t的二阶导 > DDx[2]:=diff(x[2],t$2): # X2对t的二阶导 > eq3:=simplify(eq1/sin(omega*t+theta)): #化简 > eq4:=simplify(eq2/sin(omega*t+theta)): #化简 > eq3:=subs(B=A*nu,eq3): #代换 > eq4:=subs(B=A*nu,eq4): #代换 > eq3:=expand(eq3/A): #展开 > eq4:=expand(eq4/A): #展开 > b:=2*k/m: #方程系数 > c:=(6*k*d^2)/(m*l^2): #方程系数 > solve({eq3,eq4},{nu,omega^2}); #解方程

kd2k2{-1,6},{1,2} 2mml22k6kd2答：系统的固有频率1，2，对称主振型21mml型

9. 已知：lBA11和反对称主振

12BA2-1。

2l0vt，求如图10摆的运动方程。

解：●建模

小球作平面运动自由度f=1 取广义坐标φ

● Maple程序

> restart: #清零

> x[rho]:=l: #初始状态

> x[phi]:=l*phi: #角度为φ时的位移 > x[rho]:=subs(l=l(t),x[rho]): #代换 > x[phi]:=subs(phi=phi(t),x[phi]): #代换

> v[rho]:=diff(x[rho],t): #关于t的导数 > v[phi]:=diff(x[phi],t): #关于t的导数 > V:=vector([v[rho],v[phi]]): #表示为矢量

> v[A]:=sqrt(v[rho]^2+v[phi]^2): #任意点A速度大小

> T:=1/2*m*v[A]^2： #A点动能 > T:=subs(diff(phi(t),t)=Dphi, #代换 phi(t)=phi,T):

> T:=collect(T,Dphi): #整理

> T[Dphi]:=diff(T,Dphi): #φ的导数对T求导 > T[phi]:=diff(T,Dphi)： #φ的导数对T求导 > T[Dphi]:=subs(l=l[0]-v*t, #代换

Dphi=Dphi(t),T[Dphi])： > V:=-m*g*(l[0]-v*t)*cos(phi): #速度表达式

> Q[phi]:=-diff(V,phi)： #φ对V的导数 > eq:=diff(T[Dphi],t)-T[phi]-Q[phi]=0： #微分表达式一般式 > eq:=subs(diff(Dphi(t),t)=DDphi, #代换后的表达式 Dphi(t)=Dphi,eq):

> eq:=(l[0]-v*t)*DDphi-2*v*Dphi

+g*sin(phi)=0; #最终形式 eq := (l0vt)DDphi2vDphigsin()0

答：摆的运动方程为

l0vt2vgsin()0。

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