Published Online November 2016 in Hans. http://www.hanspub.org/journal/pm http://dx.doi.org/10.12677/pm.2016.66062
Some Research on R-Semi-Topology Space
Minqian Jin, Peiyong Zhu
School of Mathematical Sciences, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu Sichuan
Received: Oct. 30, 2016; accepted: Nov. 14, 2016; published: Nov. 23, 2016
ththrd
Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Open Access
Abstract
Firstly, we explore the properties of point set on R-semi-topology space and then discuss the comparative theory of R-semi-topology. Finally separation properties of the R-semi-topology space are studied. Some theoretical results are obtained respectively in the above three aspects.
Keywords
R-Semi-Topology, R-Semi-Topology Base, Comparison of R-Semi-Topology
关于R-半拓扑空间的一些探究
靳敏倩，朱培勇
电子科技大学数学科学学院，四川 成都
摘 要
收稿日期：2016年10月30日；录用日期：2016年11月14日；发布日期：2016年11月23日
本文首先对R-半拓扑空间中点集的性质进行研究，然后对R-半拓扑的比较进行讨论，最后研究R-半拓扑空间的分离性质，并且在上述三个方面都分别获得了一些理论结果。
文章引用: 靳敏倩，朱培勇. 关于R-半拓扑空间的一些探究[J]. 理论数学, 2016, 6(6): 459-463. http://dx.doi.org/10.12677/pm.2016.66062
靳敏倩，朱培勇
关键词
R-半拓扑，R-半拓扑基，R-半拓扑的比较
1. 引言与预备知识
2002年，匈牙利数学家A. Csaszar在文献[1]中引入了广义拓扑概念，他定义：集合X的一个子集族
λ称为是一个广义拓扑，如果空集φ∈λ并且对于任何族G⊂λ有G∈λ。不难看出：广义拓扑实际上
是一个半拓扑。2015年，文献[2]把广义拓扑称为上半拓扑，进而引入下半拓扑的概念，使得点集拓扑的一些性质得到了很好的推广。最近，文献[3]和文献[4]利用文献[2]的研究方法，将任意一个拓扑进行重新剖分为两个半拓扑，即左半拓扑与右半拓扑，并且分别记这两个半拓扑为L-半拓扑与R-半拓扑。同时，这两文献又从另一个角度推广了拓扑的概念，分别得到了L-半拓扑空间和R-半拓扑空间的一些研究结果。本文主要在文献[4]的基础上，对R-半拓扑空间进行研究，主要讨论R-半拓扑空间的点集性质、R-半拓扑基与R-半拓扑的比较。
定义1.1 [4]：设X是一个非空集合，λ是X的一些子集构成的集族，如果下列条件被满足： (O1) φ∈λ；(O2) 若G1,G2∈λ，则G1∩G2∈λ。
则称λ为集合X上的一个R-半拓扑，并且称有序偶(X,λ)为一个R-半拓扑空间，λ中的每一个集合都称为R-半拓扑空间(X,λ)的R-开集。本文在不混淆的情况下，通常用X简记(X,λ)。
定义1.2 [4]：设(X,λ)为R-半拓扑空间，x∈X，U⊂X，如果∃G∈λ，使得x∈G⊂U，则称U为点x的一个R-邻域。点x的邻域全体称为点x的R-邻域系，记作(x)，并称={(x)|x∈X}为由拓
扑λ导出的X的R-邻域系。
定义1.3 [4]：设(X,λ)为R-半拓扑空间，A⊂X，x∈A，如果∃U∈(x)使得U⊂A，则称点x为
0点集A的R-内点。点集A的R-内点的全体称为A的R-内部，记为AR或intAR。
此外，本文中所有没定义的关于R-半拓扑空间的相关概念(例如子空间等)、术语和记号，如果没有特殊声明，都来自于文献[5]。
2. 关于R-半拓扑空间的一些性质
根据文献[5]在一般拓扑空间中，有结论：A为开集的充要条件是A=A0。但在R-半拓扑空间中该结论不成立。
命题2.1：设X是R-半拓扑空间，A⊂X，若A为开集，则A=A0。反之，结论不成立。 证明：(1) 因为A为开集，对∀x∈A，∃G=A∈λ，使得x∈G⊂A，由R-内点的定义可知x∈A0，所以A⊂A0；又显然有A0⊂A，故A=A0。
(2) 反之，可取X={a,b,c,d}，λ={φ,{a},{a,c},{d},{a,d}}，则(X,λ)是R-半拓扑空间。又取
=A则对∀x∈A，∃G∈λ，使得x∈G⊂A。由R-内点的定义，有x∈A0。因此A⊂A0；{a,c,d}⊂X，
下面是与拓扑空间类似的两个结果：
命题2.2：设X是R-半拓扑空间，如果Y是X的开子集，则A开于Y当且仅当A开于X。 A⊂Y⊂X，证明：(必要性) 设A开于Y，存在X中开集G使得A又因Y是X的开子集，则G∩Y∈λ，=G∩Y，
又A0⊂A，所以有A=A0。但A∉λ，因此A不是开集。
因此A是X中开集。
(充分性) 设A开于X，则A∩Y开于Y。而A∩Y=A，因此，A开于Y。
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=intY(A)∩intX(Y)。 命题2.3：设X是一个R-半拓扑空间，A⊂Y⊂X，则intX(A)证明：对于∀x∈intX(A)，因∃U∈(x)使得x∈U⊂A并且A⊂Y，则∃V=U∩Y∈Y(x)使得故x∈intY(A)。又因W∈(x)且U⊂Y，则x∈intX(Y)。所以，x∈intY(A)∩intX(Y)。 x∈V⊂U⊂A，
反过来，对于∀x∈intY(A)∩intX(Y)，则存在U∈Y(x)使得x∈U⊂A并且存在V∈(x)使得x∈V⊂Y。对于U∈Y(x)，又存在W∈(x)使得U=W∩Y，则存在O=V∩W∈(x)使得
O=(V∩Y)∩W=V∩(W∩Y)=V∩U⊂A。因此，x∈intX(A)。
=intY(A)∩intX(Y)。 从而，intX(A)3. 关于R-半拓扑的比较
定义3.1：设λ1，λ2是X上的两个R-半拓扑，如果λ1⊂λ2，则称λ1是比λ2更粗的R-半拓扑，或称λ2是比λ1更细的R-半拓扑。
命题3.1：设λ1，λ2是X上的两个R-半拓扑，λ1和λ2分别是关于λ1与λ2的全体闭集构成的集族，则λ1是比λ2更粗的R-半拓扑当且仅当λ1⊂λ2。
证明：(必要性) ∀F∈λ1，有X−F∈λ1，因λ1⊂λ2，则X−F∈λ2，故X−(X−F)=F∈λ2，从而，λ1⊂λ2。
G∈λ2，因(充分性) 对于∀G∈λ1，有X−G∈λ1，因λ1⊂λ2，则X−G∈λ2。故X−(X−G)=此，λ1⊂λ2，λ1是比λ2更粗的R-半拓扑。
众所周知，在一般拓扑学中有定理[5]：如果T1，则T1⊂T2当且仅当∀x∈X，T2是X上的两个拓扑，有1(x)⊂2(x)。下面证明：这定理在R-半拓扑空间中不成立：
命题3.2：:设λ1，λ2是X上的两个R-半拓扑，若λ1⊂λ2，则∀x∈X，有1(x)⊂2(x)。反之，结论不真。
证明：(1) 设λ1⊂λ2，对于∀x∈X，∀U∈1(x)，∃G∈λ1，使得x∈G⊂U。因为λ1⊂λ2，则G∈λ2并且x∈G⊂U，故U∈2(x)，所以1(x)⊂2(x)。 (2) 反之，可取X={a,b}，λ1={φ,{a},{b}，{a,b}}，λ2={φ,{a},{b}}，则λ1，λ2是X上的两个R-半拓扑，由R-邻域的定义，有
)，1(a){={a},{a,b}}2(a={b},{a,b}}{=因此，对于∀x∈X，有1(x)⊂2(x)。但是，λ1⊄λ2。
=1(a)2(b)
4. R-半拓扑基
定义4.1：设(X,λ)是R-半拓扑空间，如果∀G∈λ，存在{Bλ|λ∈Λ}⊂，使得G=λ∈ΛBλ，⊂λ，则称为R-半拓扑λ的一个基，也称为X的一个R-半拓扑基。
命题4.1：设(X,λ)是R-半拓扑空间，为R-半拓扑λ的一个基当且仅当∀G∈λ，∀x∈G，∃B∈使得x∈B⊂G。
证明：(必要性) 设为R-半拓扑λ的一个基，即∀G∈λ，存在{Bλ|λ∈Λ}⊂，使得G=λ∈ΛBλ，故∀x∈G，∃λ0∈Λ，使得x∈Bλ0⊂G。
使得x∈Bx⊂G。故G=x∈ΛBx。由R-半拓扑基的定义知：为λ的一个基。
在一般拓扑空间中，有如下结论：
设(X,λ)是拓扑空间，为λ的一个基，则满足下面两个条件：(1)
(充分性) ∀G∈λ，若G=φ，则∃BG=φ⊂，使G=BG；若G≠φ，因为∀x∈G，∃Bx∈，
=X；(2) ∀B1,B2∈，
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∀x∈B1∩B2，∃B∈使得x∈B⊂B1∩B2。但在R-半拓扑空间中，上述条件（1)=X不一定成立。
例如：可取X={a,b,c,d}，则λ={φ,{a},{b},{c}，{a,c},{b,c}}，={{a},{b},{c}}，但≠X。
5. R-半拓扑空间的分离性质
现在，类比一般拓扑空间的分离性质引入R-半拓扑空间的分离性质：
定义5.1：设(X,λ)是一个R-半拓扑空间，且X中的任意一点都有包含它的邻域存在。
(1) 称X是R-T0的，如果∀x,y∈X，x≠y，∃U∈(x)使得y∉U，或者∃V∈(y)使得x∉V。
(2) 称X是R-T1的，如果∀x,y∈X，x≠y，∃U∈(x)，∃V∈(y)使得y∉U并且x∉V。 (3) 称X是R-T2的，如果∀x,y∈X，x≠y，∃U∈(x)，∃V∈(y)使得U∩V=φ。 定理5.1：R-半拓扑空间X为R-T0空间当且仅当任意x,y∈X，若x≠y，则{x}≠{y}。
证明：(必要性) 设X为R-T0空间，任意x,y∈X，x≠y。由T0公理，不妨设存在U∈(x)，使得
y∉U，即y∈Uc闭于X，故{y}⊂Uc=X\\U，因此x∉{y}，从而{x}≠{y}。
因{x}≠{y}，则{x}⊄{y}或{y}⊄{x}。不失一般性，设{x}⊄{y}，(充分性) 任意x,y∈X，x≠y，
即存在z∈{x}\\{y}。下证x∉{y}。从而存在=UX\\{y}∈(x)，有y∉U。事实上，若x∈{y}，则
{x}⊂{y}，因此{x}⊂{y}，于是z∈{x}⊂{y}。这与z∉{y}矛盾。
定理5.2：若R-半拓扑空间X中每个单点集都是闭集，则X是R-T1空间。 证明：任意x,y∈X，x≠y。因为{x}是闭集，则X\\{x}为开集，并且
x∉X\\{x}=V∈(y)，
U∈(x)。故X为T1空间。 又因为y∉X\\{y}=在一般拓扑学中，定理5。2的逆命题也成立，但在R-半拓扑中却不成立，反例如下:
取X={a,b,c}，λ={φ,{a},{b},{c}}。容易验证(X,λ)是一个R-T1空间，但存在X中的单点集{a}不是闭集。
定理5.3：R-半拓扑空间X是R-T2空间当且仅当X中每个收敛网有唯一极限。 证明：(必要性)反证。若X中存在一个收敛网{xδ}δ∈S有两个极限点x0与y0并且x0≠y0。由X的T2性，
φ。存在U∈(x0)，存在V∈(y0)arcsinθ，使得U∩V=因为xδ→x0，故存在δU∈S，使得任意δδU，
有xδ∈U。又因xδ→y0，故存在δV∈S，使得任意δδV，有xδ∈V。再由S的定向性，存在δ*∈S，使得δ*δU且δ*δV。因此，任意δδ*，有xδ∈U∩V。这与U∩V=φ矛盾。从而{xδ}δ∈S有唯一的极限点。
(充分性) 反证。若X不是T2空间，即存在x,y∈X:x≠y，使得任意U∈(x)，任意V∈(y)，有
U∩V≠φ。取x(U,V)∈U∩V，并且定义=∆{(U,V)|U∈u(x),V∈u(y)}。
又在∆中定义半序“”：(U1,V1)(U2,V2)当且仅当U1⊃U2且V1⊃V2。则(∆,)是一个定向集。
U,V)∈∆{x()}(U,V为X中的一个网。
现在证：x(U,V)→x并且x(U,V)→y。
事实上，∀U*∈(x)，取V*∈(y)，则(U*,V*)∈∆。对于∀(U,V)∈∆，当(U,V)(U*,V*)时，有x(U,V)∈U∩V⊂U⊂U*。因此x(U,V)→x。同理可证，x(U,V)→y。
定义5.2：设(X,λ)是一个R-半拓扑空间，且X中的任意一点都有包含它的邻域存在。
(1) 称X是R-半正则的，如果∀x∈X，∀F闭于X，若x∉F，则∃U∈(x)，∃V∈(F)，使得
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U∩V=φ。
(2) 称X是R-半正规的，如果∀F1,F2闭于X，若F1∩F2=φ，则∃U∈(F1)，∃V∈(F2)使得
U∩V=φ。
定理5.4：R-半拓扑空间X是正则的当且仅当∀x∈X，∀U∈(x)，∃V∈(x)，使得V⊂U。
证明：(必要性)设x∈X，∀U∈(x)，存在开集G⊂X，使得x∈G⊂U。记F=Gc，则F闭于X并且x∉F。由X的正则性，∃开集V1∈(x)，∃开集V2∈(F)，使得V1∩V2=φ。则V1⊂V2c。因而，
∃V=V1∈(x)，使得x∈V⊂V⊂V2c⊂X\\F=G⊂U
(充分性) 设x∈X，F闭于X并且x∉F。令U=Fc，则开集U∈(x)。由假设，∃V∈(x)使得
x∈V⊂V⊂UFcX\\F。令W=Vc，则
=FX\\(X\\F)⊂X=\\VW
因此V∈(x)，W∈(F)且W∩V=V=(X\\V)∩φ。从而X是正则的。
6. 小结
本文在文献[4]的基础上进一步探究右半拓扑即R-半拓扑空间的性质，得到了R-半拓扑空间的一些结论以及R-半拓扑的比较与R-半拓扑基的一些结果。进而，丰富了R-半拓扑空间理论。同时，给出反例说明有些在一般拓扑中成立的命题在R-半拓扑中却不成立。
参考文献 (References)
[1] Csaszar, A. (2002) Generalized Topology, Generalized Continuity. Acta Mathematica Hungarica, 96, 351-357.
http://dx.doi.org/10.1023/A:1019713018007 [2] 胡西超, 朱培勇. 一类新型半拓扑空间及其分离性质[J]. 理论数学, 2015, 5(4): 129-135. [3] 陈道富, 钟建, 朱培勇. 关于L-半拓扑空间的一些注记[J]. 理论数学, 2015, 5(6): 272-277. [4] 钟健, 陈道富, 朱培勇. 关于R-半拓扑空间的一些结果[J]. 理论数学, 2016, 6(3): 217-222. [5] 朱培勇, 雷银彬. 拓扑学导论[M]. 北京: 科学出版社, 2009: 33-43.
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