数值分析模拟试卷(二)

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一、填空题（每空3分，共30分）

1． 设f(x)4x83x42x21，则差商f[20,21,,28] 4 ；

2．在用松弛法(SOR)解线性方程组AX=b时，若松弛因子满足|1|1，则迭代法 发散 ； 3．设f(x*)0,f(x*)0,若求x的Newton迭代法至少三阶收敛，f(x)需要满足

*f\"(x*) ；

4．已知X(1,2)T,Ax72 ，则||AX||1 16 ，Cond(A) 90 ； 31*5． 求方程x42在x01.5附近的根x，若用迭代公式： xk1ln(4xk)/ln2(k0,1,2,)，则其产生的序列{xk}是否有limxkx? 是 ，其理由是 在x0=1.5附近，迭代函数是k*压缩映射 ；

6．为使两点的数值求积公式：

11f(x)dxf(x0)f(x1)具有最高的代数精确度，其求积节点应

为 ；

7．过节点xi,xi3(i0,1,2)的插值多项式为 ； 8．插值型求积公式

baf(x)dxAk0nkf(xk)的求积系数之和

Ak0nk___b-a____ .

221二、（15分）已知方阵A111，

321(1) 证明： A不能被分解成一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积；

(2) 试通过交换A的行，使其能实现(Doolittle)分解，并给出其分解； (3) 用上述分解求解方程组AX=b，其中b(3.5,2,4)．

Tx1x2b1三、（15分）线性方程组

x4xb122（1） 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性； （2） 设4，给定松弛因子

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，请写出解此方程组的SOR方法的迭代格式，并讨论收敛性．

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四、（12分）设函数f(x)在区间[0,2]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式H(x)，

满足H(0)f(0)0,并写出插值余项．

五、（14分）证明对任意的初值x0，迭代格式xn1cosxn均收敛于方程xcosx的根，且具有 线性收敛速度．

六、(14分)(1)试导出切比雪夫(Chebyshev)正交多项式

H(1)f(1)1,H(2)f(2)1,H(1)f(1)3 ，

Tn(x)cos(narccosx)(n0,1,2,,x[1,1])的三项递推关系式：

T0(x)1,T1(x)x, Tn1(x)2xTn(x)Tn1(x)(n1,2,)(2) 用高斯—切比雪夫求积公式计算积分I积分的精确值？

1x31x(1x)0dx，问当节点数n取何值时，能得到

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