人教版九年级数学上册 二次函数的图像和性质 讲义

二次函数的图象和性质

例题讲解：

例1、在平面直角坐标系中画出y=x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2的图象

y=x2表格：

x y y=-x2表格：

x y y=2x2表格：

x y y=-2x2表格：

x y

-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2

通过画图我们可以得出二次函数y=ax2的性质：

1、二次函数的图象叫做_________，是__________图形；顶点坐标是______，对称轴是__________ 2、a>0，开口向_____；a<0，开口向_____ 3、|a|越大，开口越____；|a|越小，开口越____

例2、抛物线y12x不具有的性质是（ ） 5A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.与y轴不相交 D.最高点是坐标原点

例3、如图所示,在同一坐标系中,作出①y3x ②yx2③yx的图象

2 则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 (填序号)

例4、下列说法错误的是（ ）

A．二次函数y=3x2中，当x>0时，y随x的增大而增大 B．二次函数y=－6x2中，当x=0时，y有最大值0 C．a越大图象开口越小，a越小图象开口越大

D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点

212思考：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，既然a控制抛物线的开口，那么b和c控制什么呢？

知识点三：函数的图象和性质

知识回顾：

函数平移法则:_______________________________

例1、将y=2x2向右平移3个单位，再上移1个单位，所得新的抛物线的解析式为__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________

再看更一般的情况：将y=ax2向右平移h个单位，再上移k个单位，所得新的抛物线解析式为_________________

________________叫做二次函数的顶点式，顶点坐标（ ， ） ， 对称轴是_________________

总结：要确定二次函数的顶点和对称轴，可用配方法把它配成顶点式，再根据平移的思想判断出来

例2、求二次函数y=x2-2x+4的顶点坐标和对称轴 例3、求二次函数y=-x2-4x-6的顶点坐标和对称轴

例4、抛物线yx2的顶点坐标为（ ）

2A．（2，0） B．（-2，0） C．（0，2） D．（0，-2）

例5、抛物线y(x1)23的对称轴是（ ） A、直线x1

B、直线x3

C、直线x1

例6、抛物线 y＝-2(x＋1)2＋3的顶点坐标是

1、函数y=-x2-4x+3图象顶点坐标是（ ） A.（2，-7） B.（-2，7） C.（-2，-7）

2、抛物线y12x221的顶点坐标是（ ） A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，-1）

3、 y=(x－1)2＋2的对称轴是直线（ ）

A．x=－1 B．x=1 C．y=－1 4、抛物线y=x2-2x+1的对称轴是 ( )

A、直线x=1 B、直线x=-1 C、直线x=2 5、二次函数y(x1)22的最小值是（ ）．

A、2 B、1 C、－3 6、抛物线y(x2)23的对称轴是（ ） A. 直线x3 B. 直线x3 C. 直线x2

7、抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上

D、直线x3

D.（2， 7）

D．（-2，-1） D．y=1

D、直线x=-2

D、23 D. 直线x2

D. y轴上

8、函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )

A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3)

9、将二次函数yx22x3配方成y(xh)2k的形式，则y=______________________

10、对于y2(x3)2的图象下列叙述正确的是（ ）

2A、顶点坐标为(－3，2) B、对称轴为y=3

C、当x3时y随x增大而增大 D、当x3时y随x增大而减小

11、用配方法把y＝-x2＋4x＋5化为y＝a(x-h)2＋k的形式为y＝ ，其开口方向 ，对称轴

为 ，顶点坐标为

12、若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=___________

13、已知抛物线y= -2（x+3）²+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______

定理：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的顶点坐标是(

bb4acb2,)，对称轴是直线x 2a4a2a

证明：y=ax2+bx+cby=a(x2+x)+cabbby=a[x2+x+()2-()2]+ca2a2ab2b2y=a[(x+)-2]+c2a4ab2b2y=a(x+)-+c2a4ab24ac-b2y=a(x+)+2a4a由二次函数顶点式y=a(x-h)2+kb4ac-b2得h=-，k=2a4ab4ac-b2b∴二次函数y=ax+bx+c的顶点坐标是(-,)，对称轴是直线x=-2a4a2a2(把a提出来)(配方法：加上一次项系数一半的平方）（配成完全平方公式）（乘法分配律）b24ac-b2（通分、合并，-+c=)4a4a

例7、抛物线yx4x9的顶点坐标是___________，对称轴是 ，有最____值______

2

例8、二次函数y=mx2-2mx-1+m的顶点坐标是___________，对称轴是

例9、已知抛物线y=x2－8x＋c的顶点在x轴上，则c的值是（ ） A．16 B．－4 C．4 D．8

例10、二次函数y=(x－3)(x＋2)的图象的对称轴是（ ） A．x=3 B．x=－2 C．x=

14、抛物线y2xx1的顶点在（ ）

211 D．x= 22

A、 第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

15、若b0，则二次函数yx2bx1的图象的顶点在（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

16、已知二次函数yax2bx的图象经过点A，则ab有 ( ) （1，1）A、最小值0 B、最大值 1 C、最大值2 D、有最小值

17、抛物线y2x12x25的开口方向 ，顶点坐标是

214

18、将 y＝x2－2x＋3 化成 y＝a (x－h)2＋k 的形式，则 y＝＿＿＿＿

19、函数y2xx有最_____值，最值为_______

2

20、若抛物线y＝x2－bx＋9的顶点在x轴上，则b的值为_____

21、二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________

22、如果抛物线y

ax2bxc与y轴交于点A(0,2)，它的对称轴是x1，那么

acb

23、函数y

24、二次函数有最小值为1，当x

25、已知二次函数y

26、直接写出下列函数的开口方向、顶点坐标、对称轴，最值 （1）y

27、请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线x=﹣1，且与y轴的交点在x轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为

28、请你写出函数y(x1)2与yx21具有的一个共同性质：_______________

x2pxq的图象是以3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为

0时，y1，它的图象的对称轴为x1，则函数的关系式为_________

125x2x，求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值 221212x2x1 （2）y3x8x2 （3）yx2x4 24

29、有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点： 甲：对称轴是直线x4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：_______________

30、已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________