高中数学 含参数的不等式解法归类解析学法指导

含参数的不等式解法归类解析

求解含参数的不等式集中了解不等式的基础知识、基本技能，常与分类讨论相结合，成为各类考试中的重点和难点。

分类讨论的关键在于弄清为什么要分类，从什么角度进行分类。本文以这两个方面为着眼点，谈谈分类的策略，供同学们参考。

一、含参数的一元二次不等式的讨论策略

20aR）例1 解关于x的不等式ax2x1（。

分析：对含参数的一元二次不等式的讨论顺序一般为先讨论二次项系数，后对“△”进行讨论。需要的话还要对根的大小进行比较。含参数的一元二次不等式与不含参数的一元二次不等式的解题过程实质是一样的，结合二次函数的图象、一元二次不等式分类讨论。

1{x|x}2。 时，原不等式的解集为

解：（1）当a=0

2（2）当a>0时，方程ax2x10，△=4－4a。

2①若△>0，即0x111aa，

x211aa，

x1x2。

所以原不等式的解集为

{x|x11a11a，或x}aa。

②若△=0，即a=1时，原不等式的解集为{x|x1}。

③若△<0，即a>1时，原不等式的解集为R。

④当a<0时，一定有△>0，方程ax2x10两个解为

2x111aa，

x211aa，

且x1x2。

原不等式的解集为

{x|11a11ax}aa。

总结：对含参数的一元二次不等式的讨论，一般可分为以下三种情形：（1）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时需要对判别式“△”进行讨论。（2）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程有两解，但不知道两个解的大小，因此需要对解的大小进行比较。（3）当含参数的一元二次不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论，其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行比较。

二、含参数的绝对值不等式的讨论方法

例2 解关于x

2|x的不等式2x3|a。

222|x2x3|ax2x3a或x2x3a。 错解：

2当x2x3a时，解得x14a或x14a。

2当x2x3a时，解得14ax14a。

剖析：此解法没有对a作任何讨论，陷入了解不等式的思维混乱状态。解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，由于a的范围不确定，所以解题时需对a进行分类讨论，特别注意解不等式时要考虑0≤a<4和a≥4两种情况。

正确解法：当a<0时，得xR。

22当a0时，得①x2x3a或②x2x3a。

由①解得x14a或x14a。

2(x1)4a。 由②得

此时分类可知，若0a4，解得14ax14a。

若a4，此不等式无解。

综上，当a<0时，原不等式解集为R；

当0a4时，原不等式解集为{x|x14a，或x14a，或14a

当a4时，原不等式解集为{x|x14a，或x14a}。

总结：解含绝对值不等式的基本思路：一是从定义出发，直接去掉绝对值符号；二是根据绝对值的定义通过分类讨论，特别是对不等式中对参数的讨论去掉绝对值符号，将原

不等式转化为不含绝对值的不等式求解；三是数形结合，利用函数图象求解；四是将较复杂的绝对值不等式等价转化为最简单的绝对值不等式求解。

三、含参数的分式不等式的讨论方法

例

xa1aRx13 已知，解不等式。

分析：这是一个含参数的分式不等式，主要策略是化为不等式组讨论或转化为整式不等式讨论。

ax(a1)0x1解：原不等式化为

①

f(x)f(x)（或00）g(x)g(x)策略一：分式不等式的最基本形式是，对于任意一个分式不等式，

应当首先用移项、通分转化为最基本形式。

10x1时，原不等式为x1。

（1）当a=0

在①中，分子中x的系数含有字母a，分类讨论就从这里引起。

a1)a0x1。 ②

a(x（2）当a≠0时，原不等式化为

对于不等式②，分子中的系数a不能随意约去，因为根据不等式的性质，若给不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向要改变。

x当a>0时，原不等式等价于

a1a0x1。

a1a111x2x1x2）a。也可先确定两根x1，x（由于a，可解得，然后直接写出解集。

a(x当a<0时，

a1a1)xa0等价于a0x1x1。

a11a111可解得x或x1aaa由。

（1，）综上，当a=0时原不等式的解集为。

当a>0

a1（1，）a 时，解集为

当a<0

a1（，）（1，）a时，解集为。

由以上几例可以看出，求解含参数的不等式（组）问题，与最简单的不等式的解法密切相关，也是分类讨论的出发点，若能紧紧抓住基础知识，将复杂问题分解为基本问题，就会理清思路，化繁为简，快速解题。