专题04 指数、对数、幂函数-2021年高考数学二轮提升专题攻略(文理通用)

《指数、对数、幂函数》专题训练

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

log2x,x0f1（ ） 1．已知函数fxx，则f3,x0A．0

B．

1 3C．1 D．3

2．若函数f(x)|m1|xm1是幂函数，则m（ ） A．0

B．1

C．0或2

D．1或2

3．若幂函数fxmm1x2m1在0,上是增函数，则实数m的值为（ ）

C．2

D．2或1

A．1

B．1

x14．函数ylog2x的零点个数是（ ） 2A．0

B．1

C．2

D．3

5．设a30.2，blog30.2，clog23，则（ ） A．abc

B．cba

C．acb

D．cab

ax,x1fx6． 满足对任意不相等的实数x1，x2 都有(x2x1)(f(x1)f(x2))0成若函数，

(5a)x1,x1立，则a的取值范围是（ ）

+ A．3，+ B．5，C．3,5 D．3,5

7．已知函数f(x)lgax2ax21的值域为R，则实数a的取值范围是（ ） 4B．1,4A．1,4 C．0,10

4, D．0,14,

8．若函数fxlogaxax3在区间,上是减函数，则a的取值范围是（ ）

22aA．0,1

B．1,23

C．1,23

D．0,11,23

9．若0ab1，则ab，ba，logba，log1b的大小关系为（ ）

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1

A．ablogbalog1b

abaB．balog1blogba

aabC．logbaablog1b

abaD．logbabalog1b

aab10．x﹣3y+6＝0和直线l2：mx﹣3y+n＝0平行，已知直线l1：且直线l2过点(,)，则下列等式①()logmn13112212logmn33，

②211log21，④log3log31，中正确的个数有（ ） 1，③mn2mnmn3A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

11．若函数fxlog2x2ax3a在2,上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A．,4

B．4,4

C．4,

m26D．4,4

12．已知函数fxmm5x2是幂函数，对任意x1，x20,，且x1x2，满足

fx1fx2x1x2A．恒大于0 二．填空题

0，若a，bR，且ab0，则fafb的值（ ）

B．恒小于0

C．等于0

D．无法判断

13．计算：4(3)4(0.008)1321log492lg5lg4_________．

1x6,x1,14．已知函数fx4其中a0，a1.若

logx1,x1a15．已知函数fxm2m2x2f1f2，则实数a的值是______. 2m24m是幂函数，且x0,时，fx单调递减，则log27m的

值为___________. 16．已知函数fxlnx,x0，若函数gxfx4fxm1恰有8个零点，则m的2x4x3,x0，2范围为___________．

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知函数fx9a3xx1a1

（1）若a1，求不等式fx0的解集；

（2）若x,0时，不等式fx22a恒成立，求a的取值范围.

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2

x18．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)xlog441．

（1）求x0时，f(x)的解析式；

f(x)a4x2a，是否存在实数a使得g(x)的最小值为（2）设x,1，函数g(x)4115.若存在，求24出a的值；若不存在，说明理由．

19．已知函数fxexmex是定义在R上的奇函数． （1）求实数m的值；

（2）用单调性定义证明函数f(x)是R上的增函数；

（3）若函数f(x)满足f(t1)f2t20，求实数t的取值范围．

20．已知函数fx1ax112（a0且a1），gx1x1x． （1）判断函数fx的奇偶性并说明理由； （2）当a1， x1时，求证：fxgx12； （3）若不等式fxgx12fx对满足x1的任一个实数x都成立，求实数a的取值范围．

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3

21．已知函数fxlog2x3abx(a0，b0)在其定义域内是奇函数. （1）求a，b的值，并判断fx的单调性(写出简要理由，不要求用定义证明)； （2）解关于x不等式f4x2xf4x2x11.

22．已知函数fxex，gxlnexex2021.

（1）判断函数gx的奇偶性并证明；

（2）若x10,，x2R，使得f2x1mfx1gx20成立，求实数m的取值范围.

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4

《指数、对数、幂函数》专题训练解析

1.【解析】fxlog2x,x0，ff1f0303x,x01log210，则f1. 故选：C.

2.【解析】若函数f(x)|m1|xm1是幂函数，则m11，解得：m0或m2，

当m0时，f(x)x符合题意，当m2时f(x)x3符合题意， 所以m0或2，故选：C 3.【解析】

fxm2m1xm1是幂函数，m2m11，即m2m20，

解得：m2或m1，又

fxm2m1xm1在0,上是增函数，

故m10，即m1，故m1.故选：A.

xx4.【解析】由|log120，得log12x|2x2，

x作出函数ylogx与y122的图形如图，



x由图可知，函数ylog12x2的零点个数是2．故选：C．

5.【解析】根据指数函数的性质可得：030.2301，即a0,1；

根据对数函数的性质可得：log30.2log310，log23log221，即b0，c1； 所以cab.故选：D.

ax6.【解析】因为函数fx,x1x1,x1， 满足对任意不相等的实数x(5a)1，x2 都有

(x2x1)(f(x1)f(x2))0成立，即(x1x2)(f(x1)f(x2))0，则f(x)在R上为增函数．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！

5

a1所以5a0解得3a5，即a3,5，故选：C

a5a17.【解析】令uax22ax14，由于函数f(x)lg21ax2ax4的值域为R，

所以，函数uax22ax14的值域包含0,. ①当a0时，函数u2x14的值域为R，合乎题意； ②当a0时，若函数uax22ax14的值域包含0,，

a0则2a2a0，解得0a1或a4.

综上所述，实数a的取值范围是0,14,.故选：D.

8.【解析】函数fxlogax2ax3是由ylogat和tx2ax3复合而成，

因为tx2ax3为开口向上的抛物线，对称轴为xa2， 所以tx2ax3在aa2,2单调递减，且taamint22a230， 即a243，解得：23a23，

又因为函数fxlogax2ax3在区间,a2上是减函数，

所以ylogat为增函数，所以a1，所以1a23，故选：C

9.【解析】由0ab1，指数函数yax为减函数，幂函数yxa为增函数， 所以0abaaba1，又对数函数ylogbx为减函数，则logbalogbb1，

而0a1，则1loga1，所以

1b0a.综上logabbabalog1b；故选：D. a10.【解析】由直线l1：x﹣3y+6＝0和直线l2：mx﹣3y+n＝0平行， 得

1m363n，即m＝1，n≠6， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！

6

由直线l2过点12,12，得12312n0，解得n＝1，则m+n＝2，

logmn3log23对于①，121213，则①错误， 对于②，2log1mn32log12313，则②正确， 对于③，log1112log1mn221，则③错误， 对于④，log3mnloglog32mn3log22322log2331，则④正确， 故选：C．

11.【解析】令gxx2ax3a，其对称轴为xa2， a要使fx在2,上是增函数，则应满足22，解得4a4.

g24a0故选：B.

12.【解析】∵函数fxm2m5xm26是幂函数，

∴m2m5=1，解得：m= -2或m=3． ∵对任意x1fx21，x20,，且x1x2，满足

fxx0，

1x2∴函数fx为增函数，∴m260，∴m=3（m= -2舍去），∴fx=x3为增函数．对任意a，bR，且ab0，则a- b，∴fafbfb， ∴fafb0．故选：A 13.【解析】14(3)4(0.008)321log492lg5lg4

35212log232lg5lg23523210.

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114.【解析】因为fx1x46,x1,，所以

f2logx1,x11a14+62+68，所以2ff12f8loga8+1loga322，所以a3 15.【解析】

fxm22m2xm24m为幂函数，

m22m21，解得：m1或m3

当m1时，fxx5在x0,上单调递增，不符合题意，舍去；

当m3时，fxx3在x0,上单调递减，符合题意；

m3，log127mlog3333log1333 16.【解析】画出函数fxlnx,x0,x24x3,x0,的图像如图所示，

设fxt，由gx2fx4fxm10，得t24tm10．

因为gx有8个零点，所以方程fxt有4个不同的实根，

结合fx的图像可得在t0,3内有4个不同的实根． 所以方程t24tm10必有两个不等的实数根，

即m1t24t在t0,3内有2个不同的实根，画出函数yt24t的图象，如图所示：

结合图像可知，3m14，故2m3．

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8

xx17.【解析】（1）当a1时，fx093320即：31320

xx13x20xlog32，则不等式的解集为0,log32．

（2）∵fx22a93a33a10

xx9x13a3x13x13x13a3x1

由条件：x,0∴3x10∴3x13a恒成立 ∵3a≥312a≥022． ．即a的取值范围是，3318.【解析】（1）x0时，有x0，依题意f(x)xlog441，

xx又f(x)是奇函数，则f(x)f(x)xlog441，故f(x)xlog441；

x（2）由（1）知，4f(x)4xlog44x144xlog44x1214x4x14x4x，x,1，

22故g(x)4f(x)a4x2a4x24xa4x2a4xa14x2a，设t4x，则t2,4，

a1， 2g(x)(t)t2a1t2a，开口向上，对称轴t当a1152时，即a5时，g(x)最小值，即(t)最小值为(t)42a12a6，故不符24a14时，即9a5时，g(x)最小值，即(t)最小值为2222合题意； 当2a12a，令a1a1a1a115，解得

a12a2a444222a210a160，即a8或a2，故a8符合题意；

a14时，即a9时，g(x)最小值，即(t)最小值为(4)164a12a2a20，令21569722a20，解得a9，故不符合题意.

48815综上，存在实数a8，使得g(x)的最小值为.

4m019.【解析】（1）函数fx是奇函数，则f00，即e01m0，故m1.

e当9

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此时， fxex1xxee， xe对于任意的xR，有fxexexexexfx，故fx是奇函数.

所以m1；

（2）任取x1,x2R，且x1x2，有ex1ex2， 则fxx111fxex21ex2ex1ex21ex212eex1ex1x1x2ex1exee21ex1ex2ex1ex21ex1x2， 因为ex1ex2，故ex1ex20，又11ex1x20，

故fx1fx20，即fx1fx2，所以函数f(x)是R上的增函数； （3）因为fx是奇函数，所以不等式即f2t2f(t1)f(1t)，

又f(x)是R上的增函数，故2t21t，即2t2t10，即t12t10， 故1t12，所以t的取值范围是1,12.

20.【解析】（1）函数fx为奇函数，理由如下：

由ax10可得x0，所以，函数fx的定义域为xx0.

因为fxfx1ax1121ax1121ax1axaxax111axax11ax10,fxfx，所以函数fx为奇函数；

（2）证明：fxgx111x1121xax121xax121x112ax121x112ax1x112，令Fx1ax121x12， 因为a1，x1时，所以ax10，1x0，所以fxgx12； （3）由fxgx12fx得1ax112x2x211ax12， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！

10

所以

1212对满足x1的任一实数x都成立， xa1xxx1x1x1x1即1且，即且111. 1111xxxx2222ax1ax1ax1ax11x在1,为减函数，在,1为减函数， xa111所以只要h1且h1，

22①当a1时，因为hx111a3a120，解得a3，所以a3； 可得，即

2a1111a112ax10x1②当0a1时，因为x1时，，所以1显然成立； 11xx02ax12x11x0因为x1时，，所以121显然成立.

xx2a10ax1综上所述，a0,13,．

2x2xlog30.整理，abxabx21.【解析】（1）因为fx为奇函数，所以fxfx0，即log32a4a22x2x. 1，即4x2a2b2x2，所以2得，又因a0，b0，所以abxabxb1b12x42xx2,2，x2,2，，令tx，于是tx1，所以tx在2,22x2x2x2x上单调递减，又因为ylog3t在定义域上为增函数，所以fxlog3在2,2上为减函数.

2xfxlog3（2）令4x2xt，则ftft11，即log32t3t2t3tlog3log31， 2t1t2t1t2t24x2x0所以1t3，解得0t2，于是x，得12x2，所以0x1. x422t25t632t3t2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！

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综上所述，所求不等式的解集为0,1. 22.【解析】（1）因为gxlnexex2021，定义域为R，

则gxlnexex2021gx，所以gx为偶函数.

（2）gxlnexex2021，因为exex2，当且仅当x0时取等号，

所以gx最小值为ln22021，此时gx的值域为ln22021,， 由题意，x10,，x2R，使得f2x1mfx1gx2成立， 即x10,，e2x1mex1ln22021成立，

所以mln22021ex1ex1对x10,恒成立，

令tex1，则t1，且mln22021tt对t1恒成立， 设htln22021ttt1，易知yln220211t和y2t在1,内都是减函数，所以ht在1,是减函数，则htln22020，所以mln22020.

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