广东省深圳市罗湖区望桐路七年级数学第19讲实际问题与二元一次方程组培优讲义

考点·方法·破译

1．逐步形成方程思想，进一步适应列方程(组)解决实际问题的新思路. 2．学会用画图，列表等途径分析应用题的方法. 3．熟练掌握各类应用题中的基本数量关系.

4．学会找出每道应用题中所蕴藏的各种等量关系，并依此列出方程组. 经典·考题·赏析

【例1】甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地相向而行，1小时20分钟相遇，相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时追上了拖拉机，这时，汽车、拖拉机各自走了多少千米?

【解法指导】(1)画出直线型示意图理解题意

(2)本题有两个未知数——汽车的行程和拖拉机的行程.有两个相等关系：①相向而行:汽车行驶11小时的路程+拖3拉机行驶111的路程＝160千米；②同向而行：汽车行驶小321)小时的路程. 2时的路程＝拖拉机行驶(1+

(3)本题的基本数量关系有:路程＝速度×时间.

解：设汽车的速度为每小时x千米，拖拉机的速度为每小时y千米，根据题意，得

11(xy)16031x(11)y22解这个方程组，得

x90,111190(1)165千米，30（1+1）=85千米。 3232y30.答:汽车走了】65千米，拖拉机走了85千米.

【变式题组】

01．A、B两地相距20千米，甲从A地向B地前进，同时乙从B地向A地前进，2小时后二

人在途中相遇，相遇后，甲返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A地还有2千米，求甲、乙二人的平均速度.

02．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他开车以每小时50千米的速度行驶，就

会迟到24分钟；如果以每小时75干米的速度行驶，那么可提前24分钟到达乙地，求

1

甲、乙两地间的距离.

03．某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用

了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s.求火车的速度和长度.

【例2】一项工程甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成，计划甲先做若干天后离去，再由乙完成，实际上甲只做了计划时间的一半便因事离去，然后由乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是计划时间的2倍，则原计划甲、乙各做多少天?

【解法指导】⑴由甲、乙单独完成所需的时间可以看出甲、乙两人的工作效率，设总工作量为1，则甲每天完成

11，乙每天完成； 1218(2)若总工作量没有具体给出，可以设总工作量为单位“1”，然后由时间算出工作效率，

最后利用“工作量＝工作效率x工作时间”列出方程.

11xxy1解:设原计划甲做x天，乙做y天，则有12，解方程组，得18y11x12y1181228,6.答:原计划甲做8天，乙做6天.

【变式题组】

01．一批机器零件共1100个，如果甲先做5天后，乙加入合做，再做8天正好完成；如果

乙先做5天后，甲加入合做，再做9天也恰好完成，问两人每天各做多少个零件?

02．为北京成功申办2008奥运会，顺义区准备对潮白河某水上工程进行改造，若请甲工程

队单独做此项工程需3个月完成，每月要耗资12万元；若请乙工程队单独做此项工程

2

需6个月完成，每月要耗资5万元.

⑴若甲、乙两工程队合做这项工程，需几个月完成?耗资多少万元?

⑵因种种原因，有关领导要求最迟4个月完成此项工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金.(时间按整月计算)

【例3】古代有这样一个寓言故事，驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说:“你抱怨干吗?如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所驮货物的袋数是多少?

【解法指导】找出本题中的等量关系为：骡子的袋数+1＝2×(驴子的袋数－1)，驴子的袋教+1＝骡子的袋数－1

解:设骡子所驮货物有x袋，驴子有y袋，则依题意可得x12(y1)x1y1，解这个

方程组，得x7y5.答:驴子原来所驮货物有7袋.

【变式题组】

01．第一个容器有水44升，第二个容器有水56升.若将第二个容器的水倒满第一个容器，

那么第二个容器剩下的水是该容器的一半；若将第一个容器的水倒满第二个容器，那么第一个容器剩下的水是该容器的三分之一.求两个容器的容量.

02．(呼市)《一千零一夜》中有这样一段文字:有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一

部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树

下的鸽子就是整个鸽群的

1；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了.”3你知道树上、树下各有多少只鸽子吗?

【例4】某车间加工螺钉和螺母，当螺钉和螺母恰好配套(一个螺钉配一个螺母)时就可以运进库房.若一名工人每天平均可以加工螺钉120个或螺母96个，该车间共有工人81名.

3

问应怎样分配人力，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房?

【解法指导】这里有两个未知数——生产螺钉的人数和生产螺母的人数.有两个相等关系：(1)生产螺钉的人数+生产螺母的人数＝总人数(81名)；

(2)每天生产的螺钉数＝每天生产的螺母数.

xy81解:设生产螺钉的工人有x名，生产螺母的工人有y名，根据题意，得,解

120x96yx36 方程组，得.y45答:有36名工人生产螺钉.有45名工人生产螺母，才能使每天生产出来的零件及时包装

运进库房.

【变式题组】

01．某车间有28名工人生产某种螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，为

了合理分配劳力，使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓套两个螺母)，则应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母?

02．木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可以加工10把椅子，

现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4把椅子配套?

03．现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配

成一个完整的盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子?

【例5】一名学生问老师:“你今年多大?”老师风趣地说:“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经37岁了”.请问老师今年多少岁，学生今年多少岁.

【解法指导】如何找出应用题的等量关系是解决应用题的关健，也是难点，本题中，老师的两句话分别蕴含着两个等量关系，其本质就是根据师生不同时段的年龄差相等.

师生过去的年龄差＝师生现在的年龄差＝师生将来的年龄差，可列表帮助分析:

过去 现在 将来 4

师 生 差 y 0 y－0 x y x－y 37 x 37－x xy37x① 【解】设现在老师x岁，学生y岁，依题可列方程组37xy0②解此方程组得x25y13答:老师今年25岁，学生今年12岁.

【变式题组】

01．甲、乙两人聊天，甲对乙说:“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁.”乙对甲说:

“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”.同学们，你能算出这两人现在各是多少岁吗？试试看.

02．6年前，A的年龄是B的3倍，现在A的年龄是B的两倍，A现在的年龄是( )

A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁

03．甲对乙风趣地说:“我像你这样大岁数的那年，你才2岁，而你像我这样大岁数的那年，

我已经38岁了.甲、乙两人现在的岁数分别为___________.

【例6】(威海)汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援灾区.我市某企业向灾区捐助价值94万元的A，B两种账篷共600顶.已知A种帐篷每顶1700元，B种帐篷每顶1300元，则A、B两种帐篷各多少顶?

【解法指导】本题等量关系有两个：A种帐篷数＋B种帐篷数＝600，1700×A种帐篷数＋1300×B种帐篷数＝940000，若设A、B两种帐篷数分别为x、y，即可得方程组.

【解】设A种帐篷有x顶，B种帐篷有y顶，依题意可列方程组

xy600x400①解这个方程组可得 答：A种帐篷400顶，By2001700x1300y940000②种帐篷200顶.

【变式题组】

01．(桂林)某蔬菜公司收购到某种蔬菜104吨，准备加工后上市销售.该公司加工该种蔬莱

的能力是:每天可以精加工4吨或粗加工8吨.现计划用16天正好完成加工任务，则该公司应安排几天精加工，几天粗加工?

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02．(济南)教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束

由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同.请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格. 03．（云南）在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售

价13%的财政补贴.村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元.求: (1)A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元?

(2)小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元?

【例7】已知有三块牧场，场上的草长得一样快，它们的面积分别为31公顷、10公顷3和24公顷.第一块牧场可供12头牛吃4个星期，第二块牧场可供21头牛吃9个星期.试问第三块牧场可供多少头牛吃18个星期?

【解法指导】此题涉及的草量有三种，一是牧场原有生长的草量，二是每周新长出的草量，三是每头牛每周吃掉的草量，分析相等关系时要注意草量“供”与“销”之间的关系:

第一块牧场:原有草量+4周长出的草量＝12头牛4周吃掉的草量； 第二块牧场:原有草量+9周长出的草量＝21头牛9周吃掉的草量； 第三块牧场:原有草量+18周长出的草量＝？头牛18周吃掉的草量.

解:设牧场每公顷原有草x吨，每公项每周新长草y吨，每头牛每周吃草a吨，依题意，1010xy4412a 得

3310x10y9921ax10.8a 解这个关于x、y的二元一次方程组，得y0.9a设第三块牧场18周的总草量可供z则:z头牛吃18个星期，

24x24y1824(10.8a0.9a18)36(头)

18a18a答:第三牧场可供36头牛吃18个星期.

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【变式题组】

01．某江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两

台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完.若想尽快处理好险情，将水在10分钟内抽完，那么至少需要抽水机多少台? 02．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量(即单位时间里流入池中的水量相同)不停地向池塘

内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完;若用两台A型抽水机则要20分钟正好把池塘中的水抽完;若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时闻恰好把池塘中的水抽完?

演练巩固 反馈提高 一、填空：

01．将一摞笔记本分给若于名同学，每个同学6本，则剩下9本;每个同学8本，又差了3

本，则这一摞笔记本共___________本.

02．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好组成这个

个位数字与十位数字对调后的两位数，则这个两位数是__________.

03．现有食盐水两种，一种含盐12%，另一种含盐20%，分别取这两种盐水akg和bkg，将

其配成16%的盐水100kg，则a＝_______，b＝__________.

04．在2006—2007西班牙足球甲级联赛中，凭借最后几轮的优异成绩，皇家马德里队最终

夺得了冠军，已知联赛积分规则是:胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，皇家马德里队在最后12场比赛中共得到31分，且平、负场次相同，那么皇家马德里队最后12场比赛中共胜了________场.

05．(重庆)含有同种果蔬但浓度不同的A，B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60

千克.现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合，如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_________千克. 06．.已知乙组人数是甲组人数的一半，若将乙组人数的

1调入甲组，则甲组比乙组人数多315人，则甲、乙两组的人数分别为_______、________.

07．小明家去年节余5000元，估计今年节余9500元，并且今年收人比去年提高15%，支出

比去年降低10%，则小明家去年的收人为_____元，支出为_______元. 二、选择题: 08．某次数学知识竞赛共出了25道试题，评分标准如下:答对1题加4分;答错1题扣1分;

不答记0分.已知李明不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了() A．18题 B．19题 C．20题 D．21题

09．甲、乙两地相距120km，一艘轮船往返两地，顺流时用5h，逆流时用6h，这艘轮船在

7

静水中航行的速度和水流速度分别为( )

A．22km/h，2km/h B．20km/h，4km/h C．18km/h，6km/h D．26km/h，2km/h 10．看图，列方程组:

上图是“龟兔赛跑”的片断，假设乌龟和兔子在跑动时，均保持匀速，乌龟的速度为v1米/小时，兔子的速度为v2米/小时，则下面的方程组正确的是( )

20010v1 A．v2

5v1000220010v1 C．v2 5v1000120010v2 B．v15v1000120010v2 D．v15v1000211．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成

一个罐头盒，现有120张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，则可得方程组()

A．xy120,40x16y. B．xy120,10x80y. C．xy120,40y210x. D．以上都不对

12．甲乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙;如果乙先跑2秒，甲跑4

秒就可追上乙.设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则可列出的方程组为( )

A．5y105x,4y6x.B．5x5y10,4x6y. C．5x105y,4x6y.

D．5y5x10,4y6x.

三、解答题

13．(贺州)福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每

人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条.

(1)若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应各安排多少人制作衬衫和裤子?

(2)已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫?

14．(晋江)2010年春季我国西南大旱，导致大量农田减产，下图是一对农民父子的对话内

容，请根据对话内容分别求出该农户今年两块农田的花生产量分别是多少千克?

8

15．(长沙)“5·l2”汉川大地震后，灾区急需大量帐篷，某服装厂原有4条成衣生产线和

5条童装生产线，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区.若启用1条成衣生产线和2条童装生产线可以生产帐篷105顶;若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶.

(1)每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶?

⑵工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务?如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感?

培优升级 奥赛检测

01．(第十七届江苏省竟赛题)美国篮球巨星乔丹在一场比赛中24投14中，拿下28分，其

中三分球三投全中，那么乔丹两分球投中______球，罚球投中_______球.

02．甲、乙分别自A，B两地同时相向步行，2小时后在途中相遇，相遇后，甲、乙步行速

度都提高了1千米/时，当甲到达B地后立刻按原路向A地返回，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返回.甲、乙两人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，则A，B两地的距离是_____千米.

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03．(武汉市选拔赛试题)某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成

的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家的电话号码.

04．(第17届“希望杯”邀请赛试题)放成一排的2005个盒子中共有4010个小球，其中最

左端的盒子中放了a个小球，最右端的盒子放了b个小球，如果任意相邻的12个盒子中的小球共有24个，则( ).

A， a＝b＝2 B． a＝b＝1 C． a＝1，b＝2B．a＝2，b＝1

05．(广西竞赛题)某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22人，

就会余下1人;如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车.问:原先去租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于32人)

06．(河南省竞赛题)司机小李驾车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数，1小

时后，看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过1小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数字之间添上一个零的三位数，这三块里程碑上的数各是多少?

07．(第17届江苏省竞赛题)某城市有一段马路需要整修，这段马路的长不超过3500米，今

有甲、乙、丙三个施工队，分别施工人行道、非机动车道和机动车道.他们于某天零时同时开工，每天24小时连续施工.若干天后的零时，甲完成任务;几天后的18时，乙完成任务;自乙队完成的当天零时起，再过几天后的8时，丙完成任务，已知三个施工队每天完成的施工任务分别为300米、240米、180米，问这段路面有多长?

08．(首届江苏省“数学文化节”能力素质挑战题)如图，长方形ABCD中放置9个形状、大

小都相同的小长方形(尺寸如图)，求图中阴影部分的面积.

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09．(第9届“华杯赛”决赛试题)某次数学竞赛前60名获奖.原定一等奖5人，二等奖15

人，三等奖40人;现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分.如果原来二等奖比三等奖平均分数多了7分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分?

mxnyz72

10.已知x＝2，y＝－1，z＝－3，是三元一次”程组2nx3y2mx5的解，求mxyzk－7n＝3k的值.

11．(“希望杯”邀请赛)购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支，共需3元，而购买铅笔

10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需多少元钱?

12．四边形ABCD的对角线相交于O点，且三角形ABC、BCD、CDA、DAB的面积为5、9、10、

A 6，求三角形OAB、OBC、OCD、ODA的面积.

x u

B D y O z

C

13.（重庆竞赛）某校七年级的新生男女同学的比例为8:7，一年后收转学生40名，男女同

学的比例变为17:15.到九年级时，原校学生有转学来的，统计知净增10名，此时男女同学的比例为7:6.问:该校在七年级时招收的新生中，各招了男女同学多少名?(注:该校七年级新生人数不超过1000人)

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