最小二乘法的多项式拟合(matlab实现)

(i=0,1,2,3,..,m),一共m+1个数据点，取多项式P(x),

函数P(x)称为拟合函数或最小二乘解，令似的使得

其中，a0，a1,a2,…,an为待求未知数，n为多项式的最高次幂，由此，该问题化为求

的极值问题。由多元函数求极值的必要条件：

j=0,1,…,n得到：

j=0,1,…,n这是一个关于a0，a1,a2,…,an的线性方程组，用矩阵表示如下：

因此，只要给出数据点及其个数m，再给出所要拟合的参数n，则即可求出未知数矩阵（a0，a1,a2,…,an）

试验题1编制以函数x

knk0为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对

下列数据作三次多项式最小二乘拟合(取权函数wi≡1)xiyi

-1.0

-0.5

0.0

0.50.048

1.0

1.5

2.04.552

-4.447-0.4520.551-0.4470.549

总共有7个数据点，令m=6

第一步：画出已知数据的的散点图，确定拟合参数n;

x=-1.0:0.5:2.0;y=[-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552];plot(x,y,'*')xlabel'x轴'ylabel'y轴'title'散点图'holdon

因此将拟合参数n设为3.

第二步：计算矩阵

A=*(n+1)矩阵，注意到该矩阵为（n+1）

多项式的幂跟行、列坐标（i,j）的关系为i+j-2,由此可建立循环来求矩阵的各个元

素，程序如下：m=6;n=3;A=zeros(n+1);forj=1:n+1fori=1:n+1fork=1:m+1

A(j,i)=A(j,i)+x(k)^(j+i-2)endendend;

再来求矩阵

B=

end

B=[0000];forj=1:n+1fori=1:m+1

B(j)=B(j)+y(i)*x(i)^(j-1)end

第三步：写出正规方程，求出a0,,a1…,an.

B=B';

a=inv(A)*B;

第四步：画出拟合曲线

x=[-1.0:0.0001:2.0];

z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3;plot(x,z)

legend('离散点','y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3')title('拟合图')

总程序附下：

x=-1.0:0.5:2.0;y=[-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552];plot(x,y,'*')xlabel'x轴'ylabel'y轴'title'散点图'holdon

m=6;n=3;A=zeros(n+1);forj=1:n+1fori=1:n+1fork=1:m+1

A(j,i)=A(j,i)+x(k)^(j+i-2)end

endend;

endB=B';

a=inv(A)*B;

x=[-1.0:0.0001:2.0];

z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3;plot(x,z)

legend('离散点','y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3')title('拟合图')

B=[0000];forj=1:n+1fori=1:m+1

B(j)=B(j)+y(i)*x(i)^(j-1)end