若对任意的实数x,总存在y∈【2,3】,使得不等式x^2+xy+y^2≥ky成立,则...
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对任意实数x，2<=y<=3，满足不等式x²+xy+y²>=ky恒成立。
整理得：f(x)=x²+yx+y²-ky>=0
即抛物线f(x)顶点不低于x轴。
所以：判别式=y²-4(y²-ky)<=0
整理得：g(y)=3y²-4ky>=0
所以：抛物线g(y)在区间[2,3]上恒成立。
零点为y=0，y=4k/3
当y=4k/3<=2即k<=3/2时，g(y)在[2,3]上是增函数，g(y)>=g(2)=12-8k>=0，解得:k<=3/2
当2<y=4k/3<3即3/2<y<9/4时，g(y)在对称轴处取得最小值g(2k/3)=4k²/3-8k²/3>=0，无解；
当y=4k/3>=3时，g(y)在区间[2,3]上恒小于0，无解。
综上所述，k<=3/2
所以：k的最大值为3/2
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解：x²+xy+(y²-ky)≥0
∵任意实数x
∴⊿=y²-4y²+4ky≤0
∵y∈[2,3]
∴4-16+8k≤0 9-36+12k≤0
∴k≤1.5
∴最大k=1.5
