专题四(四种求最值的典型例题)

一、 作对称点

例1 如图，等边⊿ABC的边长为63，点P是边BC一动点，点P关于AB、AC的对称点分别为M、N，求MN的最小值。

练习 如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC中点，点P在对角线AC上滑动，则BP+EP的最小值是_________.

变式:如图，在长为33、宽为3的矩形ABCD中，M、N分别为BD、BC边上的动点，则CM+MN的最小值为__________。

二、 找中点，作不变线段

例2 如图,ACB=90°,BC=14,AC=24,点P为AC上一动点,连BP，CMBP，求AM的最小值。

练习 如图，点P是边长为4的正方形ABCD内一动点，APDP，则PC的最小值为___________。

变式1:如图，点P是边长为8 的正方形ABCD外一动点,APCP,点O是AB的中点，则线段OP的最大值为__________。

变式2:如图，菱形ABCD的边AB=8,

∠ B=60°，P是AB上一点,BP=3，Q是CD边上一动点,将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A‘，当CA’的长度最小时，CQ的长是_________

三、 作垂线段

例3 如图,等边⊿ABC边长为6，点E是AC的中点，D是BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF,当点D运动时，求AF的最小值.

练习1：如图，⊿ABC中，ACB=90°，BC=6，AC=8,将⊿ABC绕点C旋转一个角度到⊿DEC，直线AD、EB交于点F，在旋转过程中，S⊿ABF的最大值为__________.

练习2：如图,已知A（3,0）、B（0，3）， 点D是线段OB中点，点P在第一象限, ∠OPA=45°,求PD的最大值。

练习3:如图,已知P是线段AB上的动点（P不与A，B重合），AB=4,分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边⊿AEP和等边⊿PFB,连接EF,设EF的中点为G；连接PG，当动点P从点A运动到点B时，设PG=m，求m的取值范围。

练习4：如图，等腰Rt⊿ABC,∠A=90°，AB=AC，点D,E分别为AB，AC上的动点，且满足AD=EC，连接DE,若AB=8，则DE的最小值为__________

四、结合平移最值问题 例4 如图，正方形ABCD边长为4,DE=1，M，N在BC上,且MN=2，求四边形AMNE周长的最小值.

练习：如图，正方形AOCB的顶点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上，且OA=2,过点C作EFOB，交y轴于点D，点M位于第一象限在直线EF上，且OB=OM，OM与BC交于点H，PQ为线段AB上一动线段，且PQ=2-3，求四边形OPQH周长最小时，点P的坐标。