结构力学课后习题答案(朱慈勉)

2-2 试求出图示体系的计算自由度，并分析体系的几何构造。 (a)

(ⅠⅡ) ⅡⅢ(ⅠⅢ)Ⅰ`(Ⅱ Ⅲ)舜变体系

(b)

ⅠⅡⅢ

W=5×3 - 4×2 – 6=1>0几何可变

(c)

有一个多余约束的几何不变体系

(d)

W=3×3 - 2×2 – 4=1>0可变体系2-3 试分析图示体系的几何构造。 (a)

(ⅠⅢ)Ⅰ(ⅠⅡ)Ⅱ Ⅲ几何不变(Ⅱ Ⅲ)

(b)

（ⅡⅢ）（ⅠⅡ） （ⅠⅢ）ⅠⅡⅢ几何不变

2-4 试分析图示体系的几何构造。 (a)

Ⅰ（ⅠⅡ）（ⅠⅢ）ⅢⅡ（ⅡⅢ）几何不变(b)

W=4×3 -3×2 -5=1>0几何可变体系(c)

（ⅠⅢ）（ⅡⅢ） Ⅰ（ⅠⅡ）ⅡⅢ几何不变

(d)

二元杆ⅡⅠ（ⅠⅡ）Ⅲ（ⅡⅢ）（ⅠⅢ）有一个多余约束的几何不变体

(e)

ⅢⅠⅡ（ⅠⅢ）（ⅠⅡ）（ⅡⅢ）舜变体系

(f)

Ⅲ（ⅠⅢ）ⅠⅡ（ⅠⅡ）无多余约束内部几何不变

（ⅡⅢ）

(g)

（ⅠⅢ）二元体 （ⅠⅡ）ⅠⅡ（ⅡⅢ）Ⅲ

(h)

（ⅡⅢ）（ⅠⅢ）ⅡⅠ（ⅠⅡ）ⅢW=3×8 - 9×2 – 7= -1, 有1个多余约束二元体多余约束

2-5 试从两种不同的角度分析图示体系的几何构造。 (a)

Ⅱ Ⅰ（ⅠⅡ）Ⅲ（ⅠⅢ）舜变体系（ⅡⅢ）

(b)

（ⅡⅢ）几何不变 ⅠⅡ（ⅠⅡ）Ⅲ（ⅠⅢ）

同济大学朱慈勉 结构力学 第3章习题答案

3-2 试作图示多跨静定梁的弯矩图和剪力图。 (a)

FPa2FPa2FP A a B a C a D a

FPa E a F Ｍ FPa4

Ｑ FP4FP2 3FP4

(b)

2m 2kN/m A 6m B 2m C 4m D 2m 10kN M４2020 Q10/310 ４26/3

20kN/m C D 3m

3m E 4m F (c)

A 2m15kN B 2m 3m 180M 40180210Q7040 15 40 60

4kN 4kN·m E 2m A

(d)

A 3m

B 2m 6kN·m C D 2m F 2m 2m G 2m H 2m

M7.514484Q2.552

3-3 试作图示刚架的内力图。 (a)

2kN B

C

4kN·m

1kN/m A 3m 3m

D 6m M181824Q2061620 (b)

40kN·m A 6m

B

C D 10kN

3m 3m

M303030 210

(c)

2kN/m 4kN B C m 36kN m 3 A D 6m

M 6 6

(d) 4kN·m C 2kN D m 2 E 2kN m A B 2

6m

Q10 110 Q547 2 10

M 444 4N 00 0

(e) C m / Nmk4 1 A B D

4m 4m 4 8 4

(f) 4kN C 2kN/m B m4 A 3m 2m 4m

Q244/34`` 1

M2222N0.820Q15

3-4 试找出下列各弯矩图形的错误之处，并加以改正。 (a)

FP

(b)

(c)

FP

(d)

M

(e)

(f)

FP FP

3-5 试按图示梁的BC跨跨中截面的弯矩与截面B和C的弯矩绝对值都相等的条件，确定E、F两铰的位

q A E x l

l B C F x l

D 置。

Mql28A E B C F D FDq1qlMc(lx)xqx2x222MBC中MBMC12ql16ql1xql22161xl8MCq(lx)2

3-6 试作图示刚架的弯矩和剪力图。 (a)

M9090 405 135 45 对B点求矩 209(4.53)RF6RF45()ME0.52092459405,RE135()MCF453135,MCD0.520990MBA0.520990 Q

(b)

11M 5.75 Q12.13.75 2.94.25 ME4.2542421MK3.51.50.2525.75 对A点求矩：RB724252.5RB0.5()对C点求矩：2420.52HB4HB4.25()VA3.5(),HA0.25()QK左

(c)

1605.752.1,QEF244.253.752.5

M160Q80/330 80160 40 6016100 80 80 80MDA380,MED616033HC30()对F点求矩:VC(2023304)/2120()对A点求矩:VB61201030420211320()380VA()3VB

(d)

M435 8/3Q16/3 4/343520354/3 8/388MDA414233对A点求矩:416142VB8VB4()4对C点求矩:44142HB6HB()38HA(),VA03

(e)

M Q -F FFF2Fa2Fa-+2F-- 2Fa2Fa 2Fa 2Fa MM

(f)

CB0VB2Fp(),ME02HBVF03FP2a2aHH2FP2aVF2aHHFP(),VF2FP()HD4FP(),VD0

8 8 8 84 -4+ + -4 44--44+8 8 进一步简化 + 4 利用对称性8 8 HIVI 8 8 HBVB可知:HB4KN(),VB4KN()HI4KN(),VI4KN(),MA42810N•m

(g)

D q E A a a qa22q F G B a a a 3qa22qa2 I C a J 对H点求矩：qa2qaHCaHC1.5qa()2对F点求矩：qa1.5aHAa0HA1.5qa()2H a 3qa22HD0,MGFqa2,MGH1.5qa23qa22qa2qa2 qa 2 qa22 qa22 qa 2qa 1.5qa

1.5qa

3-11 试指出图示桁架中的零杆。

FP FP

FP

FP

FP 、

3-12 试求图示桁架各指定杆件的内力。 (b)

3m 2kN D1B1 E先求出支座反力,如图所示。零杆亦示于图中。取1-1截面以上部分分析2 3kN1 3×3m 2kN3kNF33 A对B点求矩FAC438230FAC7.5KNFACFBC由Fx0知4FBC20FBC2.5KN53Fy0F3FBC53FAC0F36KN2KN7.5KN10.5KN4m 4m 4m 然后再依次隔离A,B,D点不难求得F27.5KN(),FBD3KN,F14KN()

(a)

2a AMM1 C 2 4Da a a 3 2PA0FBx0FN4C4P32P2MB0,FN2aFN1a2取虚线所示的两个隔离体有：F0,F2F4a2axN1N223a2联立方程解得：FN1,FN2a33杆3的内力可以通过D节点求得FN3Pa B

(c)

5FP P2a 先去除结构中的零力杆 1 24 FP FP FP 2FP 3 再求出支座反力在A,B点用节点法可求得FN113FP2FP

13FP4再利用节点法可得又易求得杆4=FN1FP13，FN2FP24

3-13 试选用两种途径求图示桁架各指定杆件的内力。 (a)

方法

方法一：利用对称性和反对称性 2a CFE1 AD2 GFP a a B FP2 原结构可等价为(已经去除零力杆) 2 FP2FP 2 FP2 FP2FP2 FP2 1 FP2对A点进行分析 对正对称和反对称结构使用节点法对B点进行分析FP2 FP2 可求得FBD17FP8可求得FAF对D点进行分析1可求得FDEFP4对E点进行分析2FP2综上，F125FP,F2FP28

方法二ⅠEFD1 CBEFD2 GFP Ⅰ G2 A FPFN1 1FN由F点平衡知,FN1FN,又Fx0,FN1FP2FN1FP222再分别分析B节点和G节点，不难求得155FBGFP,FGDFPFN2FP888

(b) 方法一：

ⅠⅡ先去除零力杆，再求出支座反力 FP FP B2 A1.25FP取1-1截面左半部分讨论1 3 EDCⅠ Ⅱ0.75FP FPF1由平衡条件知:F2F3,F4F1334F2F3FPFP055555F2FP，即FN1F224245再对B点取矩，F13a4aF43a455F1FP,F4FP665再分析C节点,不难得到FN2FP8用同样的方法分析22截面右半部分55可求得F50.5FP,F6FP,F7FP,F80.5FP88最后用节点法分析E节点,得FN30.5FP又BAC取2-2截面右半部分讨论F2 F3F4F5F6F7F8 DA0.75FP

方法二：可将结构的荷载分解为正对称和反对称再加以考虑。

3-14 试选定求解图示桁架各指定杆件内力的合适步骤。

FP FP23 32FP 41FP 41 B F P12 3FP4 C 1D 一. 按1423的顺序，依次使用节点法可求得FN32FP二. 再求出2三. 由MB0,可求得FC0.75FP然后可求出FN1四. 分析截面右半部分X2X12FP2 由MD0,可求得x1FPx2FP由节点法,对C分析可求得FN2

3-15 试求图示桁架各指定杆件的内力。 (a)

FP4

DFP 2 C AFP FP 2 EFP 2 FP 2 BAFAC FP F FAB 5FP2由对称性FACFABFACFAB 再分析B节点由Fx0,F122FP5FAB0F1FP4552由对称性有FCEF15FP4再由节点法分析C,D两节点容易求出11FCDFP,F2FP42

(b)

D2 F2FP F4 F6F5E3 B1 C取截面左侧分析由Fy0,F51312FPFP0F361331FP3A1再由节点法分析A,B节点马上可以求得F1=FP,F10.5FP33131Fx0,F2F42FP6FP130F2F4FP取截面右侧,由MC0,F22dF4dFPd0F43FP,F22FP再由节点法分析D,E节点马上可以求得FDE=2FP,F35FP

3-15 试求图示桁架各指定杆件的内力。 (c)

FPBFPC取图示隔离体，对A点取矩1F12DFPAFP0.5FP1.5FP215aF1a0F1FP355再用节点法依次对B,C,D节点进行分析，容易求出F2MA0,FPaF12172FBC=-FP,FCDFP,F2FP336

3-16 试作图示组合结构刚架杆件的弯矩图，并求链杆的轴力。 (a)

1取1-1截面左边q A q B A F C G FCXF FCY 2qaD 1E 2qa2qaD FDE1由MC0,qa2FDEa2qa2aFDE2qa2再分析节点EFDFFDA不难求得FDED所以弯矩图为12qa21FDA22qa,FDF2qa,MFAqa2212qa2

(b)

D E qa F A 0

1NDENABqaNBC,NBF02q qa12qa8 12qa2B C qa

(c)

C E FP1 D E FP1 FQFA FQFB由对称性,FQFAFQFB分析AF区段1FP22A F FP2 B FHG由MA01求得FHGFP221(FP1FP2)21(FP1FP2)21(FP1FP2)22FP2FGI由节点法,易得FEG2FP2,FQECFQED1FP2aMI2 1FP1FP22MCFQEC2a(FP12FP2)aMDMHFQFAaFP1a2FP2a FP1a2FP2a M图1FP2a21FP2a2

(d)

C qa ME F D3130,qa2aFFGa0FFG2qa422用节点法分析G节点，易得FGE=2qa,FGCFGD2qa2考虑DB杆FGDDA 1.25qaB 0.75qa32qaF 20.5qa1.5qa335由Fx0FGDqa,FGCqa2qaqa4443Bqa23qa4

32qa4 32qa4

同济大学朱慈勉 结构力学 第4章习题答案

4-5 试用静力法作图示结构中指定量值的影响线。 (a)

A FP=1 C a l MA、FQA、MC、 B 坐标原点设在A处，由静力平衡可知MAx,FQA1当FP在C点以左时，MC0,FQC0(xa)当FP在C点以右时，MC(xa)ax,FQC1(xa)MA的影响线FQA的影响线MC的影响线

(b)

FQC的影响线

C A FP=1 B 以A为坐标原点，方向如图所示假设FRB向上为正，由静力分析知FRBx/lx(la/l),(0xa)FRB(la),(xa)MCaFa,(xa)ax,(lxa)RAlxcos,(0xa)lFQC(1x)cos,(axl)lα a l FRB、MC、FQC 1a2ala(1)cosl FRB的影响线

MC的影响线acoslFQC的 影响线

(c)

D A C FP=1 3m E B 2m R FNCD、ME、MC、FQC 2m 3355由MB0知，FNCD41(7x)0FNCDx512123F2(5x),(0x5)NCD5MEFNCD32,(5x7)5x3,(0x3)MC0,(3x7)FQCR331F1,(0x3)x,(0x3)NCD5443FNCD,(3x7)71x,(3x7)4453m FNCD的影响线ME的影响线3413

(d)

MC的影响线FQCR的影响线

D A FP=1 E C 4m 5m 2m 2m 5m B 以D点为坐标原点，向右为正x1x11xFRB,MC,FQC848MC、FQC 94181498MC的影响线

FQC的影响线

(e)

A a FP=1 C 4a 2a L R FQ、FAQA、FQC、MC B 1,(0xa)R0,(0xa)F,FQA0,(ax7a)1,(ax7a)LQA0,(0x5a)xa,(0x5a)FQC,MC1,(5ax7a)4a,(5ax7a)

(f)

A a E a B a FP=1 C F a a D FRA、FQB、ME、FQF xx1,(0x2a),(0x2a)FRA2a,FQB2a0,(2ax5a)0,(2ax5a)xx,(0xa)4a,(0x2a)2x3xMEa,(ax2a),FQF,(2ax4a)222a0,(2ax5a)5x22a,(4ax5a)11FRA的影响线a/2FQB的影响线1/21/2ME的影响线

FQF的影响线1/2

4-6 试用机动法作图示结构中指定量值的影响线。 (a)

A H B 2m 2m 2m1FP=1 E 4m C F 2m 4m 1/41/81/23/2D G 2m FRAFRD1 MC21/4L FQC11RFQC1/211/21/21/4MH1/211/4FQH1/21/21/8

(b)

A 3m E I F B 2m 2m 2mFP=1 C 4m 2m G 4m D H 2m FRB3/21/4 A FQA1/21 A M3MI 1FQI 1/21/2

(c)

A E B FQE11/4FP=1 F C 1/23/4G D FQF1/23dMC dRFQC 1

(d)

E I A F C FP=1 G D BJ H FQAMDFQDLFQFR

4-7 试绘制图示结构主梁指定量值的影响线，并加以比较。 (a)

MC2``21/3FQC 1/3 (b)

3

MC 1/2 L FQC1/21/21/2R FQC 1/21/2

4-8 试绘制图示刚架指定量值的影响线。 (a)

MA0知15dFRB7d1(5dx)FRBMDCxx,FQDB7d7dx,(0x2d)(以CD右侧受拉为正)2d,(2dx5d)C5/7AFQDB(b)

C2dDAMDC

以A为坐标原点，向右为x轴正方向。弯矩M以右侧受拉为正x当0xa时，M0F1()FRAa分析F以右部分，GCD为附属部分，可不考虑 x/aF B E G MEx FNEFp=1 F B E G xa当ax3a时，去掉AF,GCD附属部分结构,分析中间部分ME=(2a-x),FNE1 F B E 4-x/aG 当3ax4a时，由MG0知ME=x-4a,FRDx3axx3,FNE4aaa1 A a1F B G aC A F B G C ME的影响线

FNE的影响线4-9 试绘制图示桁架指定杆的内力影响线，分别考虑荷载为上承和下承两种情况。

(a)

1 A G B C 3 2 D 1 1E F H I 10×2m J K 上承荷载时：以A点为坐标原点，向右为x轴正方向。FRA=1-x()20当0x8(C点以左)时，取1-1截面左侧考虑xx由MI0FN3[(10xx)(1)10]/2204当12x20(D点以右)时，x(1)10x20由MI0FN3524FN3在CD之间的影响线用C点及D的值。直线相连。当0x8时，取1-1截面左侧分析x2FN2sin451知FN2x22020x由Fx0FN1F3FN2cos4545ABCDE由Fy012m FN3FFN2FN1

下承荷载情况可同样方法考虑

(b)

MB01(8dx)FRA8dFRA1FRAFRB1FRB上承荷载时x8dx8d当0x3d时，取11截面右侧分析。Fy0FN125xFRB0FN116d525x5FRAFN116d25当4dx8d时，取11截面左侧分析。Fy0FN1当0x4d时，取22截面右侧分析。x4dMC0FRB4dFN22d0FN23x16d当5dx8d时,取22截面左侧分析。MK0FRB3dFN32dFN3x24d55xM0F5dF2dFKRAN3N3216dMC0FRA4dFN22d0FN254FN13516FN211516FN3

下称荷载时，用同样方法分析，得到影响线如下

54FN158FN21FN3

3458

4-13 试求图示简支梁在吊车竖向荷载作用下B支座的最大反力。设一台吊车轮压为FP1=FP2=285kN,另一台轮压为FP3=FP4=250kN，轮距及车挡限位的最小车距如图所示。

B支座反力的影响线如下：1ABCFP2或FP3置于B点时，B支座可能取得最大反力。FP2置于B点时1623130027300FLPFPCRa1285285655.42KN6FbRP250(23127)30030035.8KN6FPLa7.92KNFPRFPCRb285250(623127)300300123127此时RB=285+285250()547.5KN6300300FP3置于B点时2313001960FPLFPCRa23128525030079.2KN6FPRb2506196013.2KNFPLa37.525KNFPRFPCRb2502506196054.9此时RB=250+23119285250548.62KN30060综上所述，Rmax548.62KN

4-15 试求在图示分布移动荷载作用下B支座反力FyB的最大值。

B支座的反力影响线如右图所示求s=qA的最大值设荷载左端距A结点为X,求A165xx4.514.5() (0x7.5)4.051.82x (0x7.5)10104461x1(13.5x)21A=18x (7.5x12)0.15x22.7x7.425 (7.5x12)52102520.9x14.175 (12x13.5)118x13.5x[]4.5 (12x13.5)255dA当7.5x12时，0.3x2.70x9。此时A=2.79-810.15-7.425=4.725dx1.84.05当0x7.5时，Amax7.54.387544 Amax4.725S=qA=4.72556264.6KN,此时x9。

4-10 试绘制图示组合结构FN1、FN2、FN3、MK和FQK的影响线。

1 2 3 A K FP=1 B 采用联合法求解求FN1 FN2 FN3影响线时,只需求得当FP11作用于AB中点时杆1，2，3的轴力。求MK的影响线，需求得当FP1作用于AB中点与K点时MK的值。求影响线需求得当FP作用于AB中点及K点两侧时的FQK值。首先，用静力法求得当FP1作用于AB中点时FN1 FN2 FN3 MK FQK的值。采用节点法C节点LFQCFNCDRFQC根据对称性L=FQCFQCR不妨设则FP=1D节点,同样使用节点法可得FN2LR=FQC=FQCFNCD=1-2FQC1717FNCD(12FQC)225FN25(12FQC)17E节点,同样使用节点法可得12FQCFF1FN3N1N2FNCD25172FN12再根据AC杆的A点力矩平衡：MA0FN3=2FQC,即12FQC22FQCFQC1622171于是FNCD,FN151.49 FN21.37 FN3 333312FQKFQC MKFQC4 (以下侧受拉为正)63

1 2 3 1/2A 1/2 K B 当FP1作用于K点时,可把体系看成一对对称荷载与一对反对称荷载的叠加a.对称体系由节点法可得17FNCD=-17FQC FN15FNCD25FQC FN3FQC211MA0  FN38212FQC16FQC4 M(a)KFQC41 FNCD=-2FQC FN2R(a)在K点右侧FQK111L(a)1 FQKFQC2444 A 1/2K1/2b.反对称体系CD杆轴力等于0FN1FN2FN30 110FYB MB0FYA88113R (b)L (b)M(b)FYA FQKFYAKFYA121.5 FQK828113L 135R MK11.52.5 FQK FQK4884881/2 A B FYAKC1/2B FYBMA

FN1的影响线1.49MK的影响线-0.671.37FN2的影响线3/8FQK的影响线FN3的影响线

4-11 试利用影响线计算图示荷载作用下MK和FQK的值。 (a)

0.335/81/6

先不考虑力偶产生的内力1.44MK的影响线23MK=1.4420+102.41.44101.21.4464.8340.40.6FQK的影响线23RFQK200.6102.40.6101.20.41834再考虑力偶产生的内力10FyA1010FyAKN FyAKN66RMKFyA3.66KN•m FQKFyAFyB10KN61019.67KN6R综上所述MK64.8658.8KN•m FQK18

(b)

MK 的影响线 a2 a2 a2a2 1aaMK(2qa22qa)2qa2 AB段的荷载引起的MK为0222R FQK的影响线 12 1212 12 K 12R根据对称性，FQK=0

4-17 试求图示简支梁在移动荷载组作用下的绝对最大弯矩，并与跨中截面的最大弯矩相比较。 (a)

FR150kN100kN 50kN 4m A 26m322m326m3B C显然，100KN为产生最大弯矩的临界荷载22100(6)50(10)3383.3KNMB0FyA122MKFyA(6)504355.6KN•m3当100KN作用于跨中时，跨中弯矩最大。50kN100kN AC31MC100350350KN

(b)

显然只有300KN和最左的100KN可能是产生最大弯矩的临界荷载对300KN进行分析FR800KN A FyA200KN300KN100KN100KN100KNB 50.375 m20.375 m50.375 mFyB5m5mMB0FyAFR(50.375)/10370KNMmax370(50.375)2001.51411.25KN•m对100KN进行分析FR800KN A FyA200KN300KN100KN100KN100KNB 50.375 m20.375 m50.375 mFyBM5mA5m0FyBFR(50.375)/10370KNMmax370(50.375)1001.510031261.25KN因此,最大弯矩为1411.25KN所以,当300KN作用于跨中时,跨中弯矩最大MCmax3002.52001.75100(1.751.00.25)1400KN•m

同济大学朱慈勉 结构力学 第5章习题答案

5-1 试回答：用单位荷载法计算结构位移时有何前提条件？单位荷载法是否可用于超静定结构的位移计算？

FP D A C a a FP E B a a 由对称性分析知道FNCDFNCE0,RARBFP FNBEFNAD2FP FNBCFNACFP FDEFP 22 22122 22 1 2 112 112212F2a(2FP)2aPFNFNPl21(FP)2a6.832cx22FPa()EAEAEAEAEA

5-4 已知桁架各杆截面相同，横截面面积A＝30cm2，E＝20.6×106N/cm2，FP＝98.1kN。试求C点竖向位移ΔyC。

a 5FP5FP 5FP 55FPFP445FP 2FP 由节点法知： 5F4P 2FP k对A节点 FNAD=-5FP FNAE2FP对E节点 FNEC55FP FNEFFP44 由节点法知：对A节点 FNAD=-1 k 5 FNAE12FNFNPl155yc(12FP251FP6(-)(5FP)254)EAEA42 11.46cm ()

5-5 已知桁架各杆的EA相同，求AB、BC两杆之间的相对转角ΔB。

杆的内力计算如图所示 -42 -8-12-4-12-8-442442842424-424 84 48kN 4施加单位力在静定结构上。其受力如图1 42281421421441 414其余未标明的为零力杆 14B11FNFNPl(1242)EAEA

5-6 试用积分法计算图示结构的位移：（a）ΔyB；（b）ΔyC；（c）B；（d）ΔxB。

(a)

A

EI l

q2

q1 B

以B点为原点，向左为正方向建立坐标。q2q1xq1l1qqMp(x)q1x221x326l显然，M(x)xq(x)1113q2q14 ycM(x)M(x)dx(q1xx)dxpEI0EI026l = (b)

B

EI=常数

A 3l 4

l q

C

ll

1q241114(lql)EI30120

l 5q2l4 q2l2l 7l4 MP

M11ql231523251q3151274yc(llqllqlll2lll)ql()EI3242443422434EI16

(c)

4m A O

R=2m

B

1kN/m

2kN

1M()(Rsin)212R(1cos)2M()11212B1[(Rsin)12R(1cos)]RdEI02 = (d)

A q

R EI=常数

O B

(8-3)-1.42(逆时针)EIEI

qdsqRd0M()qRdRsin()qR2(1cos)M()RsinxB112214M()M()dsqR(1cos)RsinRdqR()EIEI02EI

5-7 试用图乘法计算图示梁和刚架的位移：（a）ΔyC；（b）ΔyD；（c）ΔxC；（d）ΔxE；（e）D；（f）ΔyE。 (a)

1 1232 12 以A为原点，向右为x正方向建立坐标M(x)5xx21x (0x3)M(x)2 31x (3x6)2181ycM(x)M(x)dx()EIEI0 (b)

6

A 2kN/m EI=常数 6m B C 1m 2m 6kN D 2m E 0.5 1 6 MPA 3 MyD 611211(23)62366EI2EI384311 (32162(3)(6))6EI2225 +612()6EI2EI

(c)

2kN/m B EI A 3m 2kN 2kN 2EI C EI D 3m 3m 2316m 61 23436301826 MPxcM3(21822182230423018423042366436630)62EI612262918 +(2366)63()6EIEI38EI

2kN/m 4kN k EI A EI B EI C D (e) 6m

6.5 k 13.56.5MP4226 12M 18 1612 DMPM11110dsFPF(1231)(2121)EIkEI26EI12141111311 (1016)(226)(416)13.5EI326EI2EI324k86227 =(顺时针)3EI16k

5-9 图示结构材料的线膨胀系数为α，各杆横截面均为矩形，截面高度为h。试求结构在温度变化作用下的位移：（a）设h＝l/10，求ΔxB；（b）设h＝0.5m，求ΔCD（C、D点距离变化）。 （a）

+25℃ C +25℃ +35℃ D +25℃

A l B l L L 1 11 Mt0Nt1t26030C t=t2t110C22tktt0FNdsMdsh1012 =301l(l2l2)h2l =30l(102l2)/230l10

(b)

C 0 0 A 0 +t 4m 0 +t 4m D 0 0 0 +t 4m 3m 54 1 3 41 B 1 1 3 454  1N 图5Mdst5h45tt1+t5(1)12(43243)42h254.5t()ktt0FNdst3M 图3

5-10 试求图示结构在支座位移作用下的位移：（a）ΔC；（b）ΔyC，ΔC。 (a)

D C D′ C′Δ CE E′ l2l2a b A B B′

h 1 1h 1h001aCFRC[()a](方向与图示一致)hh

(b)

c1 c3 A A′ B C D D′ ΔC 1 0.5 c2 B′ C′ 2a a 1.52a FR 图1331ycFRC[C1C2]C2C1()2222 1C[12a34a54a351531C1C2C3]C2C1C34a4a2a4a4a2a 0

习 题

6-1 试确定图示结构的超静定次数。

(a)

(b)

(c) (d)

2次超静定

6次超静定

4次超静定

3次超静定

I (e) (f)

(g) 所有结点均为全铰结点

I 去掉复铰，可减去2（4-1）=6个约束，沿I-I

截面断开，减去三个约束，故为9次超静定

沿图示各截面断开，为21次超静定

I 刚片I与大地组成静定结构，刚片II只需通过一根链杆和一个铰与I连接即可，故为4次超静定

II (h)

6-2 试回答：结构的超静定次数与力法基本结构的选择是否有关？力法方程有何物理意义？ 6-3 试用力法计算图示超静定梁，并绘出M、FQ图。

(a) 解：

上图=

2l 3 A 2EI C l 3 FP EI B 题目有错误，为可变体系。

2lFp 3Fp l

+ X1=1

M1 Mp

11X11p0

其中：

2l311lll2lll14l31122lll2EI2333326EI33381EI23l7Fl22lp32lFpllFp6EI233381EI1p

7Fpl314l3X10 81EI81EI X1

1Fp 2

MM1X1Mp 1Fpl 6

M图

1Fpl 6QQ1X1Qp

1Fp 2Q图

 12Fp (b) FP A B E C D EI=常数 F l 2 l 2 l 2 l 2 l 解：

FP 基本结构为：

X1 X2 l

l3 l

12Fpl FP

13Fpl

11X112X21p021X122X2 2p0MM1X1M2X2Mp

QQ1X1Q2X2Qp

6-4 试用力法计算图示结构，并绘其内力图。

(a)

M1M2

Mp

20kN/m B 1.75EI C D m EI 6 A 6m 3m 解：基本结构为：

20kN/m X1 6 1 6 810

810 11X11p0 MM1X1Mp

(b) E a2 q C D a EI=常数 4 A B

4a 4a 解：基本结构为：

M1

Mp

X1 计算M1，由对称性知，可考虑半结构。

1 1 2a1 2 2

计算Mp：荷载分为对称和反对称。

M1

对称荷载时：

qa 22qqa2 qa 26qa2 6qa2 6qa2

反对称荷载时：

qa qa2 2q22 qa qa 28qa2 8qa2 8qa2 2qa2

14qa 22qa2 Mp

11X11p0 MM1X1Mp

6-5 试用力法计算图示结构，并绘出M图。 (a)

C

m EI 11kN 6 B D EI 2EI m6 A 3m 3m 解：基本结构为：

X1 11KN X2

1 6 1

12 6

M1 M2 用图乘法求出11,12,22,1p,2p

11X112X21p021X122X22p0 (b)

11KN 33 33 Mp

E D EI=常数 20kN/m A 6m C 6m

B 解：基本结构为：

X1 X1 20kN/m X2 X2 6m 6 1 1 3 3

150 1 1 3 6

M1 M2 30 180

90 150

Mp M

6233233266108 6EIEI62332330 126EI6233233266108 226EIEI

11

1p112212270012361803620661803EIEI2338223112212540123 61803620661803EI2333EI8222p2700108X01X125EIEI X25108X54001EIEIMCA1803255390KNm MCB18032553120KNm MCD6530KNm

(c)

C I 10kN·m

解：基本结构为：

10kN·m 10kN·m 10kN·m 5I A 12m B 10kN·m EA=∞ D I

3m

X1 1

6m 5I  3 1 3 10kN·m 10kN·m 9 9 10 10 N1 M1 Mp

2332992392112335EI6E5IEI61365581446210329109103101p2 6E5IEI11X11p0X11.29

MAC91.29101.61KNm

MDA31.29106.13KNm MDC31.293.87KNm

3.87 1.61 6.13 6.13 3.87

(d)

1.61 M

D EA=∞ E I F 5I B

10kN/m I 5I A 3m G EA=∞ 2I

C

解：基本结构为：

X2

X1 10kN/m 1 3 1 3 9 9 6m 6 6

M1 M2

45 405

Mp

113233262332992392111.6 6EI6E5IEI1262693625.2

6E5IEI6266626650.4 226E5I6E2IEI1p1EI36123452940534054591345346E5I5EI321721.256456EI3

2p0

25.21721.25111.6XX012X117.39EIEIEI 25.250.4X8.692XX012EIEIMAD405917.39248.49KNm

MBF68.69917.39104.37KNm MFE317.3952.17KNm MCG68.6952.14KNm

52.17 M 248.49 104.37 52.14

6-6 试用力法求解图示超静定桁架，并计算1、2杆的内力。设各杆的EA均相同。

(a) (b)

a 2

1 2 FP a

FP a

题6-6图

6-7 试用力法计算图示组合结构，求出链杆轴力并绘出M图。

(a)

2m 2m 1 30kN 1.5m a

l A 12EI kθ= l EI EA= 2EI l2 l FP B C 解：基本结构为：

FP 1 2l Fpl FP 1

M1 Mp

l2l2l7l3 22l2l2l11EA6EIk2EIFplFpl3l2Fpl2lFpll2l1p6EIk2EI211X11p0X1Fp

723MAFplFp2lFpl

773 Fpl 7

(b)

C A a

EA EA=EI/a2 EI=常数 a

D B qa E F G

2Fpl M 7q a a l 6-8 试利用对称性计算图示结构，并绘出M图。

(a)

解：

① ② ①中无弯矩。 ②取半结构：

基本结构为：

Fp2 FP D EA=∞ E EI A 6m Fp EA=∞ F 2EI EI C 6m

Fp B 9m 2 2原结构= +

Fp 2 Fp 2

Fp2 X1 1 Fp2 9 9

M1 Mp

9 Fp2

112EI224321999

3EI21p11922439Fp9Fp EI2232EI11X11p0X1Fp

14 (b)

(c)

基本结构为：

A

q l

C

EI=常数

B D q

A 4m 60kN

9 Fp49 Fp49 Fp49 Fp49 Fp2 M图 整体结构M图

EI=常数

B 5m

4m 解：根据对称性，考虑1/4结构：

q

l 3m C D q X1 1

q2l 8 1 M1 Mp

111ll112EI2EI

11lql2lql2ql21p11EI3282812EI

11X11pql20X112

MM1X1Mp

ql2ql2ql2 242424

ql 122ql2 12ql2 12 (d)

解：取1/4结构： q

基本结构为： q

X2 l

A

B q

l

D

E q

ql2ql2 M 2424F

EI=常数

C

X1 1 q

l 1 1 l 2l2

M1 1 M2 Mp

1l22l311EI2l33EI 11l2212EI2l12EI

221EIl211l113l2EI 11ql23ql41pEIll3248EI 1EI1ql2ql32p3l216EI l3l2ql453EIX12EIX28EI0X1qll2ql312 2EIX3l2EIX6EI0X1ql212236qlql2 2 9 ql2936 ql236 ql2 36 ql2ql2 36 36(e) ql2 50kN 9

E 2I F I I m6 C 2I D I I m6 A B 9m

M

(f)

4FP G H I D E F 2a 2a

A a 取1/2结构：

B a a a C ( BEH杆弯曲刚度为2EI，其余各杆为EI )

2FpFp Fp

Fp Fp = +

2FpFp Fp Fp Fp ① ② ②中弯矩为0。

考虑①：反对称荷载作用下，取半结构如下：

Fp

Fp2 2Fp2 Fp2 = + Fp

FpFp2 Fp2 Fp2 Fp2 ③ ④ ④中无弯矩。

考虑③：

Fp2 Fp2 Fp2a

Fp2 

Fp2Fp2a 弯矩图如下：

pF Fp2a2aa Fp2Fp2a Fpa a Fpa Fp2a

Fpa Fp2Fp2aa

(g)

k= 34 EI a3 k

E F aFP C G D a A EI=常数 B a a 解：

原结构= + Fpp 2 F2

① ①弯矩为0。 反对称荷载下： Fp 2

基本结构为：

X1 Fp 2

1 Fp 2

Fp 2a 2a

M1 Mp

1128a311EI22a2a2a33EI

Fp2 Fp2 ②

FpFpa1p22aaa6EI225Fpa3a12EI

11X11pM图如下：

(h)

l A I 4FP B I 5Fp3X18a34a35X1aX1X1Fp

k3EI12EI3EI48 5Fpa48 5Fpa48 7Fpa24 7Fpa24D I 2I C l

F I 2I E l

l 2I I I 6-9 试回答：用力法求解超静定结构时应如何恰当地选取基本结构？ 6-10 试绘出图示结构因支座移动产生的弯矩图。设各杆EI相同。

(a)

(b)

4a

4a 题6-10图

6-11 试绘出图示结构因温度变化产生的M图。已知各杆截面为矩形，EI=常数，截面高度h=l/10，材料线膨胀系数为α。

(a) (b)

-15℃ C A +15℃ B -15℃ B 4a A EI=常数

B B′

l A B C EI=常数 l 2 C l 2 D D E h  l

 -10℃ +15℃ -10℃ l +25℃  3a 2 A l

l

C +15℃ D +5℃ l

l

题6-11图

6-12 图示平面链杆系各杆l及EA均相同，杆AB的制作长度短了，现将其拉伸（在弹性范围内）拼装就位，试求该杆轴力和长度。

A l 题6-12图 题6-13图

6-13 刚架各杆正交于结点，荷载垂直于结构平面，各杆为相同圆形截面，G= 0.4 E，试作弯矩图和扭矩图。

6-14 试求题6-11a所示结构铰B处两截面间的相对转角ΔB。 6-15 试判断下列超静定结构的弯矩图形是否正确，并说明理由。

(d)

题6-15图

6-16 试求图示等截面半圆形两铰拱的支座水平推力，并画出M图。设EI=常数，并只考虑弯曲变形对位移的影响。

A R

题6-16图

R B C FP q FP (a) (b) (c)

q FP FP B A B D FP C

R 同济大学朱慈勉 结构力学 第7章 位移法习题答案

7-1 试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。

(a) (b) (c)

EI 2EI EI EI 2EI

1个角位移 3个角位移，1个线位移 4个角位移，3个线位移

(d) (e) (f)

EI EI1=∞ EA EI1=∞

3个角位移，1个线位移 2个线位移 3个角位移，2个线位移

(g) (h) (i)

k

一个角位移，一个线位移 一个角位移，一个线位移 三个角位移，一个线位移 7-2 试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？

7-3 试说出位移法方程的物理意义，并说明位移法中是如何运用变形协调条件的。

7-4 试回答：若考虑刚架杆件的轴向变形，位移法基本未知量的数目有无变化？如何变化？ 7-5 试用位移法计算图示结构，并绘出其内力图。

(a) A

l i D i B l q i C l

解：（1）确定基本未知量和基本结构

有一个角位移未知量，基本结构见图。

3iZr11 4i 11ii 2iM1图

（2）位移法典型方程

r

11Z1R1p0 （3）确定系数并解方程

ri,R11181p3ql2 8iZ1213ql0

Zql2124i（4）画M图

1728ql224ql 1 ql2 65 24ql2 M图

(b)

2.5kN/m 10kN A 2EI B EI D EI m4C 4m 4m

解：（1）确定基本未知量

1个角位移未知量，各弯矩图如下

12R1p3ql 16ql2 Mp图

32EIZ1r1EI1112EIM1图（2）位移法典型方程

r

11Z1R1p0 （3）确定系数并解方程

r5 112EI,R1p3552EIZ0 135

Z 114EI（4）画M图

4026147M图(KNm) (c) FP D EA=∞ E EA=∞ F EI 2EI EI m9 A B C

6m 6m 解：（1）确定基本未知量

一个线位移未知量，各种M图如下

905Mp图

Z11 r11 F p EI2EI EI 272727 M 1图 12 243EI243EI1243EI（2）位移法典型方程

r11Z1R1p0

（3）确定系数并解方程

r4 11243EI,R 1pFp4243EIZ 1Fp0

Z1243 4EI（4）画M图

9 94F9 p2Fp4Fp

M图

(d) E F EA EA a2 A B C D EI1=∞ FP FP

a a

2a a

解：（1）确定基本未知量

一个线位移未知量，各种M图如下

R1p Mp图

2 EA/2a5 4EA/2a5 r11Z11M1图 2EA52EA/2a5 2EA/2a5简化 r11M1图

4a5 1a5R1pFpMp图（2）位移法典型方程

3a5Fp

r11Z1R1p0

（3）确定系数并解方程

r1126 EA/a,R1pFp55 2EA6Z1Fp05a5

Z13a

EA 0.6Fp （4）画M图

0.6Fpa 1.2FpFpa M图(e)

EA A l D EA EA B C FP

l

解：（1）确定基本未知量

两个线位移未知量，各种M图如下

r21 EAl r11Z11r11EA21l42EA4lEA2l r21 M1图

Z21 r22 r12r22EA21l4EA2l EAlM2图

000 FpR1pFp R2p0R1p Mp图（2）位移法典型方程

r11Z1r12Z2R1p0 r21Z1r22Z2R2p0 （3）确定系数并解方程

r11EA21,r12r21l42EA4l

rEA222l14R1pFp,R2p0 代入，解得

Z

1122l212EAFpZ1l2212EAFp （4）画M图

122 Fp 2122212Fp1 212Fp M图

7-6 试用位移法计算图示结构，并绘出M图。

(a) 10kN/m A C E F m6EI=常数 B D

6m 6m 6m

解：（1）确定基本未知量

两个角位移未知量，各种M图如下

223EI3EI12 3EI3EI1 3EI M1图r112EI r1213EI

2EI321EI3EI3 13 EIr2211EI6 1EI3M2图30

R1p30 R1p0 Mp图

（2）位移法典型方程

r11Z1r12Z2R1p0 r21Z1r22Z2R2p0 （3）确定系数并解方程

1r2EI,rrEI1221 113

11r22EI6R1p30,R2p0 代入，解得

Z15.47,Z2.81

12 （4）画最终弯矩图

35.1619.699.383.2710.311.871.40 (b)

M图A B EI=常数 D 6m 6m

E

10kN/m C 解：（1）确定基本未知量

两个位移未知量，各种M图如下

6m 4i 2i r113i2i r21 4i

i/2M1图

i r12i i r22

M2图

30 30 R1p R2p Mp图

（2）位移法典型方程

r11Z1r12Z2R1p0 r21Z1r22Z2R2p0 （3）确定系数并解方程 r11i,rr0111221

r223i4R1p30KN,R2p30KN 代入，解得

Z13011 ,Z24011ii （4）画最终弯矩图

20 75.458.18 34.55 29.09 20.91

M图

(c)

2m A E B 2m 2m 30kN F EI=常数 D 解：（1）确定基本未知量

两个位移未知量，各种M图如下

i2m 2m

C r114i2i 3i 3i r21

M1图

r12 3i2 3i2 r22 M2图

R1p30KN Mp图

（2）位移法典型方程

R2p

r11Z1r12Z2R1p0 r21Z1r22Z2R2p0 （3）确定系数并解方程

r1111i,r12r21r223i2

6i4R1p0,R2p30KN 代入，解得

Z16.31646.316

,Z2EIEI （4）求最终弯矩图

4.2112.6325.266.329.47

(d)

E

l 2 GM图

l qql B D F EI=常数 A l C l 解：（1）确定基本未知量

两个位移未知量，各种M图如下

2EIl3EIll Z11r114EIl 3EI l 3EIlr21

M1图

6EIl2 3EIl2r12 3EIl26EIl2Z2 1 r22 M2图

12ql8 12ql16R1p R2p Mp

（2）位移法典型方程

r11Z1r12Z2R1p0 r21Z1r22Z2R2p0 （3）确定系数并解方程

13EI3EI

,r12r212ll18EIr222l1R1pql2,R2pql16r11 代入，解得

66ql3211ql4

Z1,Z23600EI3600EI0.315ql2 （4）求最终弯矩图

0.125ql2 0.176ql20.008ql20.055ql20.278ql2 0.231ql2 M图

(e)

20kN 80kN·m 10kN·m 50kN·m A 2EI 8m

B C EI EI 4m 4m 4m 4m D

解：（1）确定基本未知量

两个角位移未知量，各种M图如下

3EI4Z11r11EI 1r214 1EI2 M1图1EI2Z21

r22 r121 4EI 3EI8

M2图

20 50 2525 2025Mp图 20

（2）位移法典型方程

r11Z1r12Z2R1p0 r21Z1r22Z2R2p0 （3）确定系数并解方程

51EI,r12r21EI 447r22EI8R1p45KNm,R2p0r11 代入，解得

Z38.18,Z10.91

12 （4）求最终弯矩图

25.91 3.64 15.91 M图

7-7 试分析以下结构内力的特点，并说明原因。若考虑杆件的轴向变形，结构内力有何变化？

(a) (b) (c)

FP

FP

FP (d) (e) (f)

FP

q

FP

EI1=∞

M EI 7-8 试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M图。

对称轴

(a)

A 8m 3EI

20kN B EI1=∞ 3EI E

D EI1=∞ G 3EI C 8m

EI F 解：（1）画出M1,M2,Mp图

r11 96m 3m 2EI92EIr11 4EI81Z112 2EIEI 2EI r214EI34EI30r212EI9M图由图可得： r111124

EI,r12r21EI813 M2图 21r2EI2EI 1EI21EI6Z2164EI3 3 2EI 1EIr22 1EI61EI18r222EI91 EI21EI6

由图可知： r2214 EI9 1pR20KN Mp图 R2p

R1p20KN R2p0（2）列方程及解方程组

4 112EIZEIZ200128134EIZ14EIZ01293解得：

Z183.3811

,Z271.47EIEI（3）最终弯矩图

18.53 23.82 23.8235.7411.91 59.56 18.5335.74 11.91 (b)

A 8m

B 10kN D M图

C 10kN EI=常数

4m 4m 6m 解：C点绕D点转动，由Cy=1知，Cx 知

35,CCD 44EI9EI3EI3EI,r31r13412832128

4EI4EI93327r22EI,r23r32EIEIEI108103240160r11EI,r12r21 R1p10KNm,R2p0,R3p6.25KN 求r33

MD0知

273399EIEIEIEIEI14160401281281288r330.055EI

8EI3EIZZEIZ3100124128Z117.9/EI9EI27EIZ2EIZ30Z258.5/EI Z1101604Z285.6/EI3273128EIZ1160Z20.055EIZ36.250

(c) D

EI C FP EI1=∞

B EI

A

aaa 22解：（1）作出各M图

o瞬心10EIa26EI4EI2a2a 42EIa2 a 9EIa2 42EI2 a6EI2EI2a2aM1图

M00r11a9EI18EI2a3a3aar119218EIa3

o瞬心PR1p 1Pa4 Mp图

Ma0PR1pa02

PR1p20（2）列出位移法方程

r11Z1R1p0

解得：

Z1Pa329218EI （3）最终M图

5Pa92185Pa9218 1Pa52Pa4 29218  22Pa9218 4Pa9218M图

q D (d)

A EI1=∞ B EI C k = 4 EI 3 l l l l 2 2 解：基本结构选取如图所示。

作出M1及Mp图如下。

9EI2l28EIl2 Z1110EIl2r11M1图12ql1212ql8

12ql12

Mp图

29EI10EI8EI10EI9EIr1122l22l/23

l2llll171R1pqlql2/lql

12122由位移法方程得出： 7ql4r11Z1R1p0Z1

348EI作出最终M图

852ql3485ql2768 412ql34812ql8M图

7-9 试不经计算迅速画出图示结构的弯矩图形。

(a) B

(b)

A C 题7-9图

7-10 试计算图示有剪力静定杆的刚架，并绘出M图。

A a

qa D B EI=常数 a q qa F C q E G A θA C B B′

a a yB

解：（1）画出M1,M2,Mp图

3iZ1r1 11r12 i3ii r3iZ212r122 i3i M1图M2图由图可知，得到各系数：

r117i,r12r21i,r228iR513 1p8qa2,R2p8qa2求解得：Z53121440,Z255 （2）求解最终弯矩图

1592440ql263440ql2104 2440ql3655ql24355ql2 1772440ql 2382440ql67ql2 55M图

7-11 试利用对称性计算图示刚架，并绘出M图。

(a) 20kN/m A B C D E EI=常数 m6 F G

6m 6m 6m 6m 解：（1）利用对称性得：

18ql212ql2 128qlql2 12ql2 ql2 Mp图

2EI3Z111206060r111EI32EI3R1p 1EI3

M1图Mp图

（2）由图可知：r114EI,R1p300KNm 34 EIZ13000

3可得：Z13003225 4EIEI（3）求最终弯矩图

36021015 150 360210 15015 7575 M图

(b)

A 4m EI C EI 20kN EI 4m

B 解：（1）利用对称性，可得：

EI 10KNEI 2EI5

Z1=1r 4EI511 20 3m 10KN EI4

20 M1图Mp图

（2）由图可知，各系数分别为： r11EI421EIEI4520R1p20KNm 21EIZ120020解得：Z1400 21EI（3）求最终弯矩图如下

15.247.62 24.76

C l EI D A EI B M图

(c)

FP 12EA A= 2I l EI E l

解：（1）在D下面加一支座，向上作用1个单位位移，由于BD杆会在压力作用下缩短，所以先分析上半部分，如下图。

1Pl8 x45l P x15 12EIl2N 6EIl2 12EI5l24NPl5 6EIl2 Z11r116EIl2 M1图Mp图 R1p

3EI12EI4x31x，得x个单位。 3ll5D点向上作用1个单位，设B向上移动x个单位，则（2）同理可求出Mp图。 r1112EI212EI132EI4x,R1pPl 333l5l5l5Pl3可得：Z1

33 （3）求最终弯矩图

3Pl11 N2Pl11 8Pl112Pl11 2Pl11 (d)

4m D EI B M图

10kN EI 2EI EI 2EI A 4m 4m A′ 4m (e)

A 3m

3m

B C EI EI D EI E EI1=∞ EI EI1=∞ 50kN EI EI EI C′

B′

A′

解：（1）利用对称性，取左半结构

25KN

3m 3m 4m D′B′ EI 3m C 4EI3Z11 r11 2EI3 2EI 9r122EI34EI9 2EI3 R1p 4EI3 r218EI9 r22 Z21 2EI 3 4EI9 25KN R2p M1图M2图Mp图

（2）由图可知： r118420EI,r21r12EI,r22EI 3927R1p0,R2p25KN2575,Z2 4EI3EI解得：Z1 （3）求得最终弯矩图

503 125650322565032256 12561256503 253253

(f)

2m A

M图

10kN B

10kN D EI=常数

F

2m

C

E

解：由于Ⅱ不产生弯矩，故不予考虑。只需考虑（Ⅰ）所示情况。对（Ⅰ）又可采用半结构来计算。如下图所示。

2m 2m 5kN 5kN 原图=5kN 5kN +5kN 5kN 5kN （I） Z25kN 4ir21ZZ1r11 2i11 2i 4i4i5kN 2i 基本结构M1图5kN R2pR 1p 5kN Mp图

7-12 试计算图示结构在支座位移作用下的弯矩，并绘出M图。(a) A EI B EI C D EI  l l l

5kN （II）

Z21 r22r 12 11 M2图

(b)

B

3EI

EI

EI

C

A l

D

Δl解：（1）求M1,M2,M3,Mp图。

l r114i12i6ir21r12r31 12ir226i4ir32 r136ilr236ilr33 2iM1图2i6il 6ilM2图M3图

（2）由图可知：

r1116i,r12r216i,r23r3218iR1p0,R2p8i,R3pl6i24i,r2216i,r33ll

代入典型方程，得：Z10.426,Z20.374,Z30.763l （3）求最终弯矩图

2.87EIl1.93EIl EI3.73l4.67

7-13 试用位移法求作下列结构由于温度变化产生的M图。已知杆件截面高度h＝0.4m，EI＝2×104kN·m2，α＝1×105。

－

M图EIl

A

+20℃ 0℃

B 0℃ +20℃ C 6m 题7-13图

解：（1）画出Mt,M1t,Mt图。

4m 2EIl4EIl4EIlr11 20EI3R1t45EI3 10EIR1t 2EIl M1图M1t图Mt图

（2）求解各系数，得，r11典型方程：

595EI,R1tEI,Rt0 36595EIZ1EI0 36解得：Z119 2（3）求最终弯矩图

11.977.407.4013.55 M图

7-14 试用混合法作图示刚架M图。

l A EI=常数 B l

题7-14图

E C

D FP F

l l 同济大学朱慈勉 结构力学 第8章 矩阵位移法习题答案

8-1 试说出单元刚度矩阵的物理意义及其性质与特点。 8-2 试说出空间桁架和刚架单元刚度矩阵的阶数。

8-3 试分别采用后处理法和先处理法列出图示梁的结构刚度矩阵。

(a)

A 2EI l

B EI l

C EI l

D 解：（a）用后处理法计算 （1）结构标识 y ① ② ③ x 1 2 3 4

单元 ① ② ③

（2）建立结点位移向量，结点力向量

局部坐标系（ij） 杆长 cos 1 1 1 sin 0 0 0 各杆EI 2EI EI EI 12 23 34 l l l 1 1 2 2 3 3 4 4T

FFy1 M1 Fy2 M2 Fy3 M3 Fy4 M4

（3）计算单元刚度矩阵

T 1 212 6l12 6l -k11① k12①2EI6l 4l2 -6l 2l2

①3①12 -6l 12 -6llk k2221226l 2l -6l 4lk① 1 2

k②6 3l -6 3lk22② k23②2EI3l 2l2 -3l l2

②3②k k3332l6 -3l 6 -3l223l l -3l 2l 1 26 3l -6 3lk33③ k34③2EI3l 2l2 -3l l2

③3③k43 k44l6 -3l 6 -3l223l l -3l 2lk③（4）总刚度矩阵

1 2 3 4 1 2 3 412 6l -12 6l 0 0 6l 4l2 -6l 2l2 0 k① k①0 00 1112 -12 -6l 18 -3l -6 3l kk①21 k①22k②22 k②23 02EI6l 2l2 -3l 6l2 -3l l2 0 k②②③③332 k33k33 k34 l0 0 -6 -3l 12 0 -220 0 k③③43 k44 0 0 3l l 0 4l0 0 0 0 -6 -3l 0 0 0 0 3l l2 -5）建立结构刚度矩阵

支座位移边界条件

ν1 θ1 θ3 θ40 0 0 0

将总刚度矩阵中对应上述边界位移行列删除，得刚度结构矩阵。

18 -3l 3l 0 k2EI-3l 6l2 l2 0 l33l l2 4l2 l2  0 0 l2 2l2(b)用先处理法计算

1）结构标识 y x 1 2 3 4 5

单元 局部坐标系（ij） 杆长 cos sin 各杆EI ① 12 l 0 1 2EI ② 23 l 0 1 EI ③ 34 l 0 1 EI 2）建立结点位移向量，结点力向量

1 1 4 T50 0 0 0T

0 00 00 0 0 06 3l 3l l2 6 -3l 3l 2l2 - （（

（故2 2 3 4 5

T（3）计算单元刚度矩阵

2 2 k①6l 2EI12 -l3-6l 4l2 2 3 4 12 6l 6l EI②22k36l 4l 2ll6l 2l2 4l2 4 5 k③EI3l4l2 l2 22l 4l（4）建立结构刚度矩阵（按对号入座的方法）

2 2 3 4 56l 3l 3l 018 -2-6l 4l 0 0 0  2EI22k33l 0 2l l 0 l2223l 0 l 4l l 220 0 l 2l0 (b)

解：（1）结构标识如图

3

1 ① A 2EI l

B EI l

C EI l

D 8-4 试分别采用后处理法和先处理法分析图示桁架，并将内力表示在图上。设各杆的EA相同。

y FP 2 ③ ⑤ ⑥ EA=常数 ② l

④

x

l 4 单元 ① ② ③ ④ ⑤ 局部坐标系（ij） 杆长 cos 1 1 0 0 sin 0 0 -1 -1 12 34 13 24 23 l l l l 2l 2 22 22 22 2⑥

14 2l （2）建立结点位移向量，结点力向量

 1 1 2 2 3 3 4 4T

FFx1 Fy1 0 -Fp Fx3 Fy3 0 0

（3）计算单元刚度矩阵

T 1 2 3 41 01 01 0 -1 0 -0 0 0 0 同理 0 0 0 0

EAEAk①k②k①l-1 0 1 0l-1 0 1 00 0 0 00 0 0 0 1 3 2 40 0 0 00 0 0 00 

1 0 -11 0 -1 同理 ④EA0 EAkk③l0 0 0 0l0 0 0 00 -1 0 10 -1 0 1 1 411111111 - - - -2222222211111111 - - - -EA2222同理 k⑥k⑤EA2222 11111112l12l- - - - 2222222211111111- - - - 22222222k③ 2 3k⑤（4）形成刚度矩阵，刚度方程

1 2 3 4 42222 - -1 0 0 0 - 444424222 - 0 0 0 -1 -444442222-1 0 - - 0 0 444424222 0 0 - - 0 -1kEA4444l 0 0 -2 -2 42 2 -1 4444 0 -1 -22244 -24 4 4 0  -2 2 0 0 -1 0 42 444 24 -24 0 -1 0 0 -24 刚架总刚度矩阵方程：

k T1 1 2 2 3 3 4 4Fx1 Fy1 0 -Fp Fx3 Fy3 0 0T

（5）建立结构刚度矩阵，结构刚度方程

10制作位移边界条件为：11230 030将刚度矩阵中对应上述边界位移的行、列删除，即得结构刚度矩阵，相应结构刚度方程为：42 2 0 044EA 2 42 0 -120l442-Fp  0 0 42 2404-4 4024 0 -1 -24 4 （6）计算节点位移，得：

0 0 -24 424

422 0 0442242 0 -11EA2444l422 0 0 - 444242 0 -1 - 44 （7）计算各杆内力

100.5578-F-2.1354p0-0.4422-1.69280 2 31111 - -22220.55780.78881111 - -2.1354Fpl0.7888Fp EA22225F1EA0.7888211102l- - 222020.78881111- - 22220.7888Fp1 1 0 00.7888-1 1 0 00.7888F052 pFTF520 0 1 10.788820.7888Fp0 0 -1 10.78880同时可得其他杆内力。

（b）采用先处理法 （1）步与后处理法相同。

（2）建立结点位移向量，结点力向量

FP

0.5578Fp 0.6253Fp -0.7888Fp 0.4422Fp0.4422Fp2 2 4 4

TF0 Fp 0 0

T 2 4 k①EA1 0l0 0k②k①EA1 0l0 0

2 4 4 4 k⑥11 -EA22112l- 22

k④0 0 0 011 -0 1 0 -1 ⑤EA2EA2k11l0 0 0 02l- 220 -1 0 1（4）形成总刚度矩阵，结构刚度方程

422 0 04420242 0 -1-FEA442p l422400 0 -  04442420 -1 -  44（5）结点位移及内力计算同上。

8-5 试列出图示刚架的结构刚度方程。设杆件的E、A、I均相同，结点3有水平支座位移s，弹簧刚度系数为k。

y 20kN ② 3 s 3′ 30kN·m k 2 ① E、A、I=常数 1 x 3m

解：（1）结构标识 y

③

单元 ① ② 1 x 局部坐标系（i2 ① ② 3 2m 1m j） 杆长 cos 0 3 2sin 1 12 23 2 2 1 2（2）建立结点位移向量，结点力向量

2 2 2 3T

F20 0 -30 0

T（3）建立单元刚度矩阵（l=2m）

2 2 2 6EI12EI 0 3l3lEA 0 0l6EI4EI 0 2llk①

2 2 2 3 33EA3EI 0 0 0 04ll3EA9EI3EA12EI  0 0 04ll34ll33EI 33EI4EI2 2 0 0lll3EA3EI3EA12EI3EI3EA3EI3 -3 2 3 0l4llll4l4l3EI33EI2EI3EI4EI2  2 2 lllllk②k③k

（4）建立结构刚度方程（对号入座的原则写出保留支座位移3在内的刚度方程）

3EA15EIk 0 0 0 034ll5EA9EI3EA12EI  0 0 0220KN334l4lll023EI33EI8EI 2 0 0230KN2 lllFx33EA3EI33EA12EI3EI3EA3EI3 -3 2 3 0034lllll4l4l3EI33EI2EI3EI4EI2  2 2 lllll 由已知，支座位移3c，将以上刚度矩阵3的行删除，并将3与刚度矩阵第4列乘

积移至方程右端与荷载向量合并。

3153EA3EI3333 -EI  EI EAEIk EAEIc8422448883EA3EI2EA3EI5933333 EI EI EAEI  c2884424422223333EI  EI 4EI EI 30KNmEIc4344-34EI 334EI EI 2EI3EIc4

8-6 试采用先处理法列出图示刚架的结构刚度方程，并写出CG杆杆端力的矩阵表达式。设各杆的EI=常数，忽略杆件的轴向变形。

50kN 50kN 10kN ② 5 ① 3 F G 6 15kN 2 ⑤ ③ m6 m3 ④ D EI=常数 1 A 4 B C7 4m 6m 解：（1）结构标识如上图。

单元 局部坐标系（ij） 杆长 cos sin ① 23 5 4/5 3/5 ② 35 6 1 0 ③ 67 6 0 -1 ④ 12 3 0 1 ⑤ 43 6 0 1 （2）建立结点位移向量，结点力向量

T2 2 3 5 6 F1510 0 0 0 0T

（3）建立单元刚度矩阵（考虑杆件①及②两端点无相对水平位移，故水平位移可以不考虑）

2 3 4EI2EIk①l l 其中l=5m

2EI4EIl l 3 5 k4EI2EI②l l其中l=6m

2EIl 4EIl 2 6 

k③12EI6EIl3 l2其中l=6m

6EI4EIl2 l 2 2 k12EI6EI④l3 l2其中l=3m

6EI4EIl2 l 2 3 12EI6EIk⑤l3 l2其中l=6m

6EI4EIl2 l（4）建立结构刚度方程（按对号入座的方式）

2 2 3 5 5EI 2EI 1EI 0936 23EI 32215EI 5EI 0 1EI 2EI 32EI 16515 3EI 0 0 123EI 3EI 16EI 0 0 0 (方程中已省去单位)

282.06225.31解得：131.81

50.90EI620.52616EI 022502 00350 0 6023EI （5）写出CG杆杆端力的矩阵表达式

61261111210 - - 0 -  0 - - 0 - 36 636618618682.0660 0 0 0 0 00 0 0 0 0 082.06066121106 0 4 0 2  0 0 - 6EI-6 20.5220.521663631126EI0111076-12 0 6  0  0 - 0 3663661861860070 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0007616112- - 0 2 0 40 0 636366F3

8-7 试采用矩阵位移法分析图示刚架，并作出刚架的内力图。设各杆件E、A、I相同，A=1000I/l2。 A l 3 5

E、A、I=常数

l

C

q

B

解：（1）结构标识 y x ② 3 2 ① 1

单元 ① ② A1000Il2

4l 5 局部坐标系（ij） 杆长 cos 3/5 sin 4/5 12 23 Tl l 1 0 （2）建立结点位移向量，结点力向量

2 2 2

qlql2F0 - -

212（3）建立单元刚度矩阵

T 2 2 2 2 2 2 EA3212EI426EI4EA12EI1224919211856   332 -2l5l5ll25l53325l25l5l22EA12EI12EA412EI36EI3118561610818 3 3 2EI -233ll25l5ll525l25l5l5241846EI46EI34EI-2 2  2 5l5lll25l5lk① 2 2 2 1000EI 0 025l312EI6EI 0 3 2ll6EI4EI 0 2 ll

k②

(4)建立结构刚度矩阵

243419211856 -25l325l35l2118561640818kEI -2 3325l25l5l24128- 2 2l5l5l(5)结构刚度方程

 02ql k222ql2122 0.0003解得：20.0009 0.010028-8 试利用对称性用先处理法分析图示刚架并作出M、FQ图。忽略杆件的轴向变形。 (a)

A EI 4m

B D EI 10kN EI E 2EI EI 4m F C 解：（1）结构标识（取半结构） y 5KN 1 ① 2 x ②

3 4 ③

3m 单元 局部坐标系（ij） 杆长 ① 12 4 ② 23 3 ③ 54 4 T2 4

F5KN 0T

(2)建立单元刚度矩阵

2k①12EI l=4m l3 2 4126EIk③EIl3 -l2 l=4m

6EI4EI-l2 l(3)建立结构刚度矩阵

2 424EI -6EIkl3l2

-6EIl2 4EIl(4)建立结构刚度方程

24EI6EIl3 -l225

-6EI 4EI4 0l2l解得：642-31 48EI(5)计算杆件内力

12 612l -l F3F3EI 6 4l -6 l212-l -6 12l - 6 2l -6 cos sin 1 0 0 -1 1 0 6 0 12lQ5 01 4M56-643EI-1Q44l-8 0M4 F1F11212 6 - 6 0l 4Q1l 01 8M14l -6 2lEI 6 2 641212l-EI-4Q2- -6 -63ll 0 8M22l -6 4l 6 (6)作出M、FQ图

8KNm 8KNm 4KN

8KNm 4KNm

M N (b)

解：原结构等效为下面结构：

正对称 反对称 1.正对称结构 (1)结构标识如图所示

4KNm 1KN 30kN D 3EI E 3EI 2EI B F 10kN/m A 3m C 3m 4m 2EI 2EI 15kN 15kN 15kN 15kN 5kN/m + 2 ① 3 y  2 ② 1 x (2)结构位移向量

5kN/m 1 11

225kN/m 5kN/m (3)等效结点荷载

20 20

33 10 25KN

10KN 10 20 20 33TF20203,3

(4)建立单元刚度矩阵

22 1142EIk①2EIl l2EI2EI1 12 l 4EI1l 12 22 k②34EIl3EI4 3(5)建立结构刚度方程

20EI2 1131 6220

 3解得：140133EI，20211EI (6)求杆端力

 33F-1016 y28- 20 3 1F①M238 Fy1-102EI-33M12016 -8 331 8 2 -316 38-130-30118 128032 -16 -3011890-31 -118 1  0 F②242440 - 9393110243280 -  3383211 3EI4242040- - - -9393111240224 -  113333 40 11 80 11

80 11130 1140 11130 1140 11 2．反对称结构

90 1190 11M图 Q图

(1)结构标识如图所示 3 ① 3 y 2 1 x (2)结构位移向量

24 ② ③ 1 20 20

33 10 25KN

10KN 10 20 20 33203M11120M222,F3M 3330y3y3425(3)计算单元刚度矩阵

4y3 2211333 844 3EI 2 143 1 24 2 4 EI 42 k① 22 33k②

4y3 33k③33 168

EI3 18(4)建立刚度方程

32 1 0 2041331  6 2 2042 

EI3330 2 5 084 3339 25  48164解得：143.541111，23.21，37.08，4111.50EIEIEIEI

(5)求杆端力

F①3333 - 16-108168-3.25Fy2420331 - 1 - 278M23822  -102EI33330 -16.75- Fy1- -1681681 M12003133 - 1 288F②2424 - 93930 -20.58Fy22432 - 3M23832 -27

3EI40242 20.58- Fy3- -93933 -34.73M32224 - 33333333 - 16816818.25Fy34331 1 - 8M382334.73

EI3333-18.250- Fy4- -168168038.27M4313 - 1 288F③ 34.73 20.58

27 69.46 27 3.25 3.25 34.73 36.5

76.54 16.75 16.75 M图 Q图 整体受力图为：

31.09 16.94 24.22 19.73 69.46 34.27 15.07

38.37 36.5 8.57

76.54 24.93 M图 Q图

8-9 设有如图两杆件刚结组成的特殊单元ij（或称为子结构），试直接根据单元刚度矩阵元素的物理意义，求出该特殊单元在图示坐标系中的刚度矩阵元素k33和k31。

i

a

a

j

y

a x EI EI 解：将单元在3方向转动单位角度视为主动力作用情况：（加一个刚臂） 2i R 4i 1p2i

4i 2i

2i 4i

r118i iEI 2a Mp M1

18iZ12i0Z1

4得出在3方向转动单位角度的弯矩图如下：

i

1i

7i 2277EI72EI k33i222a4a71/2a92EI2k31k138a22

8-10 试采用先处理法列出图示刚架的结构刚度方程。设各杆的EI=常数，忽略杆件的轴向变形。

8kN·m 4kN·m

C D 6kN

EI=常数

A B 6m 6m

解：(1)结构标识如图

6m y

2 3 1 ② ① 4 ③

1 4 x 显而易见，41

(2)建立结构位移向量和结构荷载向量

2 2 3 2T1 2 3 4T

F6KN,8KNm,4KNm,0

T(3)建立单元刚度矩阵

1 4 222222EAEI EAEI EI24144241442422222 EAEI EAEI EI241442414424222EI EI EI24243k① 4 2 3EIEIEI 1866 EI2EI EI 633EIEI2 EI336k② 1 3 k③EIEI 186EI2 EI36

(4)建立结构刚度方程

将上述单元刚度矩阵的元素，按照其对应的未知节点位移序号对号入座，即可得到结构刚度矩阵，据此可列出结构的刚度方程。

2822122EAEI EI EI EAEI2414424624144216KN22142EI EI EI EI8KNm3324242141134KNm EI EI EI6EI 0336422421282EAEI EI EI EAEI1442462414424将41带入上式，然后将结构刚度矩阵第一列减去第四列得方程。

8221 144246222216KN8KNm 133 EI1224KNm140 333082421 246144上述方程组四个方程，三个未知数，为了获得位移解的存在性，以及刚度矩阵的对称

性，我们将第一个方程减去第四个方程，得：

8222 0121216KN222218KNm EI 233124KNm143  0 33

同济大学朱慈勉 结构力学 第9章超静定结构的实用计算方法与概

念分析习题答案

9-1 试说出何为杆端转动刚度、弯矩分配系数和传递系数，为什么弯矩分配法一般只能用于无结点线位移的梁和刚架计算。

9-2 试用弯矩分配法计算图示梁和刚架，作出M图，并求刚结点B的转角φB。

(a)

20kN/m 40kN A EI B EI C

6m

2m 2m 解：设EI=6，则iAB1,iBC1.5 41BA4131.50.4731.5

BC4131.50.53结点 A B

杆端 AB BA BC 分配系数 固端 0.47 0.53 固端弯矩 -60 60 -30 分配传递 -7.05 -14.1 -15.9 最后弯矩

-67.05

45.9

-45.9

11B3iMBAmBA2MABmAB2EI45.9601267.0560

21.15EIKNm2逆时针方向67.5 45.9 9040

(b)

D

m40kN 32EI A BCm 3 EI mEI / 2EI Nmk6 E0 2

9m 9m

解：设EI=9，则

C 绞支 0 0 0

iAB1,iBC1iBD3,iBE3

33BDBE333331410.3641BA333331410.16

31BC333331410.12结点 A B

杆端 AB BA BC BD 分配系数 固端 0.16 0.12 0.36 固端弯矩 0 0 0 45 分配传递 3.6 7.2 5.4 16.2 最后弯矩

3.6

7.2

5.4

61.2

13iM1BBAmBA2MABmAB3EI7.20123.60

16.2EIKNm2顺时针方向 607.2 61.2 3.65.473.890

9-3 试用弯矩分配法计算图示刚架，并作出M图。

(a)

32kN 8kN/m 6kN A EI 100kNB EI C ·m

4m 4m 8m

2m 解：Ｂ为角位移节点

设EI=8,则iABiBC1，BABC0.5 固端弯矩MPablb324412BA2l228248KNm M9l2BC8126258KNm

结点力偶直接分配时不变号

结点 A B

杆端 AB BA BC 分配系数 铰接 0.5 0.5 固端弯矩

0

48

-58

C BE 0.36 绞支 -90 0 16.2 0 -73.8

0

C 12

50 50 分配传递 0 5 5 最后弯矩

0

103

-3

103 312 12.5 56.5

(b)

60kN 60kN 40kN/m 40kN A E B C D EI=常数 2m 2m 2m 6m 6m 2m

解：存在B、C角位移结点 设EI=6，则iABiBCiCD1 41BABC41410.5414CB31417

3BC7固端弯矩：

MAB80KNmMBA80KNmMBCMCB0

M40628801CD2140KNm结点 A B

杆端 AB BA BC 分配系数 固结 0.5 0.5 固端弯矩

-80 80 0 -20 -40 -40

47.5 分配传递

-11.4 -22.8 -22.8 3.25 -0.82 -1.63 -1.63

最后弯矩

-112.22

15.57

-15.48

12 12

C

CB 4/7 0 -20 91.4 -11.4 6.5 -0.82 0.6 66.28

CD 3/7 -140 68.6 4.9 0.45 -66.05

112.2266.28 15.57 (c) 24kN/m

B EI C EI D m3 A EI 4m 5m 5m

解：B、C为角位移结点

1BA1415,44BC145CB41445,11

CD145固端弯矩：

M2442AB664KNmM2442BA3128KNmM2452BC1250KNm2 M245CB1250KNmM2452CD3200KNmM2452DC6100KNm结点 A B

杆端 AB BA BC 分配系数 滑动 0.2 0.8 固端弯矩

64 128 -50 15.6 -15.6 -62.4

72.48 分配传递

14.5 -14.5 -58 11.6 2.32 -2.32 -9.28

80

C

CB 0.8 50 -31.2 -29 23.2 -4.64 3.7

D CD 滑动 0.2 -100

-200 36.24 -36.24 5.8 -5.8 0.93

-0.93 144.96 最后弯矩 96.42 95.58

-95.6 157.02 -157.03 -142.97

结点 杆端 分配系数 固端弯矩

分配传递

最后弯矩

157.0295.58 147.9796.42

(d) 20kNm2kN/m C D E m4EI=常数 A B 4m 4m 解：

41CA4141CD0.5DC414141314DE11 DB31341413111固端弯矩：

M2428DE123KNmM8

ED3KNm

A C

AC CA CD DC 固结 0.5 0.5 4/11 0 0 0 0 -5

-10 -10 -5 46/33 92/33 -0.35 - 23/33

- 23/33

-0.35

0.127 -5.35

-10.7

-9.3

-2.44

9.32.094.120.25 10.72.44 5.35

(e)

3kN/m EI1=∞ C D 2EI E k  EIEI EI m16m 3 4A B D DB DE 3/11 4/11 0 -2.67 69/33 92/33 0.096 0.127 2.19

0.25

E ED 固结 2.67 46/33 0.064 4.12

解：当D发生单位转角时：YCK41则MDCEI2m 4EI 4EIm1(假设12）4SDC12,SDA9,SDE16,SEB12,SDE16DC1291643 ,DA,DE,ED,EB37373777结点 杆端 分配系数 固端弯矩

分配传递

最后弯矩

D DC DA DE 12/37 9/37 16/37 0 0 -9

-2.57 3.75 2.81 5 -0.72 0.23

0.18 0.31 3.98

2.99

-6.98

6.983.98 5 2.99 2.47

(f) 2kN/m A 1.5EI A′

mEI 4EI 2kN/m B 1.5EIB′

6m

解：截取对称结构为研究对象。

SAA0.5EISAB4EI4EIAA1/22/31 3AB23同理可得：21BA3,BB3

另

E

ED EB 4/7 3/7 9 0 -5.14 -3.86 -2.5 -1.43 -1.07 0.16 5

-5

B BE 固结 0 -1.93 -0.54 -2.47

CAACBB1CABCBAA1 2AA-3-2-0.440.05-4.51-3-1.33-0.15-0.02-4.50ABAA2/31/30-6421.33-0.89-0.440.15-0.10-0.054.49-4.49 B 2/31/3BABBBB0-622.671.33-0.440.290.15-0.050.030.024.50-4.50

4.494.514.50 4.504.50M图

9-4 试用弯矩分配法计算图示梁，并作出M图。设图a梁含无限刚性段；图b梁B支座处含转动弹簧，刚度系数为kθ=4i。

(a)

M EI1=∞ B A EI EI C 解：

4iB16i33l 4

l 4 l 4 3l 4 B B B C4i6i

28i3

1EIiMBC3i334l4l4i(其中i34l)MCB0M16iBC3SBC16i,CMBC3BCM0CBM1

BA4i6i31l6i4l4M1AB2i6i31l44l4iS28BAMBA3iCBAMAB3MBA7结点 A B

杆端 AB BA BC 分配系数 固结 7/11

4/11 固端弯矩 0 分配传递 3M/11 7M/11 4M/11 最后弯矩

3M/11

7M/11

4M/11

711M 34 11M11MM图

(b) 32kN kθ A i B i C

4m 2m 2m 解：首先在B点偏右作用一力矩，如图所示。

kθ M A i B i C

根据杆BC端，可得M4iBCkBCBA ①根据杆BA端，可得kBCBA4iBA ② θ4ikθBCkθθBA ③ 将②式代入①式得：M4iθBC4iθBA ④

C CB 铰结0 0 0

由②式得： 4iθBCθBC4ik4i4BC4iθi2

BC4iθBAθBCθBA4i2k4i8i3μBA1μBCk4i2k13

9-5 试用弯矩分配法计算图示剪力静定刚架，并作出M图。

(a) EI 1 = ∞ C E

2EI l qD EI B l 2EI A

l

l 解：作出M图（在B处加刚臂）

SBD3i,SBA0,SBC2iBD0.6,BA0,BC0.4

结点 A B 杆端 AB BD BA BC 分配系数 铰结 0.6 0 0.4 固端弯矩 0 -2ql2 -ql2/3 分配传递 0 21 ql2/15 0 14ql2/15 最后弯矩

0

21 ql2/15

-2ql2

3ql2/5

(b)

10kN 10kN E F G H m3A B C D EI=常数 4m

4m 4m

解：提取左半部分分析

10kN 5kN5kN E F G =A BC 10kN 5kN5kN (a)C

CB CE -ql2/6 0 -14ql2/15 -33ql2/30

0

5kN5kN + 5kN 5kN (b)E EC 铰结 0 0 0

（a）图中结构不产生弯矩，（b）图中结构为反对称结构，因此可以取下半部分分析得： SAE3Ei/1.52EI1EI4111AB24498AE1AB91SBASABEI4SBFSAE2EISABEI/4SBCEI/21EI2

BABCBF1111244211111222421181BABC11 5kNAAB 1/98/9-101.118.89-1.010.110.9-9.799.79AEE BA5kN1/11-10-1.111.01-0.110.01-10.2B2/118/11BCBF F

9-6 试回答：剪力分配法的适用范围如何？什么叫柱子的并联和串连？由并联和串连所构成的合成柱，其剪切刚度和剪切柔度应如何计算？

9-7 试用剪力分配法计算图示结构，并作出M图。

(a)

10kN B EA=∞ EI A 3EI C D EA=∞ F EA=∞ 3EI E EI G H 解：AB、CD、EF、GA均为并联结构。 ①首先转化结间荷载

FQAB5ql3qlFF62.5KN QBA37.5KN QAG22.5KN 8810kN/m 6kN/m 10m 2.028.080.020.082.048.16 C

9.79 8.162.0410.2M图F固端弯矩：MABql2125KNm 8k并kABkCDkEFkGH3EI9EI9EI3EI24i3332 l3llll13于是边柱和中柱的剪力分配系数为r1,r2

88转化后的荷载为：37.5+22.5+10=70KN 边柱和中柱的剪力分别为： 70KN8 210FQr270KN8FQr17012边柱柱脚弯矩为：中柱柱脚弯矩为：

7010125212.5KNm 821010262.5KNm 8 262.5 262.5 212.5 M图KNm

EI1=∞ F 3EI E

H EI G

(b)

EI A B

EI1=∞

D 3EI C

EI1=∞ 10kN 13解：同上题，边柱和中柱的剪力分配系数为r1,r2

88转化结间荷载 QFFE10821048.96KN

103 边柱和中柱的剪力分别为：

10822FQr18.961.12KN,M3.2KNm100 2P82FFQr28.963.36KN,MFE12.8KNm10018m FEF2 边柱柱脚弯矩为：1.1255.6KNm

中柱CD柱脚弯矩为：3.36516.8KNm 中柱EF柱脚弯矩为：3.216.820KNm

10m 5.616.829.65.635.75.6 16.8 205.6 M图KNm

(c)

E H 30kN B

EI1=∞ EI1=∞

d EI EI e

30kN a 4EI D

EI1=∞ G

b EI EI c

A C F 解：

R 4m 4m 15 d30kN 15 15eab15 30kN 15 c 15 (a)15

当顶层横梁没有水平位移时，d、e、b、c并列 R=45KN

rbrcrerd14

FQbFQcFQdFQe7.5KN

45KN 60d15KN30 30e 60a 15KN 3015KN30b 15KN30 30 c15KN60 30 30 (b)单位：KNm

debc并串并并a

设kd则

12EI1 43kbkckdke1ka124EI1

832kdekdke21kbcde111kbckbkc222112rbcde11 ra1rbcde

323FQa45/315KN FQdeFQbc30KNFQbFQcFQdFQe1FQde15KN2 6015 15 6015 45 60 154560 45

60 45M图KNm(d)

2m B A a EI C b EI E d G EI EI1=∞ EI1=∞ e F c EI D EI 20kN 2m 2m 解：结构分析：

bc并联与de 并联，经串联后的结合柱与a并联。

k并3EIl31112EI3EI3l3l112EI12EI3l3l159EI 13l339120120241,rbcde,rbrc159159159392

120151120154rd,re159395159395raQa4.97KN,QbQc4.64KN,Qd1.16KN,Qe4.64KN

9.82

9-8 图示刚架设各柱的侧移刚度如括号内所示，试用剪力分配法计算，并作出M图。

解：

A B EI1=∞ a(2)

55kN E EI1=∞ d(2) D EI1=∞ b(3) C I EI1=∞ e(2) H c(3) G f(3) L

30kN F EI1=∞ g(1)

J EI1=∞ h(1)

M i(1)

M图KNmK 2030KN 2020g(1) 20h(1)20 i(1)R2020 (a) 4m 4m 4m

g、h、i三杆并联1rgrnri 3FQgFQhFQi10KNR305585KN 18085KN1804020KN304010KNb15KNce20KN30 40d20a 15KN45KN 2030(b)30ab并cd串并并ef

kabc2338kde224k1abcde1183

848817abcde333889f11717F9Qf851745KNF8Qabcde851740KNF1QdFQe24020KN

F2Qa84010KNF3QbFQc84015KN将（a）、（b）两图叠加得：

180

20 202018040 40207030404030 40206020160 2030 30 160 M图KNm

9-9 试运用力学基本概念分析图示结构，并作出M图的形状。

(a)

q

l

EI=常数 l

l 解：对于跨间均布荷载的等截面连续梁。其变形曲线如图所示。C点角位移应是顺时针方向。 C支座处承受负弯矩，数值应小于C端为固定端时的弯矩ql2/3 MCMB2MA 2

(b)

解：若D点固定，则MDCPlql2 22ql2 2 q EI ql EI l l 实际结点的转动受到弹性约束MDC若DE段两端固结，则MDEql2 12但MDEMDC，D结点左侧下缘将受拉

l 2 l 2 2EI 2EI MEDMDE

MDBMMBD,BAMAB 22

(c)

B端若为固定端

则A、B两点固端弯矩为Fpa/4 B端若为自由端，则B端弯矩为Fpa/4 B端实际弯矩应介于两者之间。

根据柱的侧移刚度，B端弯矩为左边受拉。 且

MBDMDB2MCD 2 EI1=∞ EI EI EI a

EI a FP EI 2a

解：对于仅有结点线位移的刚架

a

(d) 解：

EI=常数 l FP F

l

（a）

l 3l 4 FP 1Fpl8 3Fpl8FP

1Fpl2

（b）

（c）

B点没有线位移，于是考虑两种极端情况，如（b）、（c）所示。

可以看出M18F1ABpl,2Fpl

且MABMBA12Fpl 我们还应注意BD杆没有剪力。

M图

(e)

+t

EI=常数，正六边形

(f) M

a2 EI=常数 a a

解：

M 11 2M2M = 反对称1M122M + 正对称

反对称：可知AB杆和ED杆没有剪力，因为如果有，则剪力方向相同，结构水平方向的里无法平衡。所以AB杆与ED杆的弯矩与杆平行。

B1M2 C 1M143M7 A

3EIaEISBA2a 6BC71BA7SBC3M7 1M2 1M21M143M71M14 (a)

对称：C铰只能提供水平力，忽略轴向变形。

1M21M2 1M4

1M21M21M2 1M21M4 1M4（b）（a）、（b）两图叠加，得

337M7M4M 377M9 5M28M28M图

(g) F P 2EI EI

EI h FP

2EI EI EI h

l 解：忽略轴向变形，则竖直方向的Fp不产生弯矩，可略去。

F11P =2Fp2Fp 反对称对称结构不产生弯矩。 反对称：

DE 1F M1M12p M B 1 CM A1(a)(b)

M114Fph b图中因BC杆的BC比较大，所以MBC接近于M1。

1F12pFp+2 对称

DF B G AM图H

其中MABMBA，所以反弯点偏上，这是考虑节点转动的原因。 (h) 力矩：

M M EI1=∞ q EI1=∞ EI EI

l 解：单独考虑力矩和竖向荷载。

h h EI EI

h 2 q M2 M2 M2 M 2 = + 反对称对称

反对称：

M 2M2 B DEC A(a)

AB，BD杆中无剪力，又因为MAB0，所以AB杆中无弯矩，又因为DE杆的EI1，D

点无转角，对于剪力静定杆而言，无转角则无弯矩，所以DB杆中无弯矩。

对称：

M 2M2 B DE C A(b)

这是结点无线位移结构，又因为DE杆与BC杆的EI1，所以结点又无转角，所以AB杆、BD杆、BC杆无弯矩。

（a）、（b）图叠加：

M M (c)

E竖向荷载：

D 12ql8 B C 12ql8 A(d)

本结构无线位移，D、B两结点又无转角，DB杆、BA杆上又无荷载，所以DB杆、BA杆无弯矩。 (c)(d)两图叠加得：

12ql8 12ql8 M图

9-10 试用静力法求图a所示超静定梁B支座反力FyB的影响线方程，并绘制它的影响线。设取基本结构如图b所示。

(a) A x FP＝1 EI l

B Px22llxPx2x3l解：由力法求出：FyB 2l32l3故影响线为：

(b)

x A FP＝1

+1

B FyB

LR9-11 试用机动法绘制图示等截面连续梁FyB、FQB、FQB、M2和MC的影响线形状。

解： ①FyB

A 1 l

B FP=1 2 C 3 l

D l 2 E EI=常数 l

+ - +

FyB1②FQB

L -1

③FQB

R

④M2

1 1

⑤MC

11

同济大学朱慈勉结构力学第10章 结构动..习题答案

10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？

10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？

10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的

动力自由度？

10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b)

EI m1 m2 EI  EI ym EI1=∞

分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y，。 (c)

m m (d)

EI EI 2EI m m m m m m

在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。

10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？

10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m，B处有一弹性支座（刚度系数为k），C处有一阻尼器（阻尼系数为c），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。

解：1）刚度法

该体系仅有一个自由度。

可设A截面转角a为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为mla。

..121..3取A点隔离体，A结点力矩为：MImlallmal

233..q(t)

A k B l 3 EI=∞ 2 l 3 m C c 由动力荷载引起的力矩为：

121qtllqtl2 233由弹性恢复力所引起的弯矩为：k.la1lcal2 33根据A结点力矩平衡条件MIMpMs0可得：

3.ql1..3ka2t mallcal2393ka3caqt整理得：ma 3lll...2）力法

1ql23tAB1l3C1lk3

解：取AC杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移。根据几何关系，虚功方程

...l1112为：qtllklllcmxxdx0

0333lc.ka3caqt则同样有：ma。

3lll...10-9 图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量m，A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c，试建立体系自由振动时的运动方程。

解：

A kθ a B c a m C k a D EI=∞ a E m F k a k . 32ca2ka3ma..3ka2

取DF隔离体，

MF0：

..2a3R2amx2dxka202

.3R2ma2ka4取AE隔离体：

3a2..MA0

2.kmxdxca4ka23Ra0

0将R代入，整理得：

R15ma3..252kak0 410-10 试建立图示各体系的运动方程。 (a)

向与运动方向相反。

A EI l

B m EI1=∞ l 2

M(t)

解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方

 M(t) ..1ml2

（2）画出Mp和M1图（在B点处作用一附加约束）

R1p 3EIlMt k11 Mp （3）列出刚度法方程

m3..lMt24

M1

k11m3..3EI，R1plMt

24lk11R1p0

代入R1p、k11的值，整理得：

m(b) 解：

..24Mt72EI l4l3FP(t) EI l 2

l 2 m l P11

M1图

l 2

M2图 试用柔度法解题

此体系自由度为1 。设质量集中处的竖向位移y为坐标。 y是由动力荷载Fpt和惯性力矩MI共同引起的。

P21

y11M112Fp(t)

由图乘法：

122l3 11ll2EI33EIl/2lll5l3 122l6EI22248EI惯性力矩为myl

..l3y3EI..3..5lmylFpt 48EI经整理得，体系运动方程为：

my3EI5yF。

16ptl3(a)

m EI=常数 解： a10-11 试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。

2a

a a a1 2

M1图

11a2a25a3图乘得：f11 2a22aaaEI223236EI16EI mf115ma3(b)

EI1=∞ k m l l 2 解：此体系为静定结构，内力容易求得。

在集中质量处施加垂直力P，使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为由此根据弯矩平衡可求得P2。 34k。 94k92k。 m3m(c)

l 2 EI m EI EA1=∞ 2EI l l 2 2 l 2 解：可以将两个简支梁视为两个并联的弹簧。

l3上简支梁柔度系数为 48EI6EI2l3l3下简支梁柔度系数为

96EI1l3于是两者并联的柔度系数为并

6EI96EI102EIl3(d)

1102EI mml3m EI =常数 l l 解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩图如下。 水平支杆中力为

30EI30EI，即。 k1113l313l3k1130EI m13ml3l l 9EI 13l3 30EI13l39EI13l312EI13l3 6EI13l3

(e)忽略水平位移

m a3 EA=常数 4a 4a 解：

1232315121 6 562

M1图

22f24a55a27a1123EA62EA13a2EA 12EAmf1127ma (f) m

l EI=常数

2 l 2 l 解：

3316l1 16l 3 32l35 32l32l

31 32l 1364l

M1图 M2图 M图

1312331323162130.014974l3 lllllllEI3223323221933219364EI 1EIEI 8.172m0.014974ml3ml310-12 为什么说自振周期是结构的固有性质？它与结构哪些固有量有关？关系如何？

10-13 试说明有阻尼自由振动位移时程曲线的主要特点。此时质量往复一周所用的时间与无阻尼时相比如何？

10-14 什么是阻尼系数、临界阻尼系数、阻尼比和振幅的对数递减率？为什么阻尼对体系在冲击荷载作用下的动力响应影响很小？

10-15 设已测得某单自由度结构在振动10周后振幅由1.188mm减小至0.060mm，试求该结构的阻尼比ξ。

解：y111.188lnkln0.04752nykn200.06

10-16 设有阻尼比ξ＝0.2的单自由度结构受简谐荷载FP(t)= Fsint作用，且有0.75。若阻尼比降低至ξ＝0.02，试问要使动位移幅值不变，简谐荷载的幅值应调整到多大？

解：

AF1 m222221242已知从0.2降低至0.02. 0.75，F1Fsint，A不变。

F1F20.827F1

2F2929140.021616F简谐荷载的幅值应调整到0.827F。

10-17 试说明动力系数的含义及其影响因素。单自由度体系质量动位移的动力系数与杆件内力的动力系数是否相同？

10-18 什么是共振现象，如何防止结构发生共振？

10-19 试求图示梁在简谐荷载作用下作无阻尼强迫振动时质量处以及动力荷载作用点的动位移幅值，并绘制最大动力弯矩图。设6EI。 ml3(a)

F  t sin

m A EI l

B 929140.216162l3解：由力法可知，单位荷载作用在B点引起位移。

3EIyt13EI6EI， 3mmlml311FFl3Fl3sintsint即幅值为

3EI2m23EI2当幅值最大时，弯矩也最大。

Fl

Mmax图

(b)

解： l 2 m A C EI Fsin  t B l2l2 l1

M1图 M2图

（1）求结构运动方程

l3l35l3如所示弯矩图，图乘后，f11 ,f22,f12f2124EI3EI48EI..ytCf11FIf12Fsintf11myf12Fsint

..24EI5Fyysint32mml其中2稳态解：

24EI*5,PF

2ml31ytCP*m2212sint53Fl12 =sint

24EI1145Fl3 =sint36EI5Fl3所示结构的运动方程为ytC=sint

36EI5Fl3C点最大动位移幅值为

36EI（2）求B点的动位移反应

..ytBf21FIf22Psintf21mytBf22Psint

ytBP*m21212sint

ytB..P*m221212sint

5Fl3ytC=sint36EI21*ytBf21P2212Pf22sint3235l51l =P2Psint248EI23EI122Pl2512sint =13EI322123721Pl3322sint =3EI212Pl31214 =sint3EI1283121Pl3 =sint288EI

121Pl3B点的动位移幅值为

288EI（3）绘制最大动力弯矩图

12EIl2 m 1 3EIl2 m 1k22k11

M1图 M2图 MAmaxMCmax121Pl33EI5Pl312EI2812Pl 288EIl236EI96l121Pl33EI121Pl 288EI2l2192

281Pl96 121Pl192

最大动力弯矩图

10-20 试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k。

解：

m A B q(t)= qsin  t EI=∞ l

C k m D 3 l2l2l2m..l2 l lm3l32..32kl

若qt为静力荷载，弹簧中反力为

9ql。 8已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角为坐标。建立动力方程：

3lll3lm32mlkllqxdx

022232....929mlklqlmkq

88..222..1212

则弹簧支座的最大动反力为

119l。 28

210-21 设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106N·m2，t1＝0.1s，FP0＝8×104N。 (a)

2000kN FP(t)

EA=∞ EA=∞

EI EI 2EI

2000kN 4000kN 6m 解：

求排架自振频率，横梁无限刚性，则各排架水平侧移相同。 可将排架柱视为三个并联的弹簧。 边柱刚度柔数k1k33EI6EI 中柱 k233hhk并12EI h3k126106Nm2330.645rad/s 2m6m800010NT29.73s

t10.11 数值很小 T9.7397.3所以认为当FPt作用结束时，结构位移很小，弹性力忽略不计，于是根据动量守恒原理可得：

11Ft18105vt181040.122

vt15103m/smvt1再根据势能守恒得：

12121mvt1kymax81055103222yst0.0077m2112106yst 231FQ中ystk中0.00771061283N

61FQ边FQ中642N

2(b)

O t1 t FP0 FP(t)

10-22 设图a所示排架横梁为无限刚性，并有图b所示水平短时动力荷载作用，试求横梁的动位移。 (a)

解：在三角形冲击荷载作用下单自由度体系的质点位移反应可分两个阶段考虑。 第一阶段（0tEI

EI

FP(t)

m EI1=∞

t1）：

1tytFP0ZsintZdZm0FP0tZ sintZdZm0t1 FP0m21sinttt1

1sint ystt11 ys2Ttttsin2Tt11tTsin2Tt ys2t1t1求T的过程。

6EIh2 16EIh26EIh26EIh2

M1图

k1124EIh3

h k11m24EI mh3mh3 T224EI2第二阶段（tt1）

因为不受外力作用，所以横梁以t1时刻的位移和速度为初始值做自由振动。

(b)

O t1 t FP0 FP(t)

10-23 设题10-22图a所示刚架m＝4000kg，h＝4m，刚架作水平自由振动时因阻尼引起振幅的对数递减率γ＝0.10。若要求振幅在10秒内衰减到最大振幅的5％，试求刚架柱子的弯曲刚度EI至少为何值。

解：（1）求周期数。

0.05y0y0eYnn（2）求k：tnln0.0530 0.1n2m k222nm23.14159304.0103k1421.223103N/m

2tn102两柱并联

2EI1262 kEI3.7910Nm3h10-24 设某单自由度体系在简谐荷载FP(t)= Fsint作用下作有阻尼强迫振动，试问简谐荷载频率分别为何值时，体系的位移响应、速度响应和加速度响应达到最大？

解：在简谐荷载FP(t)= Fsint作用下，稳态位移响应可表示为ytAsint

F1Aystm222221422其中：

2tan1212222（1）使动位移最大，即使最大，从而得出124最小。 2222设f1242 222224f14 2220，则122 使f（2）ytAcos(t) 设g22142222211214222

11如果使速度响应最大，则g最大，设g1422，显然要求g1最

2小。使：g1111220得。

2（3）ytAsin(t) h2222124221141222222

1421令h12222显然要求h1最小。

则h112212220解的：122

10-25 结构自振频率的个数取决于何种因素？求解结构自振频率的问题在数学上属于何类问题？ 10-26 试用柔度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。 (a)

l EI=常数 m l m l 解：

l2 l2 l2 1 l2 l 2l2 l 2l2

1

M1图 M2图

1l2l1ll2ll3（1）EIf112l2f112232222324EIEIf221l2lll5l32llf2222322212EI

f12f210

（2）振型方程

l31A0A20m214EI 35l10AA02m12212EI令12EI，频率方程为： 32mlD3 00 10-0

3100110,231 212EIEI

1.09510ml3ml312EIEI23ml3ml3（3）振型图如下

1 1 1

第一振型 第二振型

(b) 解：

l l

P1 l l P1lll2l2

体系具有两个自由度。先求柔度系数，做出单位弯矩图，由图乘法可得：

1121212l311llll2llEI23233EI112l2l3 2112l2lEI2326EI2112l2l322l2lEI22326EI得振型方程：



12l312l33EIm2A16EImA20 2l32l31A0 mA1m226EI6EI令

13EI3 2mlD2.414 0.7070.707 0.707-

由频率方程D=0 解得：13EIEI2.576，2ml30.4535ml33EIEI1.060ml32.6675ml3

A212.41412.773A2.41420.358，22A110.7071A120.7071

(c) 解：

EI l

m1 = m k= l EI l3 m2 = m EI l

l

l1 2 1/1/21

M1图 M2图

（1）

l/2

l313l35l3f11，f22，f12f213EI12EI12EI

（2）振型方程

l35l313EIm2A112EImA20 3313l5l1A0mA2m2212EI112EI令12EI，频率方程为：

ml32D4 55 13-0

21752250115.227,21.7731 2（3）当当12EIEI0.88815.227ml3ml312EIEI2.6021.773ml3ml3

115.227时，设A111A2118100.7227

21.773时，设A121A2228100.6227

绘出振型图如下：

1 0.7227(d) 解：

1

0.6227

第一振型 第二振型

a

m EI1=∞ EI 12EI k1= 3a a

EI k2= a 6EI a3 1121a2 1 12 112 1 2a2

12a

M1图 M2图

31a311111a11/k1/k26EI22248EI

11a311221/k1/k2/2a248EI2

2231a311111a/k1/k26EI22248EI

频率方程为：

11m112 f12m210 f21m1 f22m2取m1ma,m2213ma代入整理得： 324448EIa40a20其中32 3am111.045a,23.625a

48EI11.045am412.085EIam4 248EI3.625a4m3.639EIa4m 振型方程为：

1m1112A112m2A20 a1fmAfmA2021112222将i,A1i1i1,2代入（a）式中的第一个方程中，得：

112A2112m2111m1ma4ma40.23010.2292EIEI0.135 aa213ma48EI343.62511mam2211148EI22.125 A22212m2aa1ma348EI3绘出振型图如下：

0.135a 22.125a 11

第一振型 第二振型

(e)

m

a EI=常数 a

a m a

解：

1 l l2 l 2

M1图 1 l 2

M3图

（1）fl3l3l3112EI，f222EI，f12f21f336EI（2）振型方程

l3m1l32EI2A1mA20A36EI0l3mAl311m26EI2EIA20A30 0Al3110A26EIm2A30令6EIml32，频率方程为： 3 1 0D1 3- 00

0 0 2-l 2 l l21 M2图

14,232EI3EI 132ml3,23ml31A1011 A21 A30

001振型图如下：

1 1 第一振型 1

第三振型

(f)

4m

a m aEI=常数 m a 解： 1 1 第二振型

111 2a 3a

M1图 M2图 M3图

（1）

a111383935314343a,22a,33a,2112a,2332a,3113a 3EI3EIEI6EI3EI3EI（2）振型方程为：

a35a34a31mAmA4m2A30213EI6EI3EI5a38a314a31mAmA4m1A30 226EI3EI3EI314a39a314amAmA4mA012233EI3EIEI令6EI，频率方程为： 32ml2 5 32D5 16- 1120

8 28 216-1231.8,21.936,30.2317EIEIEI 10.161,21.760,35.089ma3ma3ma3110A13.469 A21.390 A30.687

6.6400.2190.05210-27 试用刚度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。 (a)

m m 1 =

EI m2 = 2m EI EI1=∞ EI EI1=∞ EI l l 解：

6EI6EIl2 l2 6EI 6EIl 2 6EI l2 l26EI l2 M1图 k24EI24EI48EI11l2,k21k12l2,k22l2

24y -24-24 48-2y0 m2l3yEI

y17.029,y240.971

EIEI12.651ml3,26.401ml3 A110.707,A210.707 振型图如下：

1 1 0.707 0.707 第一振型 (b) m EA EA l EA l 解：

6EI6EI2kl2 l 11k12 6 EI 6EI kl2 l221k22 6EI6EIl2l2

M2图 1 1 0.7070.707

第二振型

k21EA l1 k11EA 0 2l F1图 kEA42EA11k22lEA2l222l kkEA22EA21212l24l振型方程：

424lEA2mA12EA4lA20 2EA424lA14lEA2mA20令2m4lEA，频率方程为：

D42 22 420

14,2422EA1ml

EA21.306mlA11,A2111 (c)

m EI k= EI l3

EI m l

解：

k22 01k12EA 2l EA l F2图

M1图 M2图

k21 3il k11 1k12 3il 1 k22

作出附加连杆移动单位位移的弯矩图

k3i11l2k4EIl3 kEI12k21l3 k223il2k4EIl3 列出频率方程：

Dk11m12 k12k20

21 k22m2 解得：

231EIml325EI 2ml3结构自振频率分别为：

3EI1ml35EI 2ml3求第一振型：令A111得A211 求第二振型：令A121得A221 结构的振型向量形式为：

A1121,A11

振型图如下：

1 1 第一振型 (d)

EI l EI m EI1=∞ l l 1 1

第二振型

解：

3il3i2l 4il 2il k119i2l k12

2il k21k22

M1图 M2图

k12k210，k1115i8i，k222 22ll2ml3215yA10列振型方程：* 其中y

16yA0EI2列频率方程并求解：

D15y 00 16-y015y16y0

y115,y216

12.739求振型

EIEI ,22.8283mlml311 002将y216,A221代入方程组（*）中得：A220，即A

1将y115,A111代入方程组（*）中得：A210，即A振型图如下：

第一振型 第二振型

质、特点和作用位置分别有何要求？

11

10-28 试说明在应用多自由度体系强迫振动的振幅方程（10-66）和（10-71）时，对动力荷载的性

10-29 试说明为什么可以将惯性力幅值与简谐荷载幅值同时作用在体系上，按静力学方法计算体系的动内力幅值。

10-30 试求图示结构B点的最大竖向动位移yB(max)，并绘制最大动力弯矩图。设均布简谐荷载频率

EI，B点处弹性支座的刚度系数kEI，忽略阻尼的影响。 ma3a3 解：

C a qsi nt EI A EI a m D a B 1a2 12

12qa2 1qa4

M1图 MP图

画M1,Mp图

11a2a1115a3 f112aEI223222k12EI

1p1EIa212111qa4121121a22a4qa34qa22a34qa24qak4EI

列出方程得：

5a3a3qa40 I112EIEI4EI解得：I13qa 7yBmax31a31a313qa3 qaqa72EI4EI28EI根据公式MM1I1Mp画出最大动力弯矩图。

12qa2 132qa28

M图

10-31 图示结构在B点处有水平简谐荷载FP(t)1kNsint作用，试求集中质量处的最大水平位移和竖向位移，并绘制最大动力弯矩图。设

A 2m Fsin  t B EI C m EI，忽略阻尼的影响。

ml32m EI 解：作出M1、M2图

2 1 1 F 2

2F

M1图 M2图 MP图

11112132 222222EI23EI3EI114222 EI2EI2112221p1128 222EI233EI114F2F22 EI2EI2p1128F 2F22EI233EI代入惯性力幅值方程：

32ml344FI20I13EImEIEIEI

348ml8FI10I2EI3EImEI3EI解得：I1185KN,I2KN 1717I1I20.941mm,A0.261mm 222mm将以上求得最大惯性力I1、I2和动力荷载，同时作用于结构，可得最大动力弯矩图： A136KNm17 12KNm17

M图

10-32 图示刚架各横梁为无限刚性，试求横梁处的位移幅值和柱端弯矩幅值。已知m＝100t，l＝5m，EI=5×105kN·m2；简谐荷载幅值F＝30 kN，每分钟振动240次；忽略阻尼的影响。

解：

m1=2m

Fsin  t

m 2=1.5m m 3=m

l l l k31 k32 k21 k22 k11k12

k33 k23 k13

层间刚度设为k，k24EI l3k11k222k,k12k21k23k32k,k33k

2n22408 F=30KN l=5m 6060动位移幅值方程为：

48EI24EI22mAA201l33l24EI24EI48EI23A131.5mA23A3F

lll24EI24EI23A13mA30ll将具体数值代入，解得：

A10.1353mm,A20.0926mm,A30.2710mm

512EIl5312510底柱柱端弯矩幅值：M1A130.13531016.236KNm

22l5312EIl61053中柱柱端弯矩幅值：M2A2A130.13530.0926105.124KNm

25l12EIl61053顶柱柱端弯矩幅值：M3A330.27101032.52KNm

25l10-33 试求图示结构两质量处的最大竖向动位移，并绘制最大动力弯矩图。设m1＝m2＝m，EI。

ml32

m1 EI=常数 m2 EI k= 3l Fsin  t l l 解：该结构有两个自由度，使用刚度法。

k11k12

k21k11 k22

103EIEIEI ,kkk,k71221227l3l3l3k11的求解过程：

3l815l161

116152563237l3 lll2lllEI112163161183896EIk11196EI 37l96EIEI103EI 37l3l7l3k11k1kk22的求解过程：

1 2l2

11121l3左构件l2ll

EI22326EIk2126EI 3l6EIEI7EI33 l3llEI ml3k22k2k将上述刚度系数，质量值及荷载幅值代入位移幅值方程，并计2103EI4EIEIAA2017l3l3l3 EI7EI4EIA133A2F3lllFl3Fl3解得：A10.032 ,A20.344EIEI最大动力弯矩图

0.165FlACB0.137FlD 求解过程：

1.032Fl

对于AB杆件，相当于在中点作用一集中力

FABA1k10.03296F0.439F 7对于CD杆件，相当于在中点作用一集中力

FCDA2k20.3446F2.064F

10-34 试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想，这一方法是利用了振动体系的何种特性？

10-35 试用振型分解法计算题10-32。 解：

2k -k 02m 0 0刚度矩阵k-k 2k -k 质量矩阵M0 1.5m 0 0 -k k0 0 m其中k24EI96106Nm1,m1105Kg 3l由刚度矩阵和质量矩阵可得：

-0.3115 0.5774 0.2639

A-0.5278 0 -0.6230-0.6230 -0.5774 0.5278 112.11s1,230.98s1,345.75s1

0.3115m0.52780.6230Tm1A1TMA12 0 00.31150 1.5 00.5278m1105kg 0 0 10.6230m2A2TMA2m1105kg m3A3TMA3m1105kg

FP1tA1TFPt0.31150.52780.6230T0Fsint15.83sint KN 0FP2tA2TFPt0.577400.57740.26390.62300.5278T0Fsint0 00Fsint18.695sint KN 0TFP3tA3TFPt则y1t应满足方程

y112y1..FP1tm1

其稳态响应为：

y1t15.8310311012.118522sint0.3264sint mm

同理：y2t0

y3t18.6910311045.758522sint0.1279sint mm

y1ty1t-0.3115 0.05774 0.26390.32640.13540.0926sint mm

y2tAy2t-0.5278 0 -0.6230sint0.2708-0.623 0.05774 0.52780.1279y3ty3t显然最大位移

y1max0.1354mmy2max0.0926mm y3max0.2708mm与10-32题的答案基本一致。

10-36 试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比ξ1＝ξ2＝0.10。

解：

1323 40.2143 -0.32140 1Mm刚度矩阵kEI 质量矩阵EI1 0

-0.3214 0.85714 83得：A1 -0.4142

0.4142 110.284820.9951EImEIm

m1A1TMA11.1716mm2A2TMA21.1716mFP1tA1TFPt10Fsint0.4142Fsint 0.414210.41420FsintFsint11TTFP2tA2TFPt正则坐标y1t应满足方程：

y1211y112y1...FP1tm1

其稳态响应为：y1tA1sint1

0.4142103A11.1716m121212412112220.8133mm

21111tan2121tan10.45870.4301 同理可得：y2tA2sint2

1103A221.1716m21212422222220.1092mm

2222tan12122于是

tan10.08130.0811 y1t0.8133sint0.4301mmy2t0.1092sint0.0811mm

y1t1 -0.41420.8133sint0.4301y2t0.4142 10.1092sint0.0811

0.8133sint0.43010.0452sint0.0811 0.3369sint0.43010.1092sint0.0811y1t0.8133sint0.43010.0452sint0.0811 0.8133sintcos0.4301sin(0.4301)cost0.0452sintcos0.0811sin(0.0811)cost 0.6942sint0.3428cost 0.7742sintb1mm y1tmax0.7742mm（竖直方向）

y2t0.3369sint0.43010.1092sint0.0811 0.3369sintcos0.4301sin(0.4301)cost0.1092sintcos0.0811sin(0.0811)cost 0.4150sint0.1316cost 0.4354sintb2mm y2tmax0.4354mm（水平方向）

10-37 为什么工程上特别关注体系的基本频率和较低的若干个自振频率？当用基于能量原理的近似法求上述自振频率时，所设的位移函数应满足什么条件？如此求得的自振频率的精度取决于什么？它们与精确值之间的关系如何？

10-38 试用基于能量原理的近似法求图示梁的基本频率。

(a) (b)

m EI l

题10-38图

10-39 试用瑞利－里兹法求图示变截面悬臂梁的第一和第二自振频率及其相应的主振型。已知梁的x截面厚度为b；高度按直线规律变化，为h(x)h0(1)；设梁单位面积范围内的质量为。设振型函数

lxxx为Y(x)a1(1)2a2(1)2。

lllm l2m EI l2

y

A2，I2

h(x) h0 A1，I1

x 6m

A1，I1

x l

题10-39图 题10-40图

10-40 用有限单元法计算图示具有分布质量刚架的第一和第二自振频率及其相应的主振型。已知弹性模量E=2500kN/cm2，材料密度＝0.0025kg/cm3；柱子的横截面面积A1=100cm2，惯性矩I1=833.33cm4；梁的横截面面积A2=150cm2，惯性矩I2=2812.50cm4。

4m