2019-2020学年吉林省长春十一中高二（上）期中
数 学 试 卷 （理科）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1．若直线l经过点
和B（1，0），则直线l的倾斜角为（ ）
A．0° B．60° C．90° D．不存在
2．抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程是（ ） A．
3．若焦点在x轴上的椭圆A．
4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（ ） A．x+2y﹣5=0
5．点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（ ） A．﹣2＜a＜1
6．已知双曲线
，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（ ）
B．a＜﹣2或a＞1 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞2 B．2x+y﹣4=0
C．x+3y﹣7=0
D．3x+y﹣5=0
B．
C．
D．
的离心率为，则m=（ ）
B．
C．
D．
A．0条 B．2条 C．4条 D．无数条
7．经过直线（ ） A．
8．已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线则C的标准方程为（ ）
垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，
B．
C．
D．
上的点P，向圆O：x2+y2=1引切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为
......
......
A．
B． C． D．
9．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（ ）
A．2
B．6 C．3 D．2
10．已知圆O：x2+y2=1，点M（x0，y0）是直线上x﹣y+2=0一点，若圆O上存在一点N，使得∠NMO=则x0的取值范围是（ ） A．[﹣2，0] B．（0，3） C．[2，4]
D．（﹣1，3）
，
11．已知点A（4，3），P是双曲线x2﹣y2=2右支上一点，F为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值是（ ） A．
12．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为则双曲线C2的离心率为（ ） A．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．抛物线y2=5x上的两点A，B到焦点的距离之和是10，则线段AB的中点到y轴的距离是 ．
B．
C．
D．
，双曲线C2的方程为
，C1与C2的离心率之积为
，
B．
C．
D．
14．设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为 ．
......
......
15．若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 ．
16．已知点P是椭圆16x2+25y2=400上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF2的斜率为
三.解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分. 17．已知△ABC的三个顶点的坐标为A（1，1），B（3，2），C（5，4） （1）求边AB上的高所在直线的方程；
（2）若直线l与AC平行，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l与两条坐标轴围成的三角形的周长．
18．已知圆C的半径为1，圆心C在直线3x﹣y=0上． （Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为
，求圆C的标准方程；
，则△PF1F2的面积为 ．
（Ⅱ）设点A（0，3），若圆C上总存在两个点到点A的距离为2，求圆心C的横坐标a的取值范围．
19．如图，已知抛物线C：x2=2py（0＜p＜4），其上一点M（4，y0）到其焦点F的距离为5，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B左、右两点． （Ⅰ）求抛物线C的标准方程； （Ⅱ）若
，求直线l的方程．
20．直线l过点M（2，1），且与椭圆
交于A，B两点，O是坐标原点．
（Ⅰ）若点M是弦AB的中点，求直线l的方程； （Ⅱ）若直线l过椭圆的左焦点，求数量积
的值．
......
......
21．如图，直线y=kx+b与椭圆
=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．
（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值； （Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．
22．已知动圆Q过定点A（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4． （Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知点P（﹣2，1），动直线l和坐标轴不垂直，且与轨迹C相交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一定点G，使直线l过点G，且使得直线PA，PG，PB的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G的坐标；否则，请说明理由．
......
......
2015-2016学年吉林省长春十一中高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1．若直线l经过点
和B（1，0），则直线l的倾斜角为（ ）
A．0° B．60° C．90° D．不存在 【考点】直线的倾斜角． 【专题】数形结合；直线与圆．
【分析】由于AB⊥x轴，可得倾斜角α=90°．
【解答】解：设直线l的倾斜角为α，α∈[0°，180°）， ∵AB⊥x轴， ∴α=90°． 故选：C．
【点评】本题考查了垂直于x轴的直线的倾斜角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先将抛物线化为标准方程形式，进而根据抛物线的性质得到准线方程． 【解答】解：抛物线y=ax2（a≠0）的标准方程为：x2=y， 其准线方程为：y=﹣故选：D
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的性质是解答的关键．
3．若焦点在x轴上的椭圆A．
B．
C．
D．
的离心率为，则m=（ ）
，
【考点】椭圆的简单性质．
......
......
【专题】计算题．
【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案． 【解答】解：由题意，则
，
化简后得m=1.5， 故选A
【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．
4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（ ） A．x+2y﹣5=0
B．2x+y﹣4=0
C．x+3y﹣7=0
D．3x+y﹣5=0
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系． 【专题】计算题．
【分析】先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．
【解答】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为
y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选A．
【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．
5．点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（ ） A．﹣2＜a＜1
B．a＜﹣2或a＞1 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞2
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜率． 【专题】转化思想；不等式的解法及应用；直线与圆．
【分析】点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，可得（﹣1+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，解出即可得出．
【解答】解：∵点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧， ∴（﹣1+0﹣a）（1+1﹣a）＜0， 化为（a+1）（a﹣2）＜0， 解得﹣1＜a＜2， 故选：C．
......
......
【点评】本题考查了线性规划的应用、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．已知双曲线
，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（ ）
A．0条 B．2条 C．4条 D．无数条 【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】讨论直线的斜率不存在和存在，可设直线l：y=kx，代入双曲线的方程，讨论二次项的系数为0，大于0，小于0，判断方程的解的情况，进而判断直线和双曲线的交点情况． 【解答】解：若直线l的斜率不存在时，显然直线与双曲线无交点； 若直线的斜率存在时，可设直线l：y=kx， 代入双曲线的方程，可得（1﹣4k2）x2=4，①
当1﹣4k2=0，即有k=±，直线为渐近线，显然与双曲线无交点；
当1﹣4k2＞0，即有﹣＜k＜时，方程①有两解，直线与双曲线有两个交点； 当1﹣4k2＜0，即有k＜﹣或k＞时，方程①无解，直线与双曲线无交点． 综上可得符合条件的直线不存在． 故选A．
【点评】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于基础题．
7．经过直线（ ） A．
B．
C．
D．
上的点P，向圆O：x2+y2=1引切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为
【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程． 【专题】数形结合；分析法；直线与圆．
【分析】要使|PA|最小，只有|OP|最小，利用点到直线的距离公式求得|OP|的最小值d，利用勾股定理可得|PA|的最小值．
【解答】解：要使|PA|最小，只有|OP|最小，如图所示： 而|OP|的最小值，即为原点O到直线由于d=
=2，
的距离d，
......
......
故|PA|的最小值为故选：C．
==，
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体出了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．
8．已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线则C的标准方程为（ ） A．
B．
C．
D．
垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】可设双曲线的标准方程为出这条渐近线的斜率，从而得到
，从而可得出渐近线方程，根据一条渐近线和l垂直，可以求
，而根据焦点到l的距离为3可以求出c=
，再根据c2=a2+b2便
可求出a2，b2，从而得出双曲线C的标准方程． 【解答】解：设双曲线的标准方程为：∴渐近线方程为，直线l的斜率为∴
；
；
；
；
又（0，c）到直线l的距离为3； ∴
；
......
......
∴；
∴a2+b2=3b2+b2=12； ∴b2=3，a2=9； ∴C的标准方程为故选：A．
【点评】考查双曲线的标准方程，根据双曲线的标准方程可以求出其渐近线方程，相互垂直的直线的斜率的关系，以及点到直线的距离公式，c2=a2+b2．
9．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（ ）
．
A．2 B．6 C．3 D．2
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程． 【专题】转化思想；直线与圆．
【分析】设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．
【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″（a，b）
∴，解得，
∴光线所经过的路程|P′P″|=2故选A．
，
【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|P′P″|的长度，属于中档题．
......
......
10．已知圆O：x2+y2=1，点M（x0，y0）是直线上x﹣y+2=0一点，若圆O上存在一点N，使得∠NMO=则x0的取值范围是（ ） A．[﹣2，0] B．（0，3） C．[2，4] 【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】数形结合；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】过M作⊙O切线交⊙C于R，则∠OMR≥∠OMN，由题意可得∠OMR≥M（x0，2+x0），求得x0的取值范围．
【解答】解：过M作⊙O切线交⊙C于R，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN． 反过来，如果∠OMR≥
，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=
，则∠OMR≥
．
．
D．（﹣1，3）
，
，|OM|≤2．再根据
∴若圆O上存在点N，使∠OMN=
∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2．
又∵M（x0，2+x0），|OM|2=x02+y02=x02+（2+x0）2=2x02 +4x0+4， ∴2x02+4x0+4≤4，解得，﹣2≤x0≤0． ∴x0的取值范围是[﹣2，0]， 故答案为：[﹣2，0]．
【点评】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考察了学生的转化能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
11．已知点A（4，3），P是双曲线x2﹣y2=2右支上一点，F为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】双曲线的简单性质．
......
......
【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意得 右焦点F（2，0），左焦点为 F′（﹣2，0），由双曲线的定义可得|PF′|﹣|PF|=2a=2故|PF|+|PA|=|PF′|﹣2
+|PA|≥|AF′|﹣2
，运算求得结果．
，
【解答】解：由题意得右焦点F（2，0），左焦点为 F′（﹣2，0）， 由双曲线的定义可得|PF′|﹣|PF|=2a=2|PF|+|PA|=|PF′|﹣2故选：B
【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到|PF|+|PA|=|PF′|﹣2
12．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为，则双曲线C2的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．
，双曲线C2的方程为
，C1与C2的离心率之积为
+|PA|≥|AF′|﹣2
，是解题的关键
，
=
﹣2
=3
﹣2
，
+|PA|≥|AF′|﹣2
【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求出双曲线C2的离心率． 【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为
，
∴C1的离心率为：
，
双曲线C2的方程为
，
∴C2的离心率为：∵C1与C2的离心率之积为∴
•
=，
， ，
，
∴（）2=，即=
......
......
则C2的离心率：故选：D
=，
【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率的求法，基本知识的考查，难度中档．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．抛物线y2=5x上的两点A，B到焦点的距离之和是10，则线段AB的中点到y轴的距离是 【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；数形结合；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离． 【解答】解：∵F是抛物线y2=5x的焦点 F（，0），准线方程x=﹣， 设A（x1，y1），B（x2，y2） ∴|AF|+|BF|=x1++x2+=10， 解得x1+x2=
，
．
．
．
∴线段AB的中点横坐标为：
∴线段AB的中点到y轴的距离是故答案为：
．
【点评】本题考查抛物线的基本性质，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键．
14．设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为 ﹣6 ．
【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出最优解，利用数形结合即可得到结论．
......
......
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=x+y得y=﹣x+z，则直线截距最大时，z也最大． 平移直线y=﹣x+z由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时， 直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为12， 即x+y=12， 由∴k=6，
当直线y=﹣x+z经过点A时，
直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小， 由
，即
，即A（﹣12，6），
，得
，即B（6，6），此时B也在直线y=k上，
此时z=x+y=﹣12+6=﹣6， 故答案为：﹣6
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．
15．若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 （﹣，0）∪（0，
） ．
【考点】直线与圆相交的性质． 【专题】计算题．
......
......
【分析】把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，直线过定点（﹣1，0），当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，根据圆心到直线的距离d=
=r=1，求出m的值，数形结合求出实数m的取值范围．
【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得： （x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1； C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0， 由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0）， 在平面直角坐标系中画出图象如图所示： 当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时， 圆心到直线的距离d=化简得：m2=，m=±
．
，0）
=r=1，
则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣∪（0，
），
，0）∪（0，
）．
故答案为：（﹣
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
16．已知点P是椭圆16x2+25y2=400上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF2的斜率为
，则△PF1F2的面积为 8
．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；分析法；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．
......
......
【分析】求得椭圆的a，b，c，可得右焦点，由直线PF2的方程：y=﹣2
（x﹣3），代入椭圆方程，求得
P的坐标，注意舍去横坐标大于3的点，再由三角形的面积公式计算即可得到所求． 【解答】解：椭圆16x2+25y2=400即为 +
=1，即有a=5，b=4，c=3，
右焦点F2（3，0），
由P在x轴上方，且直线PF2的斜率为可得P的横坐标小于3， 由直线PF2的方程：y=﹣2
（x﹣3），
，
代入椭圆方程可得，27x2﹣150x+175=0， 解得x=（
＞3，舍去），
（﹣3）=
=8， ．
即有P的纵坐标为y=﹣2
则则△PF1F2的面积为•|F1F2|•yP=3•故答案为：8
．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题．
三.解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分. 17．已知△ABC的三个顶点的坐标为A（1，1），B（3，2），C（5，4） （1）求边AB上的高所在直线的方程；
（2）若直线l与AC平行，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l与两条坐标轴围成的三角形的周长．
【考点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【专题】直线与圆．
【分析】（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得边AB上的高所在直线的斜率，再利用点斜式即可得出；
（2）设直线l的方程为：的直线斜率相等的性质可得
，即
，解得即可．
，利用斜率计算公式可得
，再利用相互平行
......
......
【解答】解：（1）∵，
∴边AB上的高所在直线的斜率为﹣2， 又∵直线过点C（5，4），
∴直线的方程为：y﹣4=﹣2（x﹣5），即2x+y﹣14=0． （2）设直线l的方程为：∵
，∴
，解得：
，即
，
，
∴直线l的方程为：．
∴直线l过点，三角形斜边长为
．
∴直线l与坐标轴围成的直角三角形的周长为
【点评】本题综合考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、相互平行的直线斜率之间的关系、直线的方程、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
18．已知圆C的半径为1，圆心C在直线3x﹣y=0上． （Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为
，求圆C的标准方程；
（Ⅱ）设点A（0，3），若圆C上总存在两个点到点A的距离为2，求圆心C的横坐标a的取值范围． 【考点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系． 【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆． 【分析】（Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为
，利用勾股定理，即可求圆C的标准方程；
（Ⅱ）由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）因为圆心C在直线3x﹣y=0上，所以设圆心C的坐标为（a，3a）， 因为圆C的半径为1，圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为所以圆心C到直线x﹣y+3=0的距离
， ，
又，所以，
解得a=1或a=2，所以圆心C的坐标为（1，3）或（2，6）．
所以圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=1或（x﹣2）2+（y﹣6）2=1． （Ⅱ）设圆A：x2+（y﹣3）2=4，由（Ⅰ）设圆心C的坐标为（a，3a）．
......
......
由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围，即：由由所以
或
整理得5a2﹣9a+4＞0，解得整理得5a2﹣9a＜0，解得．
或a＞1； ．
，
【点评】本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．
19．如图，已知抛物线C：x2=2py（0＜p＜4），其上一点M（4，y0）到其焦点F的距离为5，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B左、右两点． （Ⅰ）求抛物线C的标准方程； （Ⅱ）若
，求直线l的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）利用点在曲线上，以及抛物线的定义，列出方程求解即可． （Ⅱ）利用方程组解即可．
，设A（x1，y1），B（x2，y2），通过韦达定理x1+x2，x1x2，利用
，求
【解答】解（Ⅰ）由题意，
，解得p=2或p=8，由题意0＜p＜4，所以p=2，y0=4．
所以抛物线标准方程为x2=4y．
（Ⅱ）抛物线的焦点坐标（0，1）直线l的方程的方程为：y=kx+1， 解方程组
，消去y，得x2﹣4kx﹣4=0，
显然△=16k2+16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k①，x1x2=﹣4②
......
......
又，所以
，由题意，．
，即x2=﹣2x1③
由①②③消去x1，x2，得故直线l的方程为
【点评】本题考查抛物线方程的求法，仔细与抛物线的综合应用，考查计算能力．
20．直线l过点M（2，1），且与椭圆
交于A，B两点，O是坐标原点．
（Ⅰ）若点M是弦AB的中点，求直线l的方程； （Ⅱ）若直线l过椭圆的左焦点，求数量积【考点】椭圆的简单性质．
【专题】转化思想；设而不求法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，两式作差，再由中点坐标公式和直线的斜率公式，计算可得斜率，再由点斜式方程，可得所求直线方程；
（Ⅱ）求得直线FM的斜率，可得直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．
【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 代入椭圆方程得两式作差得
，
，
， 的值．
因式分解得（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0， 所以
，
即
所以l方程为：x+y﹣3=0．
，
（Ⅱ）因为F（﹣2，0），M（2，1）， 所以l斜率联立解方程组
，所以l方程为：x﹣4y+2=0，
，得9y2﹣8y﹣2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
......
......
所以，，
x1x2=（4y1﹣2）（4y2﹣2）=16y1y2﹣8（y1+y2）+4， 所以=
=x1x2+y1y2=17y1y2﹣8（y1+y2）+4
．
【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查点差法求直线方程的运用，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．
21．如图，直线y=kx+b与椭圆
=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．
（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值； （Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的简单性质． 【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；转化思想．
【分析】（Ⅰ）设出点A，B的坐标利用椭圆的方程求得A，B的横坐标，进而利用弦长公式和b，求得三角形面积表达式，利用基本不等式求得其最大值．
（Ⅱ）把直线与椭圆方程联立，进而利用弦长公式求得AB的长度的表达式，利用O到直线AB的距离建立方程求得b和k的关系式，求得k．则直线的方程可得．
【解答】解：（Ⅰ）设点A的坐标为（x1，b），点B的坐标为（x2，b）， 由所以当且仅当
，解得
=
时，S取到最大值1．
，
≤b2+1﹣b2=1．
......
......
（Ⅱ）解：由
得
△=4k2﹣b2+1，
，①
=．②
设O到AB的距离为d，则又因为
，
，
所以b2=k2+1，代入②式并整理，得解得
，
，代入①式检验，△＞0，
或
或
，
故直线AB的方程是，或．
【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
22．已知动圆Q过定点A（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4． （Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知点P（﹣2，1），动直线l和坐标轴不垂直，且与轨迹C相交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一定点G，使直线l过点G，且使得直线PA，PG，PB的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G的坐标；否则，请说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）根据动圆Q过定点A（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4，建立方程，即可求动圆圆心Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线的方程为x=ny+m，代入y2=4x，利用韦达定理，结合kPA+kPB=2kPG，即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）设Q（x，y），根据题意得
整理得y2=4x，所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是y2=4x．… （Ⅱ）设存在符合题意的定点G．
......
，…
......
设直线的方程为x=ny+m（n≠0且n∈R），则G（m，0）．… 将x=m+ny代入y2=4x，整理得y2﹣4ny﹣4m=0． 由题意得△=16n2+16m＞0，即n2+m＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4n，y1y2=﹣4m，
，，，
由题意得kPA+kPB=2kPG，即kPA+kPB﹣2kPG=0， 所以即
，…
…
把y1+y2=4n，y1y2=﹣4m代入上式， 整理得（m﹣2）n=（m+2）（2﹣m），… 又因为n∈R，所以
，解得m=2．
所以存在符合题意的定点G，且点G的坐标为（2，0）．…
【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
......
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