2018广东省珠海市高三9月摸底考试数学理卷(1)

珠海市2017-2018学年度第一学期高三摸底考试

理科数学试题

第Ⅰ卷选择题

一、选择题:本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的

1、设集合A ＝{x | 2x2x10,xR} ，集合B＝{x | lg x＜2，xR} ，则(C R A)

2017.09

B＝

111，100) B．(，2) C．［，100) D． 22222．在线段AB上任取一点P ，点 恰好满足|AP|＞｜AB |的概率是

332411 A、 B、 C、 D、

39933．对复数z＝a+bi (a，bR)，设命题 p：若z2＝8i，则a＝b＝2或a＝b＝－2；命题 q：:若z2 ＜0，则a＝0，b＝0．则下列命题中是真命题的是

A． p q B．pq C．pq D．p  q

A．(

4．S n为等比数列{an}的前n项和，a2a3a4＝42，a3a4a5＝84，则S3 ＝ A．12 B． 21 C． 36 D．48

5．定义在R上的偶函数 f (x)，满足x≥0时，f'(x)0，则关于x的不等式 f (| x |) ≤f (3) 的解集为 A、（－3,3） B、［－3,3］ C、（－，－3）（3，＋） D、（－，－3］［3，＋） 6．如图，是某几何体的三视图，则该几何体的体积是 A．11 B． 7 C．14 D．9

7．（1－

1)3+2x）6展开式的常数项值为 3（x第 1 页 共 15 页

A．5049 B、－5049 C、3591 D、－3591

8．执行右边的程序框图，输入 n=1，若要求出 3m +2m 不超过 500 的最大奇数 m 则

和两个空白框内应该填

A．A＞＝500？ 输出m B．A<＝500？ 输出m=m C．A＞＝500？ 输出m=m-2 D．A<＝500？ 输出m

9．已知曲线C1: ，则下列说法正确的是

2个单位长度，得到曲线C2 32B．把曲线C1 向右平移个单位长度，得到曲线C2

3A．把曲线C1 向左平移

个单位长度，得到曲线C2 3D．把曲线C1向右平移个单位长度，得到曲线C2

310．y2=4x，B 两点，已知抛物线 C：过点P(2直线l 的斜率为k ，0)作直线l与C 交于A、，则k 的取值范围是A

C．把曲线C1向左平移

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11．设 x，y，z 均为大于1的实数，且log2x＝log3y ＝log5z ，则 x3，y5，z2 中最小的是 A．z2

B．y5 C．x3 D．三个数相等

12．整数列{}满足

二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.

13．向量a,b的夹角为θ，

，则θ＝＿＿＿＿

14．变量x ， y 满足，则z＝x+2y 的最大值为

x2y215．以双曲线C：221(a0,b0)的右顶点 A为圆心，2 a为半径作圆，与双

ab，则双曲线C 的离心率为＿＿＿ 216．用一张16X10长方形纸片，在四个角剪去四个边长为x的正方形(如图)，然后沿虚线折

曲线右支交于P、Q二点，若∠PAQ＝

起，得到一个长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）

ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足cos2Bcos2Ccos2A

13sinBsinC．

(1)求角A的大小； (2)若a1，B3，求ABC的面积．

18. （本小题满分12分）

如图，四边形ABCD是矩形，AB3，BC1，DE2EC，PE平面ABCD，

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PE6 3(1)求证：ACPB；

(2)求二面角APBC的正切值．

PDAECB

19.（本小题满分12分）

某印刷厂的打印机每5年需淘汰一批旧打印机并购买新机，买新机时，同时购买墨盒，每台新机随机购买第一盒墨150元，优惠0元；再每多买一盒墨都要在原优惠基础上多优惠一元，即第一盒墨没有优惠，第二盒墨优惠一元，第三盒墨优惠2元，……，依此类推，每台新机最多可随新机购买25盒墨．平时购买墨盒按零售每盒200元．

公司根据以往的记录，十台打印机正常工作五年消耗墨盒数如下表：

以这十台打印机消耗墨盒数的频率代替一台打印机消耗墨盒数发生的概率，记ξ表示两台打印机5年消耗的墨盒数． (1)求ξ的分布列；

(2)若在购买两台新机时，每台机随机购买23盒墨，求这两台打印机正常使用五年在消耗墨盒上所需费用的期望．

20.（本小题满分12分）

已知曲线L1上的点到二定点F0)、F2(c，0) (c0)的距离之和为定值1(c，8|F1F2|，以F2为圆心半径为4的圆L2与L1有两交点，其中一交点为B，B在y轴正半

轴上，圆L2与x轴从左至右交于M，N二点，BNM30． (1)求曲线L1、L2的方程；

(2)曲线L3:x2y，直线x2与L1交于点P，过P点的直线l与曲线L3交于K1、K2二

20第 4 页 共 15 页

点，过K1、K2做L3的切线l1、l2，l1、l2交于D．当P在x轴上方时，是否存在点D，满足|DF1||PF1||PF2||DF2|，并说明理由．

yBMF1oF2Nx

21．（本小题满分12分） 函数f(x)xmln(1x) (1)讨论f(x)的单调性；

(2)若函数f(x)有两个极值点x1、x2，且x1x2，求证：2f(x2)x12x1ln2

请考生在22、23两题中任选一题作答；若两题全作，则按第一题给分。作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系xoy中，曲线C:2x5cosy3sin1)与直线l过点P(2，(为参数)，

曲线C交于A、B二点，P为AB中点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，以平面直角坐标系xoy的单位1为基本单位建立极坐标系．

(1)求直线l的极坐标方程；

(2)Q(x0，y0)为曲线C上的动点，求

y05的范围． x0第 5 页 共 15 页

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|2x1||x1| (1)求关于x的不等式f(x)2的解集； (2)xR，x00，使得f(x)x0

a (a0)成立，求实数a的取值范围。 x0 理科数学试题（含答案及评分参考）

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的 ．

ADABD BDCBA CC

第Ⅱ卷 非选择题

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13、

 323 314、9 15、

16、144

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 解：

(1)由cosBcosCcosA13sinBsinC 得1cos2B1cos2C(1cos2A)3sinBsinC 即sinBsinCsinA3sinBsinC

即bca3bc …………………………………………2分

222222222第 6 页 共 15 页

b2c2a23 …………………………………………4分 cosA2bc2故A6 …………………………………………6分

(2)若B362故ABC是C为直角的直角三角形 Qa1

，则由A知C …………………………………………8分

b3 …………………………………………10分 ABC的面积为3． …………………………………………12分 2

18. （本小题满分12分）

(1)证明：连接BE交AC于F

Q四边形ABCD是矩形，AB3，BC1，DE2EC

CE3 3PD2

CEBC BCABEFGCBQABCBCDAABC∽BCE

BECACB

QBECACEACBACEQPE平面ABCD

2

ACBE …………………………………………2分 ACPE …………………………………………3分

QPEIBEE

AC平面PBE …………………………………………4分 ACPB …………………………………………6分

(2)取PB中点G，连接FG，AG，CG QPE平面ABCD PEDC

QPE6 3PC1BC

CGPB …………………………………………7分

∵CG∩AC=C

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∴PB⊥平面ACG

∴AG⊥PB …………………………………………8分

∴∠AGC是二面角APBC的平面角…………………………………………9分 ∵AB∥CD，AB=CD，DE2EC ∴

CEEFCF1 ABFBFA3∵CE1，AC2 313，AF 22∴CF∵BCCD，BCPE ∴BC平面PCD

∴BCPC ∴PB2 2 21 2CG∵FGAC ∴FGFC∴RtAFG、RtCFG中，tanAGF3，tanCGF1…………………10分 ∴tanAGCtan(AGFCGF)]

tanAGFtanCGF

1tanAGFtanCGF132 …………………………………………11分 113∴二面角APBC的正切值为2． …………………………………………12分 

19.（本小题满分12分） 解：

45，46，47，48，49，50…………………………………………1分 (1)=44，由题设可知，一台打印机在5年内消耗墨盒数为22，23，24，25的概率分别为

122，，，10551， …………………………………………2分 10且每台机消耗墨盒数发生的事件是相互独立事件．故

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P(44)P(P(P(P(P(P(111 101010012245)2

105251222646)2

105552511221747)22

101055501222648)2

105552521249)2

5102511150)

1010100

故ξ的分布列为 ξ P 44 45 46 47 48 49 50 1 1002 256 2517 506 252 251 100…………………………………………6分

(2)记y表示在题设条件下，购买2台新机使用五年在消耗墨盒上所需的费用（单位：元） 若在购买两台新机时，每台机随机购买23盒墨，则需付款

22231)6394…………………………………………8分 2126176)(6394200)(63942200) 则Ey6394(1002525502521(63943200)(63944200)6614………………………11分

25100150462(230答：这两台打印机正常使用五年所需购买墨盒的费用的期望为6614元．

…………………………………………12分

20.（本小题满分12分）

解：

(1)由题设知，曲线L1是定点F0)、F2(c，0)为焦点的椭圆 1(c，x2y2设L1:221(ab0) …………………………………………1分

ab则2a8，即a4 …………………………………………2分 则|F2B|4，|MN|8，|OB|b ∵MBN90，BNM30

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00

∴|BM|1|MN|4|BF2| 2∴M即F1 …………………………………………3分 ∴2c|F1F2||MF2||F2B|4

∴c2，b23，F2(2，0) …………………………………………5分

x2y21 …………………………………………6分 ∴L1:1612L2:(x2)2y216 …………………………………………7分

(2)存在点D(x0，y0)，满足|DF1||PF1||PF2||DF2|．下面证明之． 由题设知，L3:y12x得yx 23) 又知P(2，设点K1(x1，y1)，K2(x2，y2) 则l1:yx1(xx1)y1

l2:yx2(xx2)y2

∵y112x1 212x1x1xy1…………………………8分 2∴l1:yx1(xx1)y1x1x∵l1、l2交于D ∴Dl1 ∴x1x0y1y0 同理x2x0y2y0

∴K1、K2在直线x0xyy0上

∴l:x0xyy0 …………………………………………9分

3)在l上 ∵P(2，∴2x03y0

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即点D为直线l:y2x3上的点

由|DF1||PF1||PF2||DF2|得|DF1||DF2||PF1||PF2| 知D为椭圆L1上的点

即D为椭圆L1和直线l的公共点．…………………………………………11分

332020)坐标代入L1方程左端得1 将(，2416120)在椭圆L1内部 即l上的点(，∴l与椭圆L1必有二公共点

∴必存在两个满足题设条件的点D．…………………………………………12分 21．（本小题满分12分）

32) 解：f(x)的定义域是(1，2x22xmf(x)

1x(1)由题设知，1x0

令g(x)2x22xm，这是开口向上，以x在x1时 ① 当g()1为对称轴的抛物线． 21211

m0，即m≥时，g(x)0，即f(x)0在(1，)上恒成立． 22

…………………………………………1分

②当g()1211112m2m0，即m时，由g(x)2x2xm0得x 2222令x1则x1112m112m，x2 222211，x2 …………………………………………2分 221) 当x1112m12m11即，即m0时， 22221xx2时，g(x)0，即f(x)0

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xx2时，g(x)0，即f(x)0…………………………………………3分

2) 当1x11112m112m1时，即0，即0m时

222222x1xx2时，g(x)0，即f(x)0

1xx1或xx2时，g(x)0，即f(x)0…………………………………………4分

综上，

112m112mm0时，f(x)在(1，)上单减，在(，)上单增；

2222…………………………………………5分

0m1112m112m112m时，f(x)在(在(1，，)上单减，)和2222222112m(，)上单增； …………………………………………6分 221m≥时，f(x)在(1，)上单增． …………………………………………7分

2 (2)若函数f(x)有两个极值点x1、x2，且x1x2 则必是0m1112m1，则0，则1x1x20， 2222且f(x)在(x1，x2)上单减，在(1，x1)和(x2，)上单增，

则f(x2)f(0)0 …………………………………………8分

Qx1、x2是g(x)2x22xm0的二根

x1x21m，即x11x2，m2x1x2 …………………………………9分

x1x22若证2f(x2)x12x1ln2成立，只需证

2f(x2)2x222mln(1x2)2x224x1x2ln(1x2)

22x24(1x2)x2ln(1x2)(1x2)2(1x2)ln2

1x22(1x2)ln2

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2即证2x24(1x2)x2ln(1x2)(1x2)(12ln2)0对1x20恒成立 ……10分 2设(x)2x4(1x)xln(1x)(1x)(12ln2)(21x0) 2(x)4(12x)ln(1x)ln

当4e14x0时，12x0，ln(1x)0，ln0 2e故(x)0

12111111故(x)()24()ln(12ln2)0 …………………11分

242222124(1x2)x2ln(1x2)(1x2)(12ln2)0对x20恒成立 2x220)上单增 故(x)在(，2f(x2)x12x1ln2 …………………………………………12分

请考生在22、23两题中任选一题作答；若两题全作，则按第一题给分。作答时，请用2B

铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 解：

(1) 设直线l的参数方程为l:x2tcos(t为参数，为l的倾斜角)，A、B二点对

y1tsin应的参数分别为t1，t2 …………………………………………1分

x2y2C的普通方程为1 …………………………………………2分

259l与C的方程联立得(16sin29)t22(25sin18cos)t1640 “”“”则t1，t2为的二根

2(25sin18cos)0， …………………………………………3分

16sin2918得l的斜率k …………………………………………4分

25则t1t2故l的普通方程为18x25y610

l的极坐标方程为18cos25sin610； ……………………………5分

3sin) ………………………6分 (2)QQ为曲线C上的动点，故设Q(5cos，第 13 页 共 15 页

令ky053sin5 …………………………………………7分 x05cos5ksin525k29得sin()，其中………………………8分

2325k9cos25k29525k921

得k44或k …………………………………………9分 55

44y05][，)． …………………………………………10分 的范围(，55x023．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：

3x(1)Qf(x)|2x1||x1|x23xx121x1 ………………………3分 2x111xx1x1f(x)2等价于或或 …………………………4分 223x23x2x22解得x2或x0 323][0，+)． ……………………………5分 不等式f(x)2的解集为(，(2)xR，x00，使得f(x)|2x1||x1|x0a (a0)成立 x013Qx时，3x

2213x1时，x23 22x1时，3x3

3f(x)min …………………………………………7分

2第 14 页 共 15 页

Qx00时，x0a2a …………………………………………8分 x0a (a0)成立 x0xR，x00，使得f(x)|2x1||x1|x0须2a3， …………………………………………9分 2即0a916

a的取值范围(0，916]．

…………………………………………10分第 15 页 共 15 页