(2021年整理)点线面位置关系(知识点加典型例题)

（完整）点线面位置关系(知识点加典型例题)

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2。1空间中点、直线、平面之间的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点

重点：空间直线、平面的位置关系.

难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 2、三个公理:

(1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

符号表示为

A∈L

B∈L => L α ，A∈α ,B∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内

（2）公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.·

α

A

C ·

·

B

A α ·

L

符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A∈α、B∈α、C∈α。 公理2作用:确定一个平面的依据。

推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面

②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面

（3）公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条

过该点的公共直线.

β 符号表示为:P∈α∩β =〉α∩β=L，且P∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 (4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行

α · L P （完整）点线面位置关系(知识点加典型例题)

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等．

2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ的范围是 0〈θ≤90 2。1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系:

相交直线:同一平面内，有且只有一个公共点；

共面直

0

0

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据.

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点：

① a’与b’所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；

② 两条异面直线所成的角θ∈(0，)； 2=>a∥c

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

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⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2。1.3 — 2。1。4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系:

(1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —- 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α

针对性练习：

1。若直线a不平行于平面,则下列结论成立的是( ）

A. 内所有的直线都与a异面； B. 内不存在与a平行的直线； C. 内所有的直线都与a相交； D.直线a与平面有公共点. 2。已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线;

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③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面。 其中正确的个数是( ) A。3 B。2 C.1 D。0 3。空间四边形ABCD中，若ABADACCBCDBD,则AC与BD所成角为 A、30 B、45 C、60 D、90

00004。 给出下列命题:

（1）直线a与平面不平行,则a与平面内的所有直线都不平行； (2）直线a与平面不垂直，则a与平面内的所有直线都不垂直； （3）异面直线a、b不垂直,则过a的任何平面与b都不垂直； (4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面

其中错误命题的个数为（ ） (A）0 (B） 1 (C）2 （D）3 5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（ ）条 A 3 B 4 C 6 D 8

6. 点P为ΔABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是ΔABC的（ ） （A）内心 （B）外心 （C)重心 （D)垂心

7.如图长方体中，AB=AD=2

3,CC1=2，则二面角

A1

D1

B1

D A B C1

C1—BD—C的大小为（ ）

（A）30 （B）45 (C）60 (D）90

0

0

0

0

C 8.直线a,b,c及平面α,β,γ,下列命题正确的是（ ） A、若aα，bα,c⊥a， c⊥b 则c⊥α B、若bα, a//b 则 a//α

C、若a//α,α∩β=b 则a//b D、若a⊥α, b⊥α 则a//b 9.平面与平面平行的条件可以是( ）

A。内有无穷多条直线与平行; B.直线a//,a//

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C.直线a，直线b，且a//,b// D。内的任何直线都与平行

10、 a， b是异面直线，下面四个命题：

①过a至少有一个平面平行于b； ②过a至少有一个平面垂直于b; ③至多有一条直线与a，b都垂直；④至少有一个平面与a，b都平行。 其中正确命题的个数是（ ）Ａ ０ Ｂ １ Ｃ ２ Ｄ ３

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分)

11.已知直线a//平面，平面//平面，则a与的位置关系为 。

12．已知直线a⊥直线b， a//平面为 。

13如图,ABC是直角三角形，ACB=90，PA平面ABC，此图形中有 个直角三角形

14.α、β是两个不同的平面,m、n是平面α及β之外的两条不同直线， P 给出四个论断：

① m ^ n ②α^β ③ m ^β ④ n ^α

A

B C ，则b与

的位置关系

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为 正确的一个命题：______________________________________。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

15．如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC 求证：AB⊥BC

A

C P

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16．在三棱锥S-ABC中,已知AB=AC，O是BC的中点，平面SAO ⊥平面

ABC

求证：∠SAB=∠SAC

A

B S

C O 17．如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC=2(1）求证:平面AEF⊥平面PBC；

（2）求二面角P—BC-A的大小;（3）求三棱锥P—AEF的体积.

P

A

F E C B

参考答案

1。D；2.C;3。D；4.D；5.C;6。B;7。A；8。D；9.D；10。C

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11。平行或在平面内； 12. 平行或在平面内； 13.4; 14.若②③④则① 17。（2）45°

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行，则线面平行。 符号表示:

a α

b β => a∥α a∥b

2。2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

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符号表示：

a β a∩b = P β∥α b β a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；

（3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2。3 - 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为:线面平行则线线平行。 符号表示:

a∥α

a β a∥b α∩β= b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示：

α∥β

α∩γ= a a∥b β∩γ= b

作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

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练习巩固：

1、若两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面内的直线( d ) A.平行 B。异面 C.相交 D.平行或异面 2、下列结论中，正确的有（ a )

①若aα，则a∥α ②a∥平面α，bα则a∥b

③平面α∥平面β，aα，bβ，则a∥b ④平面α∥β，点P∈α,a∥β,且P∈a，则aα

A.1个 B.2个 C。3个 D.4个

3、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是（ ） A。平行 B。相交 C.在内 D.不能确定

4、a,b是两条异面直线,A是不在a,b上的点，则下列结论成立的是（ d ） A。过A有且只有一个平面平行于a，b B.过A至少有一个平面平行于a,b

C.过A有无数个平面平行于a,b D.过A且平行a，b的平面可能不存在

5、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α，则b与α的位置关系是( ） A.b∥α B。bα

C。b与α相交 D。以上都有可能 6、下列命题中正确的命题的个数为( a ）

①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α; ③若直线a∥b,直线bα，则a∥α;④若直线a∥b,b平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线。

A.1 B.2 C。3 D。4 7、下列命题正确的个数是（ a ） (1）若直线l上有无数个点不在α内,则l∥α

(2)若直线l与平面α平行，l与平面α内的任意一直线平行

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（3）两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行 (4)若一直线a和平面α内一直线b平行，则a∥α A。0个 B.1个 C.2个 D.3个

8、已知m、n是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题：其中真命题是d

①若m⊥α,m⊥β，则α∥β; ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β; ③若mα,nβ，m∥n,则α∥β； ④若m、n是异面直线，mm∥β,nβ,n∥α，则α∥β.

A。①和② B.①和③ C.③和④ D.①和④

9、长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1中点，F为BB1中点,与EF平行的长方体的面有( c ）

A.1个 B。2个 C.3个 D。4个

10、对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ,使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ;③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l,M,使得l∥α，l∥β，M∥α，M∥β。 其中可以判断两个平面α与β平行的条件有（ b）

A。1个 B。2个 C.3个 D.4个 二、填空题 【共4道小题】

1、在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=，过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ=_________.

参考答案与解析:解析：由线面平行的性质定理知MN∥PQ(∵MN∥平面AC，PQ=平面PMN∩平面AC，∴MN∥PQ).易知DP=DQ=

.故

。 答案：

α，

2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是__________。

参考答案与解析：共线或在与已知平面垂直的平面内

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3、若直线a和b都与平面α平行，则a和b的位置关系是__________. 参考答案与解析：相交或平行或异面

4、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1与过点A,C，E的平面的位置关系是_________.

参考答案与解析：解析:如图所示,连结BD，设BD∩AC=O,连结BD1，在△BDD1中,E为DD1的中点，O为BD的中点, ∴OE为△BDD1的中位线.∴OE∥BD1. 又

平面ACE，OE平面ACE，∴BD1∥平面ACE。答案:平行

三、解答题 【共3道小题】

1、如图,直线AC,DF被三个平行平面α、β、γ所截. ①是否一定有AD∥BE∥CF； ②求证：

。

参考答案与解析：解析：①平面α∥平面β，平面α与β没有公共点，但不一定总有AD∥BE。 同理不总有BE∥CF。

②过A点作DF的平行线，交β，γ于G，H两点，AH∥DF。过两条平行线AH，DF的平面，交平面α,β,γ于AD，GE,HF。根据两平面平行的性质定理，有AD∥GE∥HF。

AGED为平行四边形。∴AG=DE.

同理GH=EF。

又过AC,AH两相交直线之平面与平面β,γ的交线为BG,CH。根据两平面平行的性质定理，有BG∥CH。 在△ACH中，

.而AG=DE，GH=EF，∴

。

2、如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点。

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求证：SA∥平面MDB.

参考答案与解析:解析:要说明SA∥平面MDB,就要在平面MDB内找一条直线与SA平行,注意到M是SC的中点,于是可找AC的中点，构造与SA平行的中位线,再说明此中位线在平面MDB内，即可得证.

证明：连结AC交BD于N,因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点。又因为M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB。

3、如图,已知点M、N是正方体ABCD—A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形

ABCD的中心，

求证：MN∥平面PB1C。

参考答案与解析:证明:如图,连结AC，

则P为AC的中点，连结AB1, ∵M、N分别是A1A与A1B1的中点，∴MN∥AB1。 又∵

平面PB1C,

平

B E A F H G C D 面PB1C，故MN∥面PB1C。

4、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点,求证:EF//平面BB1D1D．

答案：证明:如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB， 11∵OF 平行且等于B1C1，BE平行且等于B1C1， 22A1 D1 F B1 C1 ∴OF 平行且等于BE,则OFEB为平行四边形, ∴EF//BO．

D1 A1 F O B1 C1 ∵EF平面BB1D1D,BO平

D C 面BB1D1D,

∴EF//平面BB1D1D．

A B E D C A B E （完整）点线面位置关系(知识点加典型例题)

5、如图,在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M,N分别是AB,PC的中点． 求证：MN//平面PAD．

答案：证明：如图，取CD的中点E，连接NE，∵M，N分别是AB，PC的中点， ∴NE//PD，ME//AD,

可证明NE//平面PAD,ME//平面PAD． 又NEMEE,

∴平面MNE//平面PAD，

又MN平面MNE，∴MN//平面PAD．

ME

P N D E C A M B （完整）点线面位置关系(知识点加典型例题)

2。3.1直线与平面垂直的判定

1、定义

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图,直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足。

L p

α

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点： a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直\"互相转化的数学思想。

2。3。2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭 l β

B α

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2、二面角的记法：二面角α-l-β或α—AB—β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3 — 2.3。4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

一 选择题

1。 已知直线a，b和平面,有以下四个命题：

若a//，a//b,则b//; 若a,bA，则与b异面； 若

，b，则

； 若

，

，则b//．

其中真命题的个数是（ ） Ａ．

Ｂ．

Ｃ．2

Ｄ．

②若m，③若m//,2. 已知直线l平面，有以下几个判断:①若ml，则m//；则m//l；

则ml；④若m//l，则m．上述判断中正确的是（ ） Ａ．①②③

Ｂ．②③④

Ｃ．①③④

Ｄ．①②④

3. 已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线． ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线． ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．

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其中正确的个数是( ） A．３

Ｂ．２

Ｃ．１

Ｄ．０

4. 在正方形ABCD中，E，F分别是AB及BC的中点，M是EF的中点,沿DE，DF及EF把重合后的点记作P,那么在四面体PDEF△DAE，△DFC,△EBF折起使A,B，C三点重合，中必有（ )

Ａ．DP面PEF Ｂ．DM面PEF Ｃ．PM面DEF Ｄ．PF面DEF 5. 直线a不垂直于平面,则内与a垂直的直线有（ ) Ａ．0条

Ｂ．1条

Ｃ．无数条

Ｄ．内所有直线

6. 已知三条直线m,n，l，三个平面，，．下面四个命题中，正确的是（ ）

Ａ．//

Ｃ．

m//m//n n//

m//Ｂ．l

lm Ｄ．

mm//n n7。 在空间四边形ABCD中，若ABBC，ADCD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是（ ）

Ａ．平面ABD平面BDC Ｃ．平面ABC平面ADC

Ｂ．平面ABC平面ABD Ｄ．平面ABC平面BED

8. ，，，是四个不同平面，若，，，，则（ ） Ａ．//且// Ｂ．//或//

Ｃ．这四个平面中可能任意两个都不平行 Ｄ．这四个平面中至多有一对平面平行 9。 设a，b是异面直线，下列命题正确的是（ ） Ａ．过不在a，b上的一点P一定可以作一条直线和a,b都相交 Ｂ．过不在a，b上的一点P一定可以作一个平面和a，b垂直 Ｃ．过a一定可以作一个平面与b垂直 Ｄ．过a一定可以作一个平面与b平行

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10. 设平面平面，且那么a与b（ ）

l，直线a，直线b，且a不与l垂直，b不与l垂直，

Ａ．可能垂直,不可能平行 Ｂ．可能平行，不可能垂直 Ｃ．可能垂直,也可能平行 Ｄ．不可能垂直，也不能垂直

二 填空题

11已知直线a，b和平面，且ab,a,则b与的位置关系是___________．

12。 ，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断:

①mn；②；③n;④m．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，

写出你认为正确的一个命题__________．

13。 设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点且有PAPC,PBPD，则PO与平面ABCD的关系是_____________．

14。 设三棱锥PABC的顶点P在底面ABC内射影O（在△ABC内部，即过P作PO底面，且到三个侧面的距离相等，则O是△ABC的______心。 ABC，交于O）

4、如图所示，AB是圆O的直径,C是异于A，B两点的圆周 P上的任意一点,PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC， △ABC,△PBC中，直角三角形的个数是_________．

AOB三 解答题

16已知平面，，满足，，

Cl，求证：l．

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17. 如图，已知平面，，直线a满足，a，a，试判断直线a与平面的位置关系并证明．

 b

a



18. 如图所示,ABCD为正方形，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SA平面ABCD，SC,SD于E，F,G．

求证:AESB，AGSD．

S F G D A E C B

19. 如图所示,四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，AEPD，EF//CD，AMEF．

求证：MF是异面直线AB与PC的公垂线．

P

E A F D M （完整）点线面位置关系(知识点加典型例题)

20。 如图,直角△ABC所在平面外一点S,且SASBSC,点D为斜边AC的中点． （1)求证：SD平面ABC；

（2)若ABBC，求证：BD面SAC．

S A D C B

21。 如图所示，平面平面，l，在l上取线段AB4，AC,BD分别在平面和

平面内，且ACAB,DBAB，AC3，BD12，求CD长．

 C B A l  D

答 案 一 选择题 BBBAC；DDBDB

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二 填空题

11.b//或b

12.（2）（3）(4）（1）或（1）（3）(4）(2） 13.垂直 14.内心 15.4

三 解答题

16解：在平面内做两条相交直线分别垂直于平面，与平面的交线，再利用面面垂直的性质定理证直线l平面．

17解：在内作垂直于与交线的直线b，因为，所以b．因为a，所以a//b．又因为a，所以a//．即直线a与平面平行．

18答案:证明：∵SA平面ABCD,∴SABC．又ABBC，∴BC平面SAB．

∵AE平面SAB,∴BCAE，∵SC平面AEFG，∴SCAE，AE平面SBC，∴AESB．同

理AGSD．

19答案：证明：∵PA底面，∴PAAB．已知ABAD，∴AB面PAD．∴BAAE．又AM//CD//EF，且AMEF．∴AEFM是矩形,∴AMMF．

又∵AEPD,AECD，∴AE平面PCD．又MF//AE,∴MF平面PCD． ∴MFPC．∴MF是异面直线AB与PC的公垂线．

20答案：证明：（１）∵SASC,D为AC的中点，∴SDAC．

连结BD．在Rt△ABC中，则ADDCBD．∴△ADS≌△BDS，∴SDBD． 又ACBDD,∴SD面ABC．

（２）∵BABC，D为AC的中点，∴BDAC．

又由(１）知SD面ABC， ∴SDBD．于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线．∴BD（完整）点线面位置关系(知识点加典型例题)

面SAC．

21答案：解：连结BC．∵ACAB，∴AC,ACBD．∵BDAB，∴BD，在Rt△BAC中，在Rt△CBDBDBC．∴△CBD是直角三角形．BCAC2AB232425，中,CD5212213．∴CD长为13．