圆中的动点问题

意萼　徽掌公开　中的动点问题　。湖北红安第四中学彭业凯　、点在圆弧上运动　４一－￣Ｃ３　１Ｄ／　’＿ｌ２，ｌ　　ｆｉ以ｃ。　＋３　＝ｃＤ　＋３（　西河池）如图２　所示，ＡＢ为６３０的直径，ＯＣ－－４，　１２０：—　８订．所以，当点　运动到　时，　删，此时点　经过的弧长为　所示，扇形０　黧Ｏ的半径　Ａ　＝３，蠹即圆心角　Ｉ、ｃ　一一　（ｚＵＵ　广Ｊ　　所示　Ｓ　８　３　ＡＯＢ＝９０。，点Ｃ是弧ＡＢ上异于Ａ，日　的动点，过点Ｃ作ＣＤ上ＯＡ于点Ｄ，作　ＣＥ上ＯＢ于点　，连结ＤＥ，点Ｇ，Ｈ在线　段ＤＥ上，且ＤＧ＝Ｇ日　Ｅ求证：ＣＤ％　３ＣＨ２￣ｚ定值．　（３）过点ｃ作ＣＭ３／／ＡＢ．￣ＯＯｆｆ－点　，ＯＡＣ＝６０。．一动点　从点Ａ出发．在　ｏ０上按逆时针方向运动，当Ｓ　＝　连结ＡＭ３，ＯＭ３，易得５△忡ｏ　△Ｇ４ｏ，　＝　．２４０＝　Ｓ△　时，求动点　所经过的弧长．　２＿／＿ＢＯ　６０ｏ．所以　萼盯或　＝号盯・　竽亿所以当点　运动到Ｍ３时，Ｊｓ　△删，此时点　经　ｌ　过的弧长为一６１竹．　３　（４）当点　运动到点ｃ时，ｓ　０＝　Ｄ　圈１　Ｄ　ｓ一，此时枷图２　经过的弧　为　ｏ２１ｒ：竹．　。　题中半径不变，ＤＧ，Ｇ日　辫要使得Ｓ　。：Ｓ　ＡＣＯＡ，　３００＝＿２０１『或　订＋４３　３　３　３　和日Ｅ之间的等量关系不变，可过点日　作ＨＦ上ＣＯ于点Ｆ。构造相似三角形，　ＡＭＡ０与ＡＣＯＡ就必须同底等高．因　此先要确定满足条件的点　．再确定　弧Ａ　所对的圆心角的大小，这样就　可以求出动点　经过的弧长．　、应用相似及勾股定理等知识用ＣＤ　来　表示叫　，求出ＣＤ￣＋３凹　是一个定值．　连结Ｄｃ，易证四边形　ＯＤＣＥ为矩形．所ｖＸＤＥ＝ＯＣ＝ＯＡ＝３．所　点摩线段上运动　（２０１０１￣ＪＩ『成都）如图３　（１）作点ｃ关于直径ＡＢ　的对称点　ｌ，连结ＡＭ。，ＯＭ１．易得　５△　０＝　．．所示，ＡＡＢＣ内接于ｏ０，／＿Ｂ＝９０。，　ＡＢ＝８Ｃ，点Ｄ是ｏＤ上与点　关于圆心　０成中心对称的点，点Ｐ是ＢＣ边上一　ｖＸＤＨ＝Ｚ过点日作　Ｆ上ＣＤ于点Ｆ，因　Ｄ，　ＯＭ，＝６０。，所以　＝　．为ＥＣ　ＬＣＤ。妖以ＨＦ　／ＥＣ．致以　ＡＤＨＦ＇Ｉ＂ＡＤＥＣ所以—ＤＦ６０：４　１８０　３　所以当点　运动到　．　ＤＨ：—２：一．　点，连结ＡＤ，ＤＣ，ＡＰ，已知ＡＢ＝８，ＣＰ＝　ＤＣ　ＤＥ　３　时，．ｓ　蜊，此时点Ｍ经过的弧长　．　２，点Ｑ是线段　肚一动点，连结ＢＱ并　延长交四边　所以ＤＦ：２ＣＤＣＦ：ＣＤ一肋：１ＣＤ，．　为！盯（２）过点　ｌ作Ｍ，Ｍｚ／／ＡＢ￣Ｏｆｆ＂　３　３　形ＡＢＣＤ的　一在Ｒｔ△ＣＨＦ中。明　＝Ｈ　＋Ｃ　Ｆ　＋　边于点Ｒ，　ＣＤ　：在ＲｔＡＨＦＤ中。ＨＦ　叫　一　９　点　，善ＡＭ２，ＯＭ２，易得Ｓ△　：　且满足４Ｐ＝　．ｓ　＿｝＇所以厶　ＯＭ　厶￣耋１０Ｍ　厶ＢｏＭ　则　ＤＦ￣－＿＿４一　ｃＤ２所以ｃ　一　∞　所　６　所　＝了４订．２＿号　或　＝　‘　的值为——　ＱＲ　图３　栅ｌｌ１教．　辅诤１７　数譬公开　Ｉ专翘数学　蓠　研究点ｐ，尺的运动过程　发现，随着点９在线段ＡＰ上运动，点ＪＲ　也在四边形ＡＢＣＤ边上运动，即落在　四边形ＡＢＣＤ的边　Ｄ或边ＣＤ上．可画　出图形，再应用全等、相似等知识求　出盟的值　ＱＲ　图４　图５　蕊（１）当点Ｒ在　Ｄ边上时，　ＱＲ．所以鱼　的值为１＿　ＱＲ　（２）当点Ｒ在ＣＤ边上时，如图５所　示，易证△ＡＢＰ　△ＢＣＲ．所以　／＿ＢＰＡ＝／ＣＲＢ．ＢＲ＝Ａ　１Ｑ　又ＢＰ＝６，ＢＲ＝１０，ＢＣ＝８，所以　如图４所示，由题意可知四边形ＡＢＣＤ　是正方形，因为ＢＰ＝－ＢＣ－ＰＣ＝６，ＡＢ＝８，　所以Ａ　、　＝ｌ【ｌ　－４８，ＱＲ＿５＿２．　所以　的值为里ＱＲ　．　易证△ＡＢＰ　△ＢＡＲ．所以』４尺：　ＢＰ．ＢＲ＝ＡＰ＝－ＩＱ　１３　又Ｉ＿ＰＢＱ＝／ＲＢＣ．所以ＡＢＰＱ—　ＡＢＲＣ．所以　．．ＢＰ．　缭上憾’ＱＲ　　的　或　．囝　ｌ３一　又△ＡＱＲ　△尸Ｑ曰，所以ＢＱ＝　ＢＣ　ＢＲ　蕴涵的“玄机’’　锋　ＱＯ在点Ｂ处白转——周；若　Ａ曰Ｃ＝　图ｌ至图５中，ｏ０均做　无滑动滚动，ｏ０　，Ｏ０，，ｏ０　，Ｏ０４均　表示Ｏ０与线段ＡＢ或ＢＣ＊Ｈ切于端点　时刻的位置，ｏ０的周长为ｃ．　阅读理解（１）如图１所示．Ｏｏ　阅读（１）给我们提供了　圆在直线上无滑动滚动，当圆周接触　６０。，则ｏＯ在点启处自转　周．　（２）如图３所示。　ＡＢＣ＝９０。，ＡＢ＝　１　的路线长（－ｇ圆心经过的路程相等）　等于圆的周长时．圆恰好自转ｌ周．　（２）当圆在折线上无滑动滚动时，　ｏＤ并不是从ｏＤ与线段Ａ　相切于曰　点的位置一下子滚到ｏＤ与线段ＢＣ　Ｃ＝　ｃ．ｏ０从Ｏ０，的位置出发，在　２　ｌ＿ＡＢＣ￣ｔ＂部沿Ａ—Ｂ—Ｃ滚动到ｏ０　的位　置，则６３０白转　拓展联想周．　（１）如图４所示，△ＡＢＣ　从０Ｄ　的位置出发，沿　Ｂ滚动到０Ｏ：　的位置。当ＡＢ＝ｃ时，ｏ０恰好自转ｌ周．　．　（２）如图２所示，／ＡＢＣ相邻的补　的周长为Ｚ．００从与Ａ曰相切于点Ｄ的　相切于点曰的位置，而是由０　Ｏ’的位　置旋转到ｏｏ　的位置．此时００绕点Ｂ　角是１７，。，００在　ＡＢＣ￣Ｉ＂部沿Ａ—Ｂ—Ｃ滚　位置出发，在△Ａ　Ｃ外部，按顺时针　方向沿三角形滚动．又回到与ＡＢ相切　旋转的角　０２ＢＯ３＝ｎ。。ｏ０在点　处自　转　周．因此．当圆不在直线上无　３６ｏ　动。在点曰处，必须由ｏＯ．的位置旋转　到００　的位置，Ｏ０绕点Ｂ旋转的角　０ｌ　Ｄ２＝ｒｔ。，ｏ０在点曰处自转　周・　于点Ｄ的位置，Ｏ０自转了多少周？请　说明理由．　（２）如图５所示，多边形的周长为　滑动滚动时，圆周与折点的接触点不　实践应用（１）在阅读理解的（１）　发生变化的圆也有可能发生转动．所　以探究圆自转过的圈数应牢牢抓住　Ｚ．Ｏ０从与某边相切于点Ｄ的位置出　发，在多边形外部，按顺时针方向沿　中，若ＡＢ＝２ｃ，则ＱＯ自转——周；　若ＡＢ－－ｌ，则００自转——周．在阅　读理解的（２）中，若　ＡＢＣ：１２０。，则　其圆心位置的变动情况（即圆心经过　多边形滚动．又回到与该边相切于点　Ｄ的位置．直接写出ｏ０自转的周数．　的路程除以圆的周长才是圆白转的　圈数），而不是圆周滚过的路线．　１８　２。＂／４