广西柳州市2022届高三毕业班上学期摸底联考数学(理)试题 Word版含答案

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合AxZ2x3x40，Bxy1lnx，则AB（ ） A．0,e B．0,e C．1,2 D．1,2 2.已知复数z在复平面内对应点是1,2，i为虚数单位，则

z2z1（ ） A．1i B．1i C．132i D．13

2

i

3.如图是调査某地区男女中同学宠爱理科的等高条形阴影部分 表示宠爱理科的百分比，从图可以看出下列说法正确的（ ）

①性别与宠爱理科有关 ②女生中宠爱理科的比为20% ③男生不比女生宠爱理科的可能性大些 ④男生不軎欢理科的比为40% A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 4.x2y6的开放式中，x2y4的系数为（ ）

A．60 B．60 C．240 D．240

5.已知焦点在x轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为13，则椭圆的方程

是（ ）

A．x24y21 B．x29y281 C．x24y231 D．x2y2891

6.同时具有以下性质：“①最小正周期是；②图象关于直线x3对称；③在6,3上是增函数；④一

个对称中心为12,0”的一个函数是（ ）

A．ysinx26 B．ysin2x3

C．ysin2x6 D．ysin2x3

7.运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素a，则函数yxa,x0,是增函数的概率为（ ）

A．

37 B．45 C. 35 D．34 8.过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为（ ）A．

932 B．916 C.38 D．316 9.数列a的通项公式为annncos2,nN*，其前n项和为Sn，则S2017（ ） A．1008 B．1008 C. 1 D．0

10.过双曲线x2y2a2b21a0,b0 的右焦点F作圆x2y2a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P.

若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（ ） A．2 B．3 C. 2 D．5

11.已知函数fxe2x1，直线l过点0,e且与曲线yfx相切，则切点的横坐标为（ ） A． 1 B．1 C. 2 D．e1

12.已知向量AB与AC的夹角为60，且AB2,AC4，若APABAC，且APBC，则实数的值为（ ） A．

445 B．5 C. 0 D．25 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

yx13.若变量x,y满足约束条件xy1，则z2xy的最大值为 ．

y114. 设等比数列an的前n项积为Ⅱ9，若Ⅱ16512Ⅱ7，则a12的值是 ． 15. 已知函数fx对任意xR都有fx6fx2f3，yfx1的图象关于点1,0对称且f24，则f22 ．

16. 如图所示，在四周体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则下列命题中正确的是 ．(将全部正确答案序号填写到横线上)

①ACBD；②AC//截面PQMN；③ACBD；④异面直线PM与BD所成的角为45．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知A,B分别在射线CM,CN(不含端点C)上运动，MCN23，在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c.

（1）若b是a和c的等差中项，且ca4，求c的值； （2）若c2，求使ABC面积最大时a,b的值.

18. 在一次诗词学问竞赛调査中，发觉参赛选手多数分为两个年龄段:2030;3040（单位：岁），其中答对诗词名句与否的人数如图所示.

（1）完成下面的22列联表；推断是否有90%的把握认为答对诗词名与年龄有关，请说明你的理由；（参考公式：K2nadbc2abcdacbd，其中nabcd）

（2）若方案在这次场外调查中按年龄段分层抽样选取6名选手，求3名选手中在2030岁之间的人数的分布列和期望.

19.如图 ，在四棱锥PABCD中，AD//BC,ADCPAB90,BCCD12AD，E为棱AD的中点，PACD.

（1）证明：CD平面PAD；

（2）若二面角PCDA的大小为45,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

20. 已知过抛物线C:y22pxp0的焦点F，斜率为2的直线交抛物线于Ax1,y1,Bx2,y2x1x2两点，且AB6.

（1）求该抛物线C的方程；

（2）已知抛物线上一点Mt,4，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MDME，推断直线DE是否过定点？并说明理由.

21. 已知函数fxaxxlnx在xe2处取得微小值. （1）求实数a的值；

（2）设Fxx2x2lnxfx，其导函数为Fx，若Fx的图象交x轴于两点Cx1,0,Dx2,0且

x1x2，设线段CD的中点为Ns,0，试问s是否为Fx0的根？说明理由.

请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4—4:坐标系与参数方程

x4t2在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半

y4t轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C的极坐标方程为cos2242.

（1）把曲线C1的方程化为一般方程，C2的方程化为直角坐标方程；

（2）若曲线C1，C2相交于A,B两点，AB的中点为P，过点P做曲线C2的垂线交曲线C1于E,F两点，求PEPF.

23. 选修4—5:不等式选讲 已知函数fxx12017.

（1）解关于x的不等式fxx2017； （2）若fa43fa421，求实数a的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5: CDCCB 6-10: CCADA 11、12：AC

二、填空题

13. 3 14. 2 15. 4 16.①②④

三、解答题

17. （1）由于a,b,c成等差数列，故ac4,bc2， 在ABC中，MCN23 ，所以 cosC12， 由余弦定理得cosCa2b2c212ab2

代入得c29c140，

解得c2或c7；由于c4，故c7.

（2）∵c2，cosC12，

∴由余弦定理得：c2a2b22abcosC， 即4a2b2ab2abab3ab， ∴ab43，（当且仅当ab时成立）， ∵S12absinC334ab3， ∴当ab时，ABC面积最大为33，此时ab233， 则当ab233时，ABC面积最大为33. 18.（1）由已知得22列联表为:

K2nadbc212070103010abcdacbd20100408032.706，∴有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关.

（2）设3名选手中在2030岁之间的人数为，则的可能取值为0，1，2，

2030岁之间的人数是2人，

3P0C41C35,

6P1C214C23C35, 6P2C124C21C3 65∴的分布列为:

E0131515251.

19.（1）证明：由已知，PACD， 又ADC90，即CDAD， 且 PAADA， ∴CD平面 PAD.

（2）∵CD平面 PAD，∴PDA为二面角PCDA的平面角，从而PDA45.

如图所示，在平面ABCD内，作AyAD， 以A为原点，分别以AD,AP所在直线为x轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，

设BC1，则A0,0,0,P0,0,2,E1,0,0,C2,1,0， ∴PE1,0,2,EC1,1,0,AP0,0,2.

设平面PCE的法向量nx,y,z，

则nPEx2z0，取ECxy0x2，则n2,2,1. n设直线PA与平面PCE所成角为, 则sinnAP2nAP222221123 . ∴直线PA与平面PCE所成角的正弦值为13.

20. （1）拋物线的焦点Fp2,0 ，∴直线AB的方程为:y2xp2.

y22px联立方程组p，消元得:2p20， y2x2x2px4x,xp2∴1x22p1x24.

∴AB12x21x24x1x234p2p26

解得p2.

∴抛物线C的方程为：y24x.

（2）由（1）可得点M4,4，可得直线DE的斜率不为0， 设直线DE的方程为：xmyt， 联立xmyty24x，得y24my4t0，

则16m216t0①.

设Dx1,y1,Ex2,y2，则y1y24m,y1y24t. ∵MDMEx14,y14x24,y24 x1x24x1x216y1y24y1y216

y214y2244y21y2216y441y24y1y216 y1y22216y1y23y1y24y1y232

t216m212t3216m0

即t212t3216m216m，得：t642m1， ∴t622m1，即t4m8或t4m4， 代人①式检验均满足0，

∴直线DE的方程为：xmy4m8my48或xmy44. 222lnx1lnx244xx2F1xx . 122xx1xxxx121212下解

2lnx1lnx2x1x240. x1x2即lnx12x1x20. x2x1x2∴直线过定点8,4（定点4,4不满足题意，故舍去）. 21.（1）由于fxaxxlnx， 所以fxalnx1，

由于函数fx在xe2处取得微小值， 所以fe20，即alne210，

所以a1，

所以fxlnx2，

当fx0时，xe2，当fx0 时，0xe2 所以fx在0,e2上单调递减，在e2,上单调递增. 所以fx在xe2处取得微小值，符合题意. 所以a1.

（2）由（1）知函数Fxx22lnxx.

∵函数Fx图象与x轴交于两个不同的点Cx1,0,Dx2,0，（∴x212lnx1x10， x222lnx2x20.

两式相减得 x1xlnx1lnx222x1

1x2Fx2x2x1. x1x2），令tx1x，∵0x1x2，∴0t1， 2即lnt2t1t10.

令utlnt2t1t1，

ut14t12tt12tt12. 又0t1，∴ut0，

∴ut在0,1上是増函数，则utu10，

从而知4xx2lnx1lnx2x0， 12x12故Fx1x220，即Fs0不成立.

故s不是Fx0的根.

x4t222.（1）曲线C1的参数方程为（其中t为参数），消去参数可得y24xy4t.

曲线Ccos422，开放为22cossin22的极坐标方程为2，化为xy10..

（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，且中点为Px0,y0， y2联立4xxy10，

解得x26x10， ∴x1x26,x1x21.

∴x0x1x23,y02. 2线段AB的中垂线的参数方程为 x3y22t2（t为参数）， 2t2代入y24x，可得t282t160， ∴t1t216，

∴PEPFt1t216.

23. （1）fxx2017可化为x1x， ∴x1x2， ∴x21. 21∴不等式的解集为xx.

2（2）∵fxx12017在1,上单调递増，又a431，a411， ∴只需要a43a41， 化简为a11a420， ∴a42，解得2a6.

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