第5章习题解答控制工程

5.7 系统的传递函数方框图如图所示，已知T10.1,T20.25，

Xi(s) Xo(s)

K + s(T1s1)(T2s1)

试求：

（1）系统稳定时K值的取值范围； 解：

由题意可以写出系统的闭环传递函数为：

KKsT1s1T2s1 GB(s)32KT1T2s(T1T2)ssK1sT1s1T2s1- 系统的特征方程为：T1T2s3(T1T2)s2sK0

TT221K即：s3(1)sss314s240s40K0

T1T2T1T2T1T2由特征方程写出Routh表： s3 s2 ss1 1 14 560140K14 40 40K 140100 14 0 0 0 40K 根据Routh判据，系统闭环稳定的充要条件为：

56040K0 40K0即：

14K0

5.9试根据下面开环频率特性，使用Nyquist判据分析相应的闭环系统的稳定性

10GK(j)

jj1j101解：使用Nyquist判据要求画出开环频率特性GK(j)的Nyquist轨迹

GK(j)的幅频特性函数与虚频特性函数分别为：

GK(j)10(1)(1001)22

GK(j)0

2arctan1arctan10 1将GK(j)表示成下式：

GK(j)j(1j)(1j10)10(1)(1001)22110j(100210)(1)(1001)22

可得其实频特性函数与虚频特性函数分别为：

Re{GK(j)}110(21)(10021)

Im{GK(j)}(100210)(1)(1001)22

考虑的几个特殊值 当0：

23当： G(j)0 G(j)

2由于当从0变化至，G(j)从G(j) G(j)3变化至，因此该系统的Nyquist轨迹必然从22复平面的第三象限移动至第二象限，也即轨迹必然与负实轴相交。

令Im{GK(j)}此时：

(100210)(1)(1001)220，即110

Re{GK(j)}110(21)(10021)1109

(0.11)(101)即Nyquist轨迹与负实轴相交点为（-9，j0）

由此可以做出GK(j)的Nyquist轨迹图，如下：

由此可见，系统的开环频率特性GK(j)的Nyquist轨迹对（-1，j0）点顺时针包围两圈，即N=2，

10，极点为s0,1,0.1，全部位于s

ss110s1平面的左半平面，即开环系统为最小相位系统，P=0。

所以，开环系统位于右半平面的零点个数Z=N+P=2，也即闭环系统具有位于右半平面的两个极点。所以该闭环系统不稳定。

5.11 设系统的开环传递函数为：

KGK(s)

ss10.2s1又因为开环系统的传递函数GK(s)求K=10时的相位裕度和幅值裕度Kg （

帮助公式：0.04(2.86)61.04(2.86)4(2.86)2100 20log）

102.23(2.231)(0.042.231)224.48 解：系统的开环频率特性GK(j)为：GK(j)K

jj1j0.21GK(j)的幅频特性函数与虚频特性函数分别为：

GK(j)K(1)(0.041)22

GK(j)02arctan1arctan0.2 1将GK(j)表示成下式：

GK(j)j(1j)(1j0.2)K(1)(0.041)1.2K(1)(0.041)22221.2Kj(0.221)K(1)(0.041)

22

Re{GK(j)}

Im{GK(j)}(0.221)K(1)(0.041)22

令c为剪切频率，即：

GK(j)cKc(c1)(0.04c1)0.2c arctancarctan211221

相位裕度为：

GK(j)0令g为相位交界频率，即：

Im{GK(j)}(0.221)K(1)(0.041)220

也即：0.2210 解得：g2.23 幅值裕度Kg为：

Kg20logGK(j)

当K=10情况下

g20logKg(g1)(0.04g1)22

10c(c1)(0.04c1)即：100c2(c21)(0.04c21)0.04c61.04c4c2 由帮助公式，得c2.86。由此得相位裕度为：

221

00.2carctancarctan0arctan2.86arctan0.22.86 -0.18322112幅值裕度Kg为：

Kg20log102.23(2.231)(0.042.231)22

由帮助公式，得Kg4.48(dB)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

作业：

5.4 5.19(1)(3) 5.10 5.12

4.12 试绘制下列传递函数的系统的Nyquist图

1

10.01s系统的频率特性为：

1 G(j)10.01j（1）G(s)G(j)110.00012 G(j)arctan0.01 1当0： 当：

G(j)1 G(j)0 G(j)0 G(j)2

10.01j 22210.000110.000110.000110.01Re{G(j)}Im{G(j)}

2210.000110.0001可以看出Re{G(j)}、Im{G(j)}满足以下关系： G(j)10.01j121Re{G(j)}Im{G(j)}

22的半圆。（补充）

22

并且，Re{G(j)}0、Im{G(j)}0。所以该系统的Nyquist轨迹为一个位于第四象限