二阶方阵的平方根解法探究

第３１卷第６期　２０１１年１２月　黄冈师范学院学报　Ｖ０１．３１　Ｎｏ．６　Ｄｅｃ．２０１１　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕａｎｇｇａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　二阶方阵的平方根解法探究　栗　裕　，郭红梅　（１．山西体育职业学院，山西太原０３０００６；２．山西生物应用职业技术学院＇ＬＬｌ西太原０３００３１）　摘要利用Ｈａｍｉｌｔｏｎ—Ｃａｙｌｅｙ定理确定二阶方阵全部平方根的表达式，并且明确二阶方阵在什么条件下有　Ｈａｍｉｌｔｏｎ—Ｃａｙｌｅｙ定理；矩阵；平方根；解法；探究　０１５１　文献标识码Ａ　文章编号１００３－８０７８（２０１１）０６－００３６－．０２　２０１１－０９—１９　ｄｏｉ　１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００３—８０７８．２０１１．０６．１０　平方根、有多少个平方根。　关键词收稿日期中图分类号作者简介栗　裕，男，山西太原人，讲师，主要从事基础数学研究。　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｓｑｕａｒｅ　ｒｏｏｔ　ｏｆ　ｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒ　ｓｑｕａｒｅ　ｍａｔｒｉｘ　ＬＩ　Ｙｕ　，ＧＵＯ　Ｈｏｎｇ—Ｍｅｉ　（１．Ｓｈａｎｘｉ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｐｏｒｔｓ，Ｔａｉｙｕａｎ　０３０００６，Ｓｈａｎｘｉ，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｓｈａｎｘｉ　Ｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎａｌ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｂｉｏｌｏｇｉｃａｌ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，Ｔａｉｙｕａｎ　０３００３１，Ｓｈａｎｘｉ，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｗｅ　ｕｓｅ　Ｈａｍｉｌｔｏｎ—Ｃａｙｌｅｙ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｔｏ　ｏｂｔａｉｎ　ａｌｌ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｆｏｒ　ａｌｌ　ｔｈｅ　ｓｑｕａｒｅ　ｒｏｏｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｅｃｏｎｄ・ｏｒｄｅｒ　ｓｑｕａｒｅ　ｍａｒｔｉｘ．　Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｗｅ　ｉｎｄｉｃａｔｅ　ｔｈａｔ　ｕｎｄｅｒ　ｗｈａｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ　ｓｑｕａｒｅ　ｍａｔｉｘ　ｈａｓ　ｉｔｒｓ　ｓｑｕａｒｅ　ｒｏｏｔｓ，ａｎｄ　ｈｏｗ　ｍａｎｙ　ｓｑｕａｒｅ　ｒｏｏｔｓ　ｉｔ　ｈａｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ　Ｈａｍｉｌｔｏｎ—Ｃａｙｌｅｙ　ｔｈｅｏｒｅｍ；ｍａｔｒｉｘ；ｓｑｕａｒｅ　ｒｏｏｔ；ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ　矩阵的求根是矩阵研究的重点领域，在矩阵的实际应用中，如何快捷方便地判断一个矩阵是否存在　平方根矩阵以及如何求解，具有非常重要的现实意义。本文讨论矩阵方程Ｘ　＝Ａ的解法，虽然矩阵方　程Ｘ２＝Ａ与数量方程　＝ｏ在形式上接近，但在根的存在性、唯一性及解的结构和性质方面均有很大的　差异…，因此不能将数量方程的相应结果简单地对应到矩阵方程上，如数量方程　。＝口在复数域内一定　有解，但对矩阵方程Ｘ２＝Ａ来说在复数域内却不一定有解，且即使有也不一定是有限个，而非零解可能　还是幂零的。实际上数量方程只是矩阵方程的一种特殊类型。如何利用Ｈａｍｉｌｔｏｎ—Ｃａｙｌｅｙ定理确定二　阶方阵全部平方根的表达式，并且明确二阶方阵在什么条件下有平方根、有多少个平方根，是本文研究　的重点。　１　Ｈａｍｉｌｔｏｎ—Ｃａｙｌｅｙ定理　Ｊ　设Ａ为数域Ｐ上一个ｎ×ｎ矩阵　Ａ）＝ｄｅｔ（ＡＥ—Ａ）是Ａ的特征多项式，则　Ａ）＝Ａ　一（ｔｒＡ）Ａ　＋…＋（一１）　（ｄｅｔＡ）Ｅ＝０。　其中，Ａ的全体特征值的和为ｔｒＡ＝口　＋口　＋…＋０　（称为Ａ的迹）；Ａ的全体特征值的积为ｄｅｔＡ；　为ｎ级单位矩阵。　２　二阶方阵平方根解法　设２×２矩阵Ａ的平方根是２×２矩阵　，则知有：Ｘ２＝Ａ　而对任意一个２×２矩阵　，由Ｈａｍｉｌｔｏｎ—Ｃａｙｌｅｙ定理，有　第６期　栗裕，等：二阶方阵的平方根解法探究　一・３７・　（ｔｒＸ）Ｘ＋（ｄｅｔＸ）Ｅ＝０　所以，如果一个２×２矩阵Ａ有平方根　，那将　＝Ａ代人上式消去　，可得（ｔｒＸ）Ｘ：Ａ＋（ｄｅｔＸ）Ｅ，而　（ｄｅｔＸ）　＝ｄｅ　＝ｄｅｔＡ，所以ｄｅｔＸ＝－４－　下面分两种情况进行研究：　，也即ｄｅｔ　＝４－，／—ｄｅ—ｔＡ，因此有：　（１）　（ｔｒＸ）Ｘ＝Ａ±　ｄｅＬ４－Ｅ　１、如果Ａ是一个数量矩阵　Ｊ，则Ａ＝ａＥ，那么（１）式即为（ｔｒＸ）Ｘ＝（１±１）ｎＥ，所以得（ｔｒＸ）Ｘ＝０或　（ｔｒＸ）Ｘ＝２ａＥ。　因此，当以上两式中口：０时，可确定Ｘ２＝Ａ的一般解　：ｆ　Ｏｔ卢１，　２＋　：口　、ｙ　一　，　（Ａ１）　（Ａ２）　另，如（ｔｒＸ）Ｘ＝２ａＥ中口≠ｏ，则（ｔｒＸ）Ｘ＝２ａＥ，这时　是数量矩阵，且只有一对解Ｘ＝±　・Ｅ　结论：如果Ａ是一个零矩阵，那么它有形如（Ａ１）式给出的无穷多个平方根；而如果Ａ是一个非零数　量矩阵，它则有由（Ａ１）式给出的无穷多个平方根和由（Ａ２）式给出的两个数量矩阵。　２、如果Ａ不是数量矩阵，那么（１）式中的ｔｒＸ≠０，所以每一个平方根　都有形如：Ｘ＝．ｒ　（Ａ　４－　Ｃａａ￣－ｄ・Ｅ），．ｒ≠０　把上式代人Ｘ２＝Ａ，应用Ｈａｍｉｌｔｏｎ—Ｃａｙｌｅｙ定理，有　Ａ　＋（±２何一．ｒ　）Ａ＋（ｄｅｔＡ）Ｅ＝０　（　）Ａ一（ｄｅｔＡ）Ｅ＋（４－２￣／／ｄｅ　一　）Ａ＋（ｄｅｔＡ）Ｅ＝０　（ｔｒＡ±２　ｄｅ以一ｒ　）Ａ＝０　由于　不是数量矩阵，所以Ａ不是零矩阵，因此　＝ｔｒＡ±２　ａ／ａ－￣，（　≠０），　（２）　如果，（ｔｒＡ）：≠４ｄｅｔＡ，那么可从（１）式得到矩阵Ａ的平方根　，Ｘ：４－　兰　√ｔｎ４±２￣／／ｄｅ　如果，其中ｄｅｔＡ≠０，则上式确定了Ａ的４个平方根；而如ｄｅｔＡ＝０，那么上式确定了Ａ形如　Ｘ＝±　的两个平方根。　如果，（ｔｒＡ）　＝４ｄｅｔＡ≠０，显然可确定Ａ有两个形如　（Ｂ１）　（Ｂ２）　Ｘ＝±—　（Ａ＋　１（ｆｒＡ）Ｅ）　的平方根。　而如果，（ｔｒＡ）　＝４ｄｅｔＡ＝０，那么式（２）中的　为零，因此Ａ没有平方根。　（Ｂ３）　结论：当Ａ有平方根，且￡　和ｄｅｔＡ至少有一个为非零数时，如果有（ｔ以）　≠４ｄｅｔＡ、ｄｅｔＡ≠０，那么　矩阵Ａ有四个由（Ｂ１）式给出的平方根；如果（ｔｒＡ）　≠４ｄｅｔＡ、ｄｅｔＡ＝０或（ｔｒＡ）　＝４ｄｅｔＡ≠０，矩阵Ａ有　两个由（Ｂ２）式或（Ｂ３）式给出的平方根。　参考文献：　［１］　张国勇．高等数学（普通高校“十一五”规划教材）［Ｍ］．北京：科学教育出版社，２００８：１７７—１７８．　［２］北京大学数学力学系．高等代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８５：２８８—２８９．　［３］王丽琴．一类矩阵的平方根解法［Ｊ］．河北师范大学学报，２００７．１２：９５—９７．　（张所滨）