高等数学课本(上)

第二节 数列的极限

教学目的：理解数列极限的概念，为研究微积分作好工具准备 教学重点：收敛数列的性质及运算法则 教学难点：数列极限概念的理解及计算 一、数列极限的概念及定义

本节讨论定义域为自然数集N，值域含于实数集R的函数。其函数只可按照变量的顺序排列为

x1f(1)，x2f(2)，…，xnf(n)，…

因此，有下列定义：

定义 设f是定义于N上的一个函数，其函数值按n1,2,3,…的顺序排列成一个序列：

x1f(1)，x2f(2)，x3f(3)，…，xnf(n)，…

就成为数列，简单地记作

例如：

xn。xn称为数列的第n项或通项，n为脚标.

1111(1):1，，，，，，nn23(1)n111(1)n(2)，，，，:1，，n234n(3)(4)1，1，1，，(1)(1):1，n1n1，，2n:2，4，6，8，，2n，,2n12n1357(5):1，，，，，，，nn234

n观察上面的几个数列，我们可以发现随着的无限增大，有的数列无限的趋近一个常数

a，有的数列无限增大，而有的数列则与前两种情况不同.数列的极限就是研究在自变量n无

限增大这种趋势下,因变量

xnf(n)的变化趋势.当n（即n无限增大）时，如果的

xnf(n)的变化趋势由一个确切的“目标”a，那么常数a就叫做该数列f(n)在n1n12n1nnnn的极的极限也是0，时的极限.例如：当时，的极限为0，

2n1限为2，而与

xn1没有极限.

xn的取值能无限接近常数a，我们就称a是xn当

如果数列n，当n无限增大时，数列n时的极限，记作

h

h

.

当然，以上的说法 仅仅是数列极限的一种定性描述.我们在研究数列极限时，只凭定性描述和观察很难做到准确无误，特别在理论推导中，以直觉作为推理的依据是不可靠的，因此有必要寻求用精确的、定量化的数学语言来刻画数列的极限.我们注意到在数列极限中

nlimxna“n”，以及“xn无限的趋近于a”，它主要强调的是“一个过程”以及一种“接近”程度，经过前人的不断总结给出了一下定义.

设xn为一个数列对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数N，使得对于

nN时的一切xn，不等式 xna

都成立，则称常数a是数列xn的极限，或者称数列xn收敛于a，记为

limxna，n

或 xnan. 如果数列没有极限，就说数列是发散的.

为了以后论述的方便, 数列极限的定义，常用逻辑符号来表达：

0,N0，使得nN，有xna.

定义中极限a（a是一个常数）及任意给定的正数，它确定了a一个领域a,a；

xa成立.即说

总存在正整数N，也确定数列xn中的某一项xN；只要nN，就有n中. 明从xN以后的所有项xN1,xN2,，全落入需要指出的是，任意给定的数，一方面由于的任意性，决定了它的取值有无限种的可能，

a,a从而可以任意的小，以刻画xn与a的无限逼近. 另一方面是的确定性，它是任意给定的，一旦给出后，它就定了，这样就可以找出N（即确定出xN这一项），使得xN以后的所有项在a,a中，但是N不是唯一的，只要保证N存在即可.例如对于某一个

00，存在正整数N，只要nN，就有xna成立，那么此时也有：对于上面的

xa0也00，N1是大于N的确定的正整数（例如N1N5），当nN1时，n成立.

为了更直观的说明与N之间的关系，看下面例题。

n2(1)nlim1nn例2-1 用数列极限定义证明。

n2(1)n2(1)n2xna1nnn，

证 因为

222N0nxa（即确定了xN这一项）0，欲使n，。只要n，即取，

则当nN时，有

所以

n2(1)n1n

h

h

n2(1)nlim1nnh

h

1100时，N200.也就是说从第200项以后，数列的所有项：在以上证明中，当

11xax201,x202,均满足n100当105时，N2105，nN的xn均满足

11xna510.需要指出，一般(0)越小，则N越大，但N不是唯一的.例如100时，取N300也行（但N190则不行，为什么？）。

例1-4 设

的极限是0。 证 因令则

q1，证明数列

q1,q2,q3,qn,

xn0qn0qn

q11t,(由于q1，故t0)，

1t所以

n1ntnn(n1)2t2nt

xn0q11tn1nt.

111Nnt，则当nN时， 0要使xn0，只要ntt，取，即

有

qn0所以

，

limqn0(q1)n

在以上证明中为了取得N的较简单的表达式，应用了二项式定理。如果从

qn通过取对

n数得

lnlnqlnNlnq，取也可以。在用N定义证明极限时，为了得到N的较为简

xna进行适当的放大，其主要手法是使xnaq(n)，当q(n)

时，比较容易地解出nh()。

单的表达式，要对

sin(n21)lim20nn3n1例 2-2 用极限定义证明

证 因为

sin(n21)sin(n21)111xn02022n3n1n3n13nnn3n1

111Nn，则对nN 0要使xn0，只要n。取，即

有

h

h

所以

sin(n21)xn020n3n1

sin(n21)lim20nn3n1

xn0在以上证明中。我们也可以使

式就过于繁琐。由于极限定义中的N不唯一，证明时我们力求使N更简单一些。需要指出：一般情况下，用定义只能验证某数是否为某数列的极限，不能用它来求数列的极限，但通过数列的N定义可以证明有关的运算法则及定理，再通过它们来求极限。下面我们介绍极限的运算法则和求极限的一些方法。

11xn023n。但若使n3n1，那N的表达

二、收敛数列的性质及运算法则

对于一个数列，如何判断它是否收敛（即极限是否存在）？如果收敛，又怎样求出它的极限？

这是极限理论中至关重要的两个基本问题，为此我们必须讨论数列极限的性质及运算法则。 定理 设n（1）n（2）nlimxna,limynbn，则

limxnynlimxnlimynabnnnnlimxnynlimxnlimynabxnaxnlimnlimnylimybnnn

(b0)

（由此可得）n（3）

（4）nlimxnalimxna0nlimCC

（5）n证

limxnalimxnan

（1）仅就n由nlimxnynlimxnlimynabnnn证之。

limxna,limynb知：

因为 所以

0,N10,nN1,有xna2, 0,N20,nN2,有yna2,

(xnyn)(ab)xnaynbxnaynb0,Nmax(N1,N2)0,使得nN，有

(xnyn)(ab)xnaynb22

,xna,ynbN,N12注 证明中出现了主要是为了体现对同一标准2“速度”的不同。

例如

h

h

xn1111100,ynn0200，取 n10。当2200时，n11N1200,n0xa,ybn10200，取N23。至于n22，中用2是为了最后

结论与定义一致。

（2）、（3）在后面加以证明，（4）、（5）可直接用极限定义证明（读者自证）。 定理 若数列yn0xn有界，且limn，则

limxnyn0n证 由xn有界知M0,nN，有xnM，

，可知，0,N0,nN，有

又由n因为

limyn0yn0M

xnyn0xnynxnynynMMM（当nN时）

xy0， 所以，0,N0,nN，有nn也即n. 读者也许注意到了，对于一个具体数列我们用定义证明其极限是某个数时，项数N是一个具体的表达式（表达式不惟一）。而对于抽象的数列极限（如以上的法则等）证明,项数N是通过已知数列极限中所得的项数确定的，它们虽然不尽相同，但是目的是为了保证项数N的存在性。用N定义证明一些命题，初学者有一定的难度，下面再介绍夹逼定理。通过该定理可以证明一些数列的收敛性，相对而言，比用N定义要简单一些。 定理 （夹逼定理） 已知三数列

limxnyn0xn,yn,zn满足nN,ynxnzn且

limyna,limznann则

limxnan

证 由

limynalimznan,

n 得

0,N10,nN1,有yna,

0,N20,nN2,有zna,

当nmax(N1,N2)时，

aynxnzna

即

xna

0,Nmax(N1,N2),nN,有xna,有 所以

所以

limxnan.

1n例 2-3 证明

limn1n1n，

证 欲证

limn1nlimn10，即证

n1nh

h

1n1n因为n1时，n10，所以令

1nn1n1

unn1(0) n1un

n1n1n即所以

n1un1nun即

又因为

n(n1)2un2nunn(n1)2un2

1n(n1)2un2

n(n1)222unun2n1

20unn1 所以1lim00,lim由于

nn20n1，（读者自己证明） limn01n所以nlimun0,即n.

n定理 （极限的惟一性） 设n证

由已知条件可知：

nlimxna,limxnb，则ab

0ab(axn)(xnb)xnaxnb

nlimxna0,limxnb0又n 由夹逼定理可知

,所以nlimxnaxnb0

lim00limabab0n所以

ab

定理 （极限的保号性） 设n证 因ad，故da0。取即

limxna,且cad，则N0,nN,有cxnd。

1dada0,N10,nN1xna22, ，有

xnadadad22

有因为ca，所以ac0，取即

2acac0,N20,nN2xna22, ，有

xnaacacc22h

h

取

NmaxN1,N2，则当nN时，有

limxn收敛，则cxnd

推论 若n证 因为nxn有界.

limxn

收敛，即使aR

limxnan那么 n由于取

limxna

aa1，据定理1-2-5可知，N0，nN,有

xna1

Mmaxx1,x2,则nN，有

,xN,a1xnM，所以xn有界.

n

(1)虽

以上的推论表明，有界是数列收敛的必要条件.但是有界数列也不一定收敛，例如

然有界，但它发散.

夏我们利用夹逼定理与极限的保号性定理证明极限的乘法、除法运算法则.已知设

limxna,limynbnn，则

n（1）nlimxnynlimxnlimynabn

（2）证

（1）因为

xnaxnlimnlimnylimynbnn(b0)

0xnynabxnynxnbxnbab xnynbbxna

又因为

nMynbbxna

nlimMynb0,limbxna0所以

limMynbbxna0n

又 n所以 n即 nlim00limxnynab0limxnynab

lim（2）只需证：

n11ynb，在利用极限的乘法运算法则就可得到除法法则.

h

h

yb11nybynb 因为n又因为

b(b0)nn2 所以 N0，nN

12ynblimynblimynb有

即N0，nN有

yb112n2ynbynbynbb因为

lim00,limnn2b2ynb0

110nybn所以

11limnyb n即

lim以上“乘法、除法”极限的证明使是夹逼定理的一个应用，其目的是说明有了一些运算法则

后，用定义证明一些命题就不是唯一的途径了.

11lim22nn2n1例2-4 证明

证明：因为

12nn

11n2nnn12nn2n而

1n21nnn2nn21

lim所以原式极限为1.

nlimn1

11limn1223例2-5 求

解：

1n(n1)

1111223n(n1)

111111223nn1

11n1

故

h

h

11limn122311n(n1)

第三节 函数的极限

教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念，为研究微积分作好工具准备

教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系 教学难点：极限概念的理解 教学内容：

一、 函数极限的定义

１．自变量趋于有限值时函数的极限

xx0的x的范围称作以x0为中心的邻域，满足0xx0的范围称

满足

作以x0为中心，以为半径的去心邻域，记作Ux0.

现在考虑自变量x的变化过程为xx0.如果在xx0的过程中，对应的函数值fx无限接近于确定的数值A，那么就说A是函数fx当xx0时的极限.当然，这里我们首先假定函数fx在点x0的某个去心邻域内是有定义的.

定义 ：设函数fx在点x0的某一去心邻域内有定义.如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得对于适合不等式

0xx0的一切x，对应的函数值

fx都满足不等式

fxA

那么常数A就叫做函数fx当xx0时的极限，记作 limfxAfxAxxxx0或（当0）.

该定义用几何语言描述为：对于任意给定的因变量的范围(A,A)，总存在自变量这样的范围

(x0,x0)x0，有f(x)(A,A)（图1-2）

h

h

yAyf(x)AAox0x0x0x 图1-2

1. 证明下列极限 （1）xx0

limxx0

x21lim2x1x1（2）

（3）

当x00时,limxx0xx0

证：（1）

f(x)Axx0,任给0,取,当0xx0时,

（2）函数在点x=1处没有定义.

limxx0.f(x)Axx0成立,xx0

x21f(x)A2x1，任给0,要使f(x)A,只要取, x1x21就有2,当0xx0时,x1

x21lim2.x1x1

（3）

f(x)Axx0xx0xx0,xx0x0

. 任给0,要使f(x)A,只要xx0x0且不取负值取min{x0,x0},当0xx0时,就有xx0,

limxx0xx0.xx0时函数fx的极限概念中，x是既从x0的左侧也从x0的右侧趋于x0的.

但有时只能或只需考虑x仅从x0的左侧趋于x0（记作xx00）的情形，或x仅从x0的

上述

右侧趋于x0（记作xx00）的情形.在xx00的情形，此时我们有下列定义： 设函数fx在x0xx0内有定义.如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得对于适合不等式0xx0的一切x，对应的函数值fx都满足不等式

fxAh

h

那么常数A就叫做函数fx当xx00时的右极限，记作

xx00limfxAfx00A（当xx0）.

limfxAfx0Ax0类似地，可定义左极限x00或（留给读者作为练习.左、右

或

极限也称单侧极限，容易证明下列定理.

定理 函数fx当xx0时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且

相等，即

fx00fx00.

证 （）显然

limfxAlimfxAxx0x0（）因为，且x00，

故 0,10,x:0xx01，

fxA，

且对于上述的 0,20,x:0xx02

有 有

fxA .

min(1,2),则x:0xx0，有 令

fxA

xx0故 例2 函数

limfxA.

x1，x0fx0，x0x1，x0

证明当x0时fx的极限不存在.

limfxlimx11x0证 当x0时fx的左极限x0，

limfxlimx11而右极限x0x0，

图1-7

因为左极限和右极限存在但不相等，所以x0２．自变量趋于无穷大时函数的极限

limfx不存在（图1-7）

x如果函数fx当无限增大时，fx取值和常数l要多接近就有多接近，此时称A是fx当x时的极限，记作 limfxAx.

下面给出定量化的定义（\"X\"定义）

x定义 设函数fx当大于某一正数时有定义.如果对于任意给定的正数（不论它多么

小），总存在着正数X，使得对于适合不等式不等式

xX的一切x，对应的函数值fx都满足

fxA，那么常数A就叫做函数fx当x时的极限，记作

h

h

limfxAx或fxA（当x）.

sinx0.xx例3 证明

sinxsinx110xxx证： X ,

lim0, sinx故lim0.xx

limfxA下面给出x取X,则当xX时恒有

1sinx0,x

的定义：

定义 设函数fx在(b,)内有定义. 如果

0,X0,使当xX时,恒有f(x)A.那么常数A就叫做函数fx当

x时的极限，记作 limfxA或fxA（当x）.

x类似地，可定义xxlimf(x)A x，并且可以证明下面的结论：

xlimf(x)Alimf(x)A且limf(x)A.

二、 函数的极限的性质

１．极限的唯一性

若limf(x)存在,则极限唯一.

以上性质的证明与数列极限的性质类似。（留给读者自己证明） ２．极限的局部有界性

若在某个过程下,f(x)有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后f(x)有界. ３．极限的局部保号性 如果

４．极限的保序性 若xx0limf(x)A,且A0(或A0),则0,当xU0(x0,)时,f(x)0(或f(x)0).xx0 limf(x)A,limg(x)B.若0,xU0(x0,),有f(x)g(x),则AB.xx0

第四节 无穷大与无穷小

一、无穷小

如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数(或正数X),使得对于适合

0xx0(或xX)的一切x,对应的函数值f(x)都满足不等式 f(x),

那末 称函数f(x)当xx0(或x)时为无穷小,记作

不等式

h

h

xx0limf(x)0(或limf(x)0).x定理1-3-2

xx0limf(x)Af(x)A(x),

其中(x)是当xx0时的无穷小.

设limf(x)A,令(x)f(x)A,则有lim(x)0,xx0xx0证：（必要性） f(x)A(x).

（充分性） 设f(x)A(x), 其中(x)是当xx0时的无穷小, 则limf(x)lim(A(x))Alim(x)xx0xx0

xx0 A.

二、无穷大

定义 如果对于任意给定的正数M(不论它多么小),总存在正数(或正数X),使得对于适合不等式

xx00xx0(或xX)的一切x,所对应的函数值f(x)都满足不等式

f(x)M,则称函数f(x)当xx0(或x)时为无穷大,记作 limf(x)(或limf(x)).

特殊情形：正无穷大，负无穷大．

xxx0(x)limf(x)(或limf(x))xx0(x)111lim,limx1x1x1x1x1x1例如

一般地有无穷大无界，但反之不然.

lim下面我们讨论无穷小与无穷大的关系

1定理 在自变量的同一变化过程中，如果fx为无穷大，则fx为无穷小；反之，如果

1fx为无穷小，且fx0，则fx为无穷大.

证:

设limf(x).xx0

0,0,使得当0xx0时

1恒有f(x),即当xx0时,xx01为无穷小.f(x)

反之,设limf(x)0,且f(x)0.1.f(x)

1恒有f(x),M0,0,使得当0xx0时 M

1从而M.f(x)由于f(x)0, 1当xx0时,为无穷大.f(x)

h

h

第五节 极限运算法则

教学目的：掌握极限的性质及运算法则

教学重点：掌握不同类型的未定式的不同解法 教学难点：计算

定理 设limfxA和limgxB

（1）limfxgxlimfxlimgxAB （2）limfxgxlimfxlimgxAB

lim（3）

fxlimfxAgxlimgxBB0

定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

0证：设函数u在U(x0,1)内有界，

则M0,10,使得当0xx01时恒有uM.

又设是当xx0时的无穷小,

0,20,使得当0xx02时恒有M

.取min{1,2}, 则当0xx0时,恒有

Muu M ,

当xx0时,u为无穷小.

x314x1lim2.lim2.x2x3x5x1x2x3例 求（1） （2）

x212x33x25lim2.lim3.x1x2x3x7x4x21（3） （4）

lim(x23x5)limx2lim3xlim5x2x2x2x2解（1）

(limx)23limxlim5x2x2x22232530,

（2）又因为

x31x22x22317lim2.lim(x3x5)x2x3x533 x2lim(x22x3)0,x1limx3lim1商的法则不能用

由无穷小与无穷大的关系,得

x22x300.lim(4x1)30,limx1x14x13

lim4x1.x1x22x3

0(型)（3）x1时,分子,分母的极限都是零.0h

h

先约去不为零的无穷小因子x1后再求极限.

x21(x1)(x1)x11lim2limlim.x1x2x3x1(x3)(x1)x1x32(消去零因子法)

(型)（4）x时,分子,分母的极限都是无穷大. 先用x3去除分子分母,分出无穷小,再求极限.

3523322x3x5xxlim3lim2x7x4x1x24173.7(无穷小因子分出法) xxlimfuA,limuxu0定理 （复合函数的极限运算法则） 设设uu0xx0，但在在点x0的某一去心邻域内u(x)u0，则复合函数f(u(x))当xx0时的极限存在，且

xx0limf(u(x))limf(u)Auu0

证 由uu0limf(u)A可得

0,r0,u:0uu0r，有

f(u)A

r0,10,x:0xx01，有

又因为xx0limu(x)u0，即对上面的

u(x)u0r ˆ 另一方面可设20,xmin(U(x0),2),u(x)u0，故

0,min(1,2)0,x:0xx0

有

也就是

f(u(x))A

xx0limf(u(x))A

第六节 极限存在准则 两个重要极限

教学目的：掌握两个极限的存在准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要

极限求极限的方法

教学重点：利用两个重要极限求极限

教学难点：利用第二重要极限求极限的方法 教学内容：

本节介绍极限存在两个准则，并用它解决微积分学中的两个重要极限

limsinx11,lim(1)xx0xxx.

h

h

一、夹逼定理

定理 （夹逼定理）设函数f(x),g(x),h(x)满足 （ⅰ）在点x0的某一去心邻域内：g(x)f(x)h(x) （ⅱ）则

xx0xx0CBxolimg(x)limh(x)axx0

limf(x)aDA。

此定理的证明与数列的夹逼定理的证明极为相似，且几何意义也很明显，下面利用该定sinx1x0x理证明

sinxlim1x0x（1）证明

lim证

设单位圆O,圆心角AOBx,(0x)2，

作单位圆的切线，得ACO.扇形OAB的圆心角为x, OAB的高为BD, 于是有sinxBD,x弧AB,tanxAC,

sinxcosx1,sinxxtanx,即 x 上式对于2x0也成立.当0x

22时,

x2xx20cosx11cosx2sin22(2)2,

2xlim0,lim(1cosx)0,x02 x0

sinxlim1.limcosx1,又lim11,x0x0x0x

tan2xlim例1求x0x

tan2xsin2x1sin2x1limlimlim22x0x0x0xxcos2x2xcos2x解

1cosxlim.2x0x例2求

xxsin2sinx121lim(2)22sin2lim1212x0x22x0(x)21.原式lim2x02 2x解： 2 2

二、单调有界原理

如果数列xn满足条件x1x2x3xnxn1，就称数列xn是单调增加

h

h

的；如果数列

h

h

xn满足条件x1x2x3xnxn1，就称数列xn是单调减少的.单调

增加和单调减少的数列统称为单调数列.

单调有界原理：

单调有界数列必有极限。

类似地,

1lim(1)xx存在，可分几步走. 为了证明x1lim(1)nn存在. （1）首先证明n1设xn(1)nn

n1n(n1)1n(n1)(nn1)112n1!n2!nn!n

11112n111(1)(1)(1)(1).2!nn!nnn 设xn1(11n1)n1 11112n111(1)(1)(1)(1)2!n1n!n1n2n1112n(1)(1)(1)(n1)!n1n2n1

显然xn1xn, xn是单调递增的;

11111xn1111n13n12!n! 22 2 3,

x是有界的;limxn存在.n

n1记为lim(1)nenn (e2.71828) （2）当x1时,有[x]x[x]1,

(1而

1[x]11)(1)x(1)[x]1,[x]1x[x]

1[x]111)lim(1)[x]lim(1)exxx[x][x][x]

1[x]lim(1)x[x]11[x]111lim(1)lim(1)exx[x]1[x]1

1lim(1)xe.xx lim(1令tx, 所以

111tlim(1)xlim(1)tlim(1)xtxt tt1h

h

lim(1t所以

1t11)(1)et1t1

1lim(1)xexx令t1,x

1x

1lim(1x)lim(1)tex0tt

lim(1x)ex01x1lim(1)x.x 例3 求x111lim[(1)x]1lim.xx1x(1)xex解：原式

3x2xlim().x2x例4

1x2214lim[(1)](1)e2.x2x2解： 原式x

第七节 无穷小的比较

教学目的：理解无穷小的概念，会比较无穷小的阶，并会应用等价无穷小计算极

限

教学重点：无穷小的比较，等价无穷小在极限运算中的应用 教学难点：等价无穷小在极限运算中的应用 教学内容：

一、无穷小的比较

1都是无穷小.x

例如，

观察各极限

当x0时,x,x2,sinx,x2sinx2lim2x03x0,x比3x要快得多;

sinxlimx0x1,sinx与x大致相同;

1x2sinxlimsin1limx0x0x不存在.不可比.x2h

h

极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.

当在给定的趋势下，变量、都是无穷小量，那么，它们谁趋近于零的速度更快呢，我们给出如下定义：

定义 设,是同一过程中的两个无穷小,且0.

0,就说是比高阶的无穷小,记作o(); (2)如果limC(C0),就说与是同阶的无穷小;

特殊地如果lim1,则称与是等价的无穷小;记作~; (3)如果limkC(C0,k0),就说是的k阶的无穷小.

(1)如果lim例如 当x0时,4xtanx为x的四阶无穷小.

34xtan3xtanx3limlim4()44x0x0xx因为。

二、等价无穷小在极限运算中的应用

存在,则limlim. 定理

lim()limlimlimlimlim. 证：

设~,~且limtan22xlim.x01cosx例1 求

解:

当x0时,1cosx~12x,tan2x~2x.2

(2x)2lim8x012x2原式

常用等价无穷小:

当x0时,sinx~x~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1x)~ex1~x,注意: 不能滥用等价无穷小代换.例2

1cosx~12x.2

(1x)a1~ax(a0),ax1~xlna

对于代数和中各无穷小不能分别替换.

求limtanxsinx.x0sin32x

xxx0(2x)3错解: 当x0时,tanx~x,sinx~x.=0

1~x3,解: 当x0时,sin2x~2x,tanxsinxtanx(1cosx)2原式limh

h

13x1lim23x0(2x)16 原式

tan5xcosx1求lim.x0sin3x例3

解: tanx5xo(x),sin3x3xo(x),1cosx12xo(x2).2

o(x)1o(x2)1225x5xo(x)xo(x)x2x52limlimx0x0o(x)3xo(x)33x原式

第七节 无穷小的比较

教学目的：理解无穷小的概念，会比较无穷小的阶，并会应用等价无穷小计算极

限

教学重点：无穷小的比较，等价无穷小在极限运算中的应用 教学难点：等价无穷小在极限运算中的应用 教学内容：

一、无穷小的比较

1都是无穷小.x

例如，

观察各极限

当x0时,x,x2,sinx,x2sinx2lim2x03x0,x比3x要快得多;

sinxlimx0x1,sinx与x大致相同;

1x2sinxlimsin1limx0x0x不存在.不可比. x2极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.

当在给定的趋势下，变量、都是无穷小量，那么，它们谁趋近于零的速度更快呢，

我们给出如下定义：

定义 设,是同一过程中的两个无穷小,且0.

0,就说是比高阶的无穷小,记作o(); (2)如果limC(C0),就说与是同阶的无穷小;(1)如果limh

h

特殊地如果lim(3)如果limC(C0,k0),就说是的k阶的无穷小.k

31,则称与是等价的无穷小;记作~;

例如 当x0时,4xtanx为x的四阶无穷小.

4xtan3xtanx3limlim4()44x0x0xx因为。

二、等价无穷小在极限运算中的应用

存在,则limlim. 定理

lim()limlimlimlimlim. 证：

设~,~且limtan22xlim.x01cosx例1 求

解:

当x0时,1cosx~12x,tan2x~2x.2

(2x)2lim8x012x2原式

常用等价无穷小:

当x0时,sinx~x~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1x)~ex1~x,注意: 不能滥用等价无穷小代换.例2

1cosx~12x.2

(1x)a1~ax(a0),ax1~xlna

对于代数和中各无穷小不能分别替换.

求limtanxsinx.x0sin32x

xxx0(2x)3错解: 当x0时,tanx~x,sinx~x.=0

1~x3,解: 当x0时,sin2x~2x,tanxsinxtanx(1cosx)2

13x12limx0(2x)316 原式

原式lim例3

求limtan5xcosx1.x0sin3x

1cosx12xo(x2).2解: tanx5xo(x),sin3x3xo(x),h

h

o(x)1o(x2)1225x5xo(x)xo(x)x2x52limlimx0x0o(x)3xo(x)33x原式

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的和、差、积、商的连续性

由函数在一点处连续的定义和极限的四则运算法则可知：

(ⅰ)若函数f(x),g(x)在点x0处连续,则f(x)g(x),f(x)g(x)在点x0处连续, (ⅱ)

若函数f(x),g(x)在点x0处连续,f(x)(g(x0)0)在点x0处也连续g(x).

二、反函数与复合函数运算的连续性

定理 如果函数yfx在区间Ix单调增加（或单调减少）且连续那末它的反函数x=(y)也在对应区间

Iyyyfx，xIx上单调增加（或单调减少）且连续.

反三角函数在其定义域内皆连续.

,]上单调增加且连续,22例如,

故yarcsinx在[1,1]上也是单调增加且连续.

同理yarccosx在[1,1]上单调减少且连续; yarctanx,yarccotx在[,]上单调且连续.

xx0连续，x0u0，uu0定理 设函数ux在点且而函数yfu在点

ysinx在[0也是连续的. 连续，那么复合函数yfx在点

意义：极限符号可以与函数符号互换。

xx二、初等函数的连续性

基本初等函数在定义域内是连续的，一切初等函数在其定义区间内都是连续的（定义区间是指包含在定义域内的区间）。

注意：初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续。 例如, ycosx1,D:x0,2,4,这些孤立点的邻域内没有定义.

ex1ln(1x)limlimx0x例 求（1）， （2）x0x

1x21limlimsine1x1x（3）， （4）x0xh

h

1x1x解：（1）原式

limln(1x)ln[lim(1x)]lne1x0x0

x令e1y,则xln(1y),当x0时,y0. （2）

lim原式

ylimy0ln(1y)y011ln(1y)1y1

（3）原式sine1sine1

lim（4）原式

x0(1x21)(1x21)x(1x21)limx0x1x21002

第十节 闭区间连续函数性质

教学目的：理解闭区间上的连续函数的性质 教学重点：闭区间上的连续函数的性质 教学难点：闭区间上的连续函数的性质 教学内容：

在闭区间上的连续函数具有下述良好性质

一、有界性与最大值和最小值定理

定理 若函数fx在闭区间a，b上连续，则fx在a，b上有最大值和最小值。 定理 若函数fx在闭区间a，b上连续，则fx在a，b上有界。 证：设函数f(x)在[a,b]上连续,x[a,b],有mf(x)M,

取Kmax{m,M},则有f(x)K. 函数f(x)在[a,b]上有界.

注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.

二、零点定理与介值定理

定理 （零点定理） 设函数fx在闭区间a，b上连续，且fa与fb异号（即

fafb0）,那么在开区间a，b内至少有函数fx的一个零点，即至少有一点

ab使f0.

即方程f(x)0在(a,b)内至少存在一个实根.

几何解释: 闭区间连续函数曲线弧yf(x)的两个端点位于x轴的不同侧，则曲线弧

与x轴至少有一个交点。

h

h

例1 证明方程x4x10在区间(0,1)内至少有一根. 证：令f(x)x4x1,则f(x)在[0,1]上连续,

3232又f(0)10, f(1)20,

32即410, (a,b),使f()0,由零点定理,

方程x34x210在(0,1)内至少有一根.

定理 （介值定理） 设函数fx在闭区间a，b上连续，且在这区间的端点取不同

的函数值faA及fbB，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间a，b内至少有一点，使得fCab.

证：设(x)f(x)C,则(x)在[a,b]上连续,

且(a)f(a)C AC, (b)f(b)C BC,

(a)(b)0,由零点定理, (a,b),使 ()0,

即()f()C0, f()C.

几何解释：连续曲线弧yf(x)与水平直线yC至少有一个交点. 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值

例2

设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)a,f(b)b.证明(a,b),使得f(). 证：令F(x)f(x)x,则F(x)在[a,b]上连续,

而F(a)f(a)a0, F(b)f(b)b 0,

由零点定理, (a,b),使F()f()0, 即f().

第一节 导数概念

教学目的：理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线,了解导数的

物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系

教学重点：导数的概念,导数的几何意义

教学难点：导数定义的理解,不同形式的掌握 教学内容：

一、引例

1．切线问题

圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”.但是对于其它曲线，用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适.例如，对于抛物线yx，在原点O处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有x轴是该抛物线在点O处的切线.下面给出切线的定义.

设有曲线C及C上的一点M（图2-1），在点M外另取C上一点N，作割线MN.当

h

2h

点

h

h

N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.这里极限位置的含义是：只要弦长MN趋于零，

NMT也趋于零.

现在就曲线C为函数yfx的图形的情形来讨论切线问题.设

Mx0，y0是曲线C上的一个点（图2-2），则

y0fx0.根据上述定义要定出曲线C在点M处的切线，只要

定出切线的斜率就行了.为此，在点M外另取C上的一点Nx，y，于是割线MN的斜率

为

tanyy0fxfxxx00xx0，

其中为割线MN的倾角.当点N沿曲线C趋于点M时，xx0.如果当xx0时，

上式的极限存在，设为k,即

klimfxfx0xx0xx0

存在，则此极限k是割线斜率的极限，也就是切线的斜率.这里ktan，其中是切线MT的倾角.于是，通过点

Mx0，fx0且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处

的切线.事实上，由NMT以及

xx0时，可见xx0时（这时

MN0），NMT0.

因此直线MT确为曲线C在

点M处的切线.

图2-1

2．质点沿直线运动的速度

设某点沿直线运动.在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴.此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点.设动点于时刻t在直线上的位置的坐标为s（简称位置s）.这样，运动完全由某个函数

sft

所确定.这函数对运动过程中所出现的t值有定义，称为位置函数.在最简单的情形，该动点所经过的路程与所花的时间成正比.就是说，无论取哪一段时间间隔，比值

经过的路程

所花的时间

①

总是相同的.这个比值就称为该动点的速度，并说该点作匀速运动.如果运动不是匀速

h

图2-2

h

的，那么在运动的不同时间间隔内，比值①会有不同的值.这样，把比值①笼统地称为该动点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑.那么，这种非匀速运动的动点在某一时刻（设为

t0）的速度应如何理解而又如何求得呢？

ts0ft0移动到

首先取从时刻0到t这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置stft.这时由①式算得的比值

h

h

ss0ftft0tt0tt0

也可用来说明动点在时刻

②

可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度.如果时间间隔选得较短，这个比值②在实践中

t0的速度.但对于动点在时刻t0的速度的精确概念来说，这样做是

tt0,取②式的极限，如果这个极限存在，设为v0，即不够的，而更确切地应当这样：令

ftft0v0limttttt0，这时就把这个极限值v0称为动点在时刻0的（瞬时）速度.

0二、导数的定义

1．函数在一点处的导数与导函数

xx定义 设函数yfx在点0的某个邻域内有定义，当自变量x在0处取得增量x（点

x0x仍在该邻域内）yfx0xfx0；时，相应地函数y取得增量如果yx与x之比当x0时的极限存在，则称函数yfx在点0处可导，并称这个极限为

yxxxyfx00，即 函数在点处的导数，记为

yxxlim0也可记作

fx0，

dydxxxx0或

dfxdxxx0fx0xfx0ylimx0xx0x

.

③

函数fx在点0处可导有时也说成fx在点

导数的定义式③也可取不同的形式，常见的有

x0具有导数或导数存在.

fx0lim和

h0fx0hfx0h

fxfx0xx0

④

fx0lim 2．求导举例

xx0⑤

如果函数yf(x)在开区间I内的每点处都可导,就称函数f(x)在开区间I内可导.例 1 求函数fxC（C为常数）的导数. 解：数等于零.

解：

fxlimh0fxhfxCClim0h0C0.这就是说，常数的导hh，即

nfxx例 2 求函数（n为正整数）在xa处的导数.

fxfaxnanfalimlimlimxn1axn2an1nan1xaxaxaxaxa

n1nn1fxnxxnxax把以上结果中的换成得，即.

yx更一般地，对于幂函数

xx（为常数），有

1.这就是幂函数的导数公

h

h

式.利用这公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如：

h

h

1122时，yxx（x0）的导数为 当

111111x2x2x222，即

1yx1x（x0）的导数为 当1时，

x21x

x1x11111x2，即xx2

hhsin22

例 3 求函数fxsinx的导数

fxlim解：

h0fxhfxsinxhsinx1limlim2cosxh0h0hhhsinxcosx 即

这就是说，正弦函数的导数是余弦函数.

hlimcosxh02h2

sinh2cosx

cosxsinx，用类似的方法，可求得这就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数. xfxa例 4 求函数（a0，a1）的导数. fxhfxaxhaxah1xfxlimlimalimaxlna解：

h0hh0hh0h

aa即

xxlna

这就是指数函数的导数公式.特殊地，当ae时，因lne1，故有

上式表明，以e为底的指数函数的导数就是它自己，这是以e为底的指数函数的一个重要特性.

例 5 求函数ylogax(a0,a1)的导数.

eexx

hhloga(1)loga(1)loga(xh)logaxx1limx1ylimlimh0h0hhhxh0xxx解：

x1hh1limloga(1)logaexh0xx

即

(logax)11logae.(lnx).xx

h

h

3、单侧导数

xfx0的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要

根据函数fx在点0处的导数

条件是左、右极限都存在且相等，因此是左、右极限

fx0存在即fx在点x0处可导的充分必要条件

fx0hfx0fx0hfx0limh0hh及h0

x都存在且相等.这两个极限分别称为函数fx在点0处的左导数和右导数，记作

limfx0及fx0，即

fx0hfx0fx0hfx0fx0limh0h0hh，

xfxfx现在可以说，函数在点0处可导的充分必要条件是左导数0和右导数0都

fx0lim存在且相等.

如果函数fx在开区间a，b内可导，且fa及fb都存在，就说fx在闭区间

a，b上可导.

例 6

讨论函数f(x)x在x0处的可导性.

f(0h)f(0)h,hh 解：

f(0h)f(0)hlimlimh0h0h=1 hf(0h)f(0)hlimlimh0h0hh1.

即f(0)f(0),函数yf(x)在x0点不可导.

三、导数的几何意义

fx是曲线yfx在x0，fx0点的切线斜率；

St0是t0时刻的速度；

路程SSt对时间t的导数

在抽象情况下，fx0表示yfx在xx0点变化的快慢

四、函数的可导性与连续性的关系

定理 如果函数yfx在点x处可导，则函数在该点必连续. 证：设函数f(x)在点x0可导,

yyf(x0)f(x0)x0xx， 0(x0)，yf(x0)xx

limx0limylim[f(x0)xx]x0=0

h

h

函数f(x)在点x0连续.h

h

yfx在x点处连续是可导的必要条件，而不是充分条件.

解：

x2，x1fx2x，x1在点x1连续性与可导性 例 7 讨论

limfx1，limfx2x1x1

fx在x1不连续，即fx在x1不可导.

x21，x1fx2x，x1在点x1连续性与可导性 例 8 讨论

解：

fxf1x212f1limlim2x1x1x1x1

fxf12x2f1limlim2x1x1x1x1

 f12，fx在x1可导，当然在x1点连续.

解：

x，x1fx2x，x1 例 9 讨论

limfxlimx1，limfxlim2x1x1x1x1x1

fx在x1连续

fx在x1不可导.

fxf1x1lim1x1x1x1x1 fxf12x1f1limlim1x1x1x1x1 f1lim第二节 函数的求导法则

教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函

数的导数

教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法 教学难点：反函数求导 教学内容：

一、 函数的和、差、积、商的求导法则

定理 函数（1）

ux,v(x)在点x处可导，则

uxvx在点x处可导，且

uxvxuxvxh

h

（2）

cux在点x处可导，且

cuxcux c为常数

（3）

uxvx在点x处可导，且

ux(vx0)vx（4）在点x处可导，且

uxvxuxvxuxvx

uxuxvxuxvxvxv2x

证 (1)略.

fxhfxh0h（2）

uxhvxhuxvxlimh h0

1limuxhvxhuxvxhuxvxhuxvx h0h

vxhvxuxhuxlimvxhuxh0hh

uxhuxvxhvxlimlimvxhuxlimh0h0hh h0

 uxvxuxvx u(x)f(x),(v(x)0),v(x)(3) 设

fxlimu(xh)u(x)f(xh)f(x)v(xh)v(x)limf(x)limh0h0hh

u(xh)v(x)u(x)v(xh)limh0v(xh)v(x)h

[u(xh)u(x)]v(x)u(x)[v(xh)v(x)]limh0v(xh)v(x)h u(xh)u(x)v(xh)v(x)v(x)u(x)hhlimh0v(xh)v(x) u(x)v(x)u(x)v(x)[v(x)]2

f(x)在x处可导.

32例 1 求yx2xsinx的导数.

解：y3x4xcosx 例 2求ysin2xlnx的导数. 解y2sinxcosxlnxh

2h

y2cosxcosxlnx2sinx(sinx)lnx2sinxcosx12cos2xlnxsin2x.x

例 3 ytanx，求y.

1x

sinxsinxcosxsinxcosxytanxcos2xcosx解：

cos2xsin2x1sec2x22cosxcosx ，

tanxsec2x 即

这就是正切函数的导数公式. 例 4 ysecx，求y.

11cosx1cosxsinxysecxsecxtanx22cosxcosxcosx解：，

secxsecxtanx 即

这就是正割函数的导数公式.

用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式：

cotxcsc2x， cscxcscxcotx.

二、反函数的求导法则

定理

如果函数x(y)在某区间Iy内单调、可导且(y)0,那末它的反函数yf(x)在对应区间Ix内也可导,且有f(x)1.(x)

即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

证：任取xIx,给x以增量x(x0,xxIx) 于是有

由yf(x)的单调性可知y0,

y1,xxy

因为 f(x)连续,y0(x0),又知(y)0

所以

f(x)lim 即

y11limx0xy0x(y)y

h

h

f(x)例 5 求函数yarcsinx的导数. 解：

1.(y)

xsiny在Iy(,)内单调、可导,且(siny)cosy0, 22在Ix(1,1)内有

1111.(arcsinx)221siny(siny)cosy1x

1(arccosx).21x 同理可得

11;(arccotx).1x2 1x2

例 6 求函数ylogax的导数.

yyyxa在I(,)内单调、可导,且(a)alna0, y解：

(arctanx)在Ix(0,)内有,

(logax)1(lnx).x 特别地

111y.y(a)alnaxlna

三、复合函数的导数

xux0可导，则复合函数

定理 如果ux在点0可导，而yfu在点0yfx在点x0可导，且其导数为

dydxfu0x0xx0u证 由于yfu在点0可导，因此

yfu0u0u lim存在，于是根据极限与无穷小的关系有

yfu0u

其中是u0时的无穷小.上式中u0，用u乘上式两边，得

yfu0uu yfu0ufu00，

当u0时，规定0，这时因

而用x0除

yfu0uu右端亦为零，故yfu0uu对u0也成立.

yfu0uu两边，得

yuufu0xxxh

h

于是

根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道，当x0时，u0，从而可以推知

x0yuulimfu0x0xx0xx limlimlim0u0x又因ux在点0可导，有

ux0x0x lim故

uuf/u0limx0xx0x lim即

dydxfu0x0xx0

证毕.

复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形.我们以两个中间变量为例，设

yfu，uv，vx，则

dydydudududvdxdudx，而dxdvdx

dydydudvdxdudvdx

当然，这里假定上式右端所出现的导数在相应处都存在.

x的导数为 故复合函数yfdy例 7 ylnsinx，求dx.

dy1sinxcosxcotxlnsinxsinxsinx解：dx. dy23例 8 y12x，求dx.

12dy14x232312x12x12x2dx33312x2解：

2.

dyx，求dx. ylncose例 9

dy1dusinvxylnuucosvveduudv解：所给函数可分解为，，.因，，dvexdx，故

不写出中间变量，此例可这样写：

h

dy1sinexxxxxsinveeetanedxucosex

h

dy1sinexxxxlncosecoseeextanexxxdxcosecose

四、常用的导数公式

C0x1， x（1）， （2）

（3）sinxcosx， （4）cosxsinx，

22tanxsecxcotxcscx， （5）， （6）

secxsecxtanxcscxcscxcotx， （7）， （8）

aa（9）

xxlna， （10）exex，

1lnx1x， xlna， （12）（11）

arcsinx12arccosx121x， （14）1x， （13）

arctanx12arccotx121x， （16）1x. （15）

logax五、基本的导数运算法则

（1）函数的和、差、积、商的求导法则 设uux，vvx都可导，则

uvuv，

CuCu（C是常数）， uvuvuv，

uuvuvv2vv0.

（2）复合函数的求导法则

设yfu，而ux且fu及x都可导，则复合函数yfx的导数为

dydydudxdudx或yxfux

（3）反函数求导法则

dx1dydydydx 若dx存在且不为零，则

h

h

第三节 高阶导数

教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导

数

教学重点：高阶导数的求法 教学难点：高阶导数的归纳方法 教学内容：

变速直线运动的加速度.

设sf(t),则瞬时速度为v(t)f(t),加速度a是速度v对时间t的变化率 a(t)v(t)[f(t)].

一般地，函数yfx的导数yfx仍然是x的函数.我们把yfx的导数叫

d2y2做函数yfx的二阶导数，记作y或dx，即

d2yddy2dxdx yy或dx相应地，把yfx的导数fx叫做函数yfx的一阶导数.

类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，…，一般地，

n1阶导数的导数叫做n阶导数，分别记作

或

y，y4，，yn

d2yd4ydny，，，ndx2dx4dx

函数yfx具有n阶导数，也常说成函数fx为n阶可导.如果函数fx在点x处具有n阶导数，那么fx在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数.二阶及二阶以

上的导数统称高阶导数.

由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导数.所以，仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数.

例1 求指数函数的n阶导数.

xx4xnxxyeyeyeyeye解：，，，.一般地，可得，

即 y例2 求正弦与余弦函数的n阶导数. 解：ysinx，

nex

ycosxsinx2， ycosxsinxsinx22222， ycosx2sinx322，h

h

y4cosx3sinx422， ynsinxn2 一般地，可得

即

sinxnsinxn用类似方法，可得

2

cosxncosxn例3 求对数函数ln1x的n阶导数.

2

11212341yyy234yln1x1x1x1x1x解：，，，，，

!n1n1yn1n1x一般地，可得

yln1xn1n1n1n!1x 即

通常规定0!1，所以这个公式当n1时也成立.

例4求幂函数的n阶导数公式.

yx解：设（是任意常数），那么

yx1，

y1x2， y12x3， y4123x4，

一般地，可得

yn12n1xn

即 当n时，得到

x12n1xnnnnn1n

xnn1n2321n！

0 而 x如果函数uux及vvx都在点x处具有n阶导数，那么显然uxvx及

uxvx也在点x处具有n阶导数，且

uvnunvn

uxvxuvuvuv首先得出 n但乘积的阶导数并不如此简单.由

uvuv2uvuvh

h

uv'''uv3uv3uvuv

k!nuv上式为莱布尼茨（Leibniz）公式.这公式可以这样记忆：把按二项式定理展开写成

uvnunvnun1vnn1un2vnn1nk1unkvkuvn2!用数学归纳法可以证明

uvnunv0nun1v1nn1n22uvu0vn2!

nuv即

nknkkCnuvk0

然后把k次幂换成k阶导数（零阶导数理解为函数本身），再把左端的uv换成uv，这

样就得到莱布尼茨公式

uv例5 yxe22xnknkkCnuvk0n，求y20

.

2x2解：设ue，vx，则uv2x，v2，vy20x2e2xk0k1，2，，20，

k3，4，，20，代入莱布尼茨公式，得

k2ke2x20

220e2xx220219e2x2x

220e2xx220x95

2019182x2e22!

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

教学目的：掌握复合函数的求导法则，熟练复合函数的求导方法，掌握隐函数和

参数方程确定的函数的求导方法

教学重点：复合函数的求导法则，隐函数求导 教学难点：理解复合函数的求导方法，隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数

的求法，幂指函数的求导方法

教学内容：

一、隐函数求导

函数yfx表示两个变量y与x之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方

2ysinxylnx1x式表达.前面我们遇到的函数，例如，等，这种函数表达方式

的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任

一值时，由这式子能确定对应的函数值.用这种方式表达的函数叫做显函数.有些函数的表达

3xy10表示一个函数，因为当变量x在方式却不是这样，例如，方程

h

h

，内取值时，变量y有确定的值与之对应.例如，当x0时，y1；当x13时，y2，等等.这样的函数称为隐函数.

一般地，如果在方程Fx，y0中，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程Fx，y0在该区间内确定了一个隐函数.

把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.例如从方程xy10解出

3y31x，就把隐函数化成了显函数.隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的.

但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.下面通过具体例子来说明这种方法.

dyy例1 求由方程exye0所确定的隐函数y的导数dx.

解：我们把方程两边分别对x求导数，注意y是x的函数.方程左边对x求导得

dydydyexyeeyyxdxdxdx，

00. 方程右边对求导得

由于等式两边对x的导数相等，所以

dydyyx0dxdx，

dyyxey0yxe从而 dx. yexye0所确定的隐函数. y在这个结果中，分式中的是由方程

eyyxyee，确定了y是x的函数，求y0. 例2

y1yy0ye. xey，x0时y1，解：yxyey0，

的函数的导数.这类函数既不是幂函数也不是指数函

数，通常称为幂指函数.求导方法如下：

方法1

下面来看如何求形如yuxvxyuxvx解：为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得

令wvlnudyv(x)lnu(x)weewxxwdx

ewv(x)lnuxx

v(x)ev(x)lnu(x)v(x)lnuxuxux

v(x)vxuxv(x)lnuxuxux

lnyv(x)lnuxev(x)lnu(x)

；

h

h

1v(x)yv(x)lnuxuxyux于是

故

v(x)yyv(x)lnuxuxux yuxvx由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算，通过

取对数得到化简.

sinxyx例3 求

v(x)uxv(x)lnuxux

x0的导数.

11ycosxlnxsinxyx，

解：先在两边取对数，得lnysinxlnx；

上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得

sinxsinxsinxyycosxlnxxcosxlnxxx. 于是

y例4求

x1x2x3x4的导数.

lny解：先在两边取对数（假定x4），得

1lnx1lnx2lnx3lnx42，

上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得

111111yy2x1x2x3x4

于是

y1x2x3x4x； 当x1时，

x1x2y3x4x； 当2x3时，

yy11112x1x2x3x4

用同样方法可得与上面相同的结果.

隐函数求导方法小结：

（1）方程两端同时对x求导数，注意把y当作复合函数求导的中间变量来看待，例如

lnyx1yy.

（2）从求导后的方程中解出y来.

（3）隐函数求导允许其结果中含有y.但求一点的导数时不但要把x值代进去，还要把

h

h

对应的

h

h

y值代进去.

二、由参数方程确定的函数的导数

xt若由参数方程yt确定了y是x的函数，如果函数xt具有单调连续反函数

xttx，且此反函数能与函数yt复合成复合函数，那么由参数方程yt所确定的函数可以看成是由函数yt、tx复合而成的函数yx.现在，要计

/xtyt算这个复合函数的导数.为此，再假定函数、都可导，而且t0.于是

根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式，就有

dydydtdy1tdxdxdtdxdttdt，

dytdxt. 即

dydydtdxdxdt. 上式也可写成

dytdxt还可导出y对x的二阶导数公式：如果xt、yt还是二阶可导的，由

d2yddydtdttttt122dxdxdttdxt， dxt即

d2ytttt2dx3t

xa(tsint)求摆线在t处的切线2方程. ya(1cost)例5

dysindydtdy2dxt21cosdxdxasintsint2=1 dtaacost1cost解:

当t时,xa(1),ya.22

yaxa(1)即yxa(2)22 所求切线方程为

不计空气的阻力,以初速度v0,发射角发射炮弹,其运动方程为例6

h

h

xv0tcos,12yvtsingt,02

求(1)炮弹在时刻t0的运动方向;(2)炮弹在时刻t0的速度大小.

解：

yv0vyvvxx （1）在t0时刻的运动方向即轨迹在t0时刻的切线方向,可由切线的斜率来反映.

o1(v0tsingt2)vsingtdy20dx(v0tcos)v0cos

v0singt0dy.ttdx0v0cos

(2)炮弹在t0时刻沿x,y轴方向的分速度为

dxvxtt0(v0tcos)tt0v0cosdt

dy12vy(vtsingt)tt0v0singt0tt00dt2

在t0时刻炮弹的速度为 2222vvxvyv02v0gt0sing2t0 xacos3t求由方程表示的函数的二阶导数.3yasint例7

解：

dydydt3asin2tcosttantdxdx3acos2t(sint)dt

d2yddy(tant)sec2tsec4t()dx2dxdx(acos3t)3acos2tsint3asint

h

h

三、相关变化率

设xx(t)及yy(t)都是可导函数,而变量x与y之间存在某种关系,从而它们的变化率为相关变化率.相关变化率问题:

已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 例8

dxdy与之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率称dtdt

一汽球从离开观察员500米处离地面铅直上升,其速率为140米/秒.当气球高度为500米时,观察员视线的仰角增加率是多少?解：设气球上升t秒后,其高度为h,观察员视线的仰角为,则

tanh500

上式两边对t求导得

sec2dh140米/秒,当h500米时,sec22 dtd0.14(弧度/分)dt 例9

d1dhdt500dt

河水以8米3/秒的体流量流入水库中,水库形状是长为4000米,顶角为1200的水槽,问水深20米时,水面每小时上升几米?

4000m

600

解：设时刻t水深为h(t),水库内水量为V(t),则

V(t)40003h2

上式两边对t求导得

dV28800米3/小时,当h20米时, dtdh0.104米/小时dt

dVdh80003hdtdt

h

h

第五节 函数的微分

教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用

微分作近似计算

教学重点：微分的计算

教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算 教学内容：

一、微分的定义

yfxxfx00是我们非常关心的.一般说来函数的增量的计计算函数增量

算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法.

先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变

化的影响，其边长由0变到0（图2-1），问此薄片的面积改变了多少？

设此薄片的边长为x，面积为A，则A是x的函数：

xxxAx2.薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看

成是当自变量x自A，即

图2-1

x0取得增量x时，函数A相应的增量

22A的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分x在图中是带有交

2xx0叉斜线的小正方形的面积，当时，第二部分是比x高阶的无穷小，即

2

2Ax0xx02x0xx

2xA是A分成两部分，从上式可以看出，第一部分0x20x.由此可见，如果边长改变很微小，即x很小时，面积的改变量A可近似

地用第一部分来代替.

一般地，如果函数yfx满足一定条件，则函数的增量y可表示为

yAx0x

其中A是不依赖于x的常数，因此Ax是x的线性函数，且它与y之差

yAx0x

是比x高阶的无穷小.所以，当A0，且

x

很小时，我们就可近似地用Ax来代替

y.

xx及x0在这区间内，如果函数的增量

定义 设函数yfx在某区间内有定义，0可表示为 yAx0x， ① 其中A是不依赖于x的常数，而0x是比x高阶的无穷小，那么称函数yfx在点

h

yfx0xfx0

h

x0是可微的，而Ax叫做函数yfx在点x0相应于自变量增量x的微分，记作dy，

即 dyAx.

y0xAx. 边除以x，得 x于是，当x0时，由上式就得到

yAlimfx0x0x xxfx0存在）

因此，如果函数fx在点0可微，则fx在点0也一定可导（即，且Afx0.

x反之，如果yfx在点0可导，即

x下面讨论函数可微的条件.设函数yfx在点0可微，则按定义有①式成立.①式两

存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成

yfx0x0x lim其中0（当x0）.由此又有

yfx0x

x因x0x，且不依赖于x，故上式相当于①式，所以fx在点0也是可微的.

由此可见，有下面定理.

xx定理 函数fx在点0可微的充分必要条件是函数fx在点0可导，且当fx在点x0可微时，其微分一定是

dyfx0x ②

当

yfx0xx

fx00时，有

limyy1ylimlim1x0dyx0fxxx0xfx00

从而，当x0时，y与dy是等价无穷小，这时有

ydy0dy ③

即dy是y的主部.又由于

dyfx0x是x的线性函数，所以在fx00的条

件下，我们说dy是y的线性主部（当x0）.这是由③式有

ydy0x0dy lim从而也有

ydy0x0dy limydydy表示以dy近似代替y时的相对误差，于是我们得到结论：在式子

h

h

fx00的条件下，以微分dyfx0x近似代替增量yfx0xfx0时，相对误差当x0时趋于零.因此，在

x

很小时，有精确度较好的近似等式

函数yfx在任意点x的微分，称为函数的微分，记作dy或dfx，即

ydy

dyfxx.

注1：由微分的定义，我们可以把导数看成微分的商.例如求sinx对x的导数时就可以看成sinx微分与x微分的商，即

dsinxdxcosxdx2xcosx1dx2x

二、微分的几何意义

为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义.

x在直角坐标系中，函数yfx的图形是一条曲线.对于某一固定的0值，曲线上有

一个确定点

Mx0，y0当自变量x有微小增量x时，就得

Nx0x，y0y.从图2-2可知：

MQx

QNy

到曲线上另一点

过M点作曲线的切线,它的倾角为，则

由此可见，当y是曲线yfx上的M点的纵坐标的

xydyx

增量时，dy就是曲线的切线上M点的纵坐标的相应增量.当很小时，比小得多.因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段.

图2-2

QPMQtanxfx0

即 dyQP.

三、微分公式与微分运算法则

3求函数yx当x2,x0.02时的微分. 例1

3dy(x)x3x2x. 解：

dyx2=0.24

1.由导数公式与微分的定义可以得到如下微分公式

1dxxdx， （2）dsinxcosxdx， （1）

2dtanxsecxdx， dcosxsinxdx（3）， （4）

2dcotxcscxdx， （6）dsecxsecxtanxdx，（5）

x0.023x2xx2x0.02h

h

（7）dcscxcscxcotxdx， （8）da（9）deaxxlnadx，

edx， （10）

xxdlogax1dxxlna，

1dxx， （11）

1darcsinxdx21x（12），

dlnxdarccosx（13）

11x2dx，

1dx21x（14），

1darccotxdx21x（15）.

darctanx2.微分运算法则

由dyfxdx，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当u、v都可导）：

（1）duvdudv， （2）dCuCdu， （3）duvvduudv，

uvduudvd2vv（4）.

3.复合函数微分法则

与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下： 设yfu及ux都可导，则复合函数yfx的微分为

由于xdxdu，所以，复合函数yfx的微分公式也可以写成

dudyfudu或dyyu

由此可见，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式dyfudu保持不变.这一性质称为微分形式不变性.这性质表示，当变换自变量时（即设u为另一变量的任

xdxdyyxdxfu

一可微函数时），微分形式dyfudu并不改变. 四、微分在近似计算中的应用

函数在一点处的微分是函数增量的近似值，它与函数增量仅相差x的高阶无穷小.因此要会应用下面两个公式：

作近似计算.

常用近似公式

ydyfx0x

fx0xfx0fx0x

(x很小时)

h

h

1x;(2)sinxx(x为弧度);n

x(3)tanxx(x为弧度);(4)e1x; (5)ln(1x)x.

o例2 计算cos6030的近似值. (1)n1x1解：设f(x)cosx,f(x)sinx,(x为弧度)

x03,x1,f(),32360cos60o30cos()cossin336033360 130.4924.22360

例3

3f().32

半径10厘米的金属圆片加热后,半径伸长了0.05厘米,问面积增大了多少?

2解：设Ar,r10厘米,r0.05厘米.

所以

Ad2rr2100.05(厘米2)

第一节 微分中值定理

教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理.

教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理.

教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用. 教学内容：

定义 设函数f(x)在x0的某一邻域U(x0)内有定义, 如果对于去心邻域U(x0)内的任一x，有极小值）.

函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.

函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值, 那只是就x0附近的一个局部范围来说

导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).

定理 （费马引理） 设函数如果对任意

f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)）

, 则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或

f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义, 并且在x0处可导,

xU(x0), 有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)), 那么f'(x0)0.

f(x)f(x0)，可以类似地证明）.

证明：不妨设xU(x0)时，f(x)f(x0)（若

h

h

f(x0x)f(x0), 从而当x0时,

于是对于x0xU(x0),有

f(xx)f(x)f(x0x)f(x0)00x0xx; 而当时, ;

00根据函数

f(x)在x0处可导及极限的保号性的得

f(x0x)f(x0)0f(x0)f(x0)x0x f(x0x)f(x0)''lim0f(x0)f(x0)x0x

''lim'所以f(x0)0, 证毕.

一、罗尔定理

定理 （罗尔定理） 如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续, （2）在开区间(a,b)内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即

f(a)f(b), 那么在(a,b)内至少在一点

(ab), 使得函数f(x)在该点的导数等于零，即f'()0.

证明：由于f(x)在[a,b]上连续，因此必有最大值M和最小值m，于是有两种可能的情形：

m，此时f(x)在[a,b]上必然取相同的数值M，即f(x)M.

由此得f(x)0.因此，任取(a,b)，有f()0.

（1）M（2）Mm，由于f(a)f(b)，所以M和m至少与一个不等于f(x)在区间[a,b]端点

处的函数值.不妨设Mf(a)(若mf(a),可类似证明),则必定在(a,b)有一点使

f()M. 因此任取x[a,b]有f(x)f(), 从而由费马引理有f()0. 证毕

几何意义：对于在[a,b]上每一点都有不垂直于x轴的切线，且两端点的连线与x轴平行的不间断的曲线

A

f(x)来说，至少存在一点C，使得其切线平行于x轴.

Cyyf(x)Boa12bx二、拉格朗日（Lagrange）中值定理

定理 （拉格朗日中值定理） 如果函数f(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续, （2）在开区间(a,b)内可导, 那么在(a,b)内至少有一点(ab), 使得等式 成立.

f(b)f(a)f'()(ba)

h

h

分析与证明：弦AB的方程为

yf(a)f(b)f(a)(xa).ba 曲线f(x)减去弦

h

h

AB，所得曲线AB两端点的函数值相等. 作辅助函数

f(b)f(a)F(x)f(x)[f(a)(xa)]ba

于是F(x)满足罗尔定理的条件，则在(a,b)内至少存在一点，使得F()0. f(b)f(a)f(b)f(a)f()F(x)f(x)baba又, 所以

'即在(a,b)内至少有一点(ab)，使得f(b)f(a)f()(ba).证毕 'f(b)f(a)f()(ba)又称为拉格朗日中值公式（简称拉氏公式）, 此说明: 1.

公式对于ba也成立;

2．拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系；当设f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导时, 若 x0,x0x(a,b), 则有

f(x0x)f(x0)f(x0x)x(01)

当y0f(x)时, 也可写成yf(xx)x(01).

(01)是函数增量y的精确表达式. 所以拉格朗日中值公

试与微分dyf(x)x比较: dyf(x)x是函数增量y的近似表达式, 而

yf(x0x)x式又称为有限增量公式, 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.

几何意义:

上述等式可变形为

f()f(b)f(a)ba，等式右端为弦AB的斜率, 于是在区间[a,b]上

不间断且其上每一点都有不垂直于

x轴切线的曲线上，至少存在一点C，使得过C点的切线

平行于弦AB. 当f(a)f(b)时，罗尔定理变为拉格朗日中值定理，即罗尔定理是拉格朗日

中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，下面用罗尔定理证明拉格朗日中值定理.

推论 若函数f(x)在区间I上导数恒为零，则f(x)在区间I上是一个常数.

xln(1x)x例3-1 证明当x0时,1x

证明: 设f(x)ln(1x), 则f(x)在[0,x]上满足拉氏定理的条件,于是

f(x)f(0)f()(x0),(0x),又

ln(1x)f(0)0,f(x)11x, 于是

11x11x10x1,而, 所以111x, 故,

h

h

xF(x)xxXxln(1x)x1x11x从而 , 即Yf(x) Cy2 证明：设f(x)arcsinxarccosx,x[1,1],由于例3-2 证明arcsinMxarccosx1N1x2(B1x1)f(x)Ao11x2()0D, 所以f(x)C,x[1,1],又

xf(0)arcsin0arccos0故

F(a)F(1)F(x)02 2, 即C(2)F(b)F2., arcsinxarccosx2.

三、柯西中值定理

定理 （柯西中值定理） 如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且F(x)在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b)内至少有一点(ab),使等式

'f(b)f(a)f'()F(b)F(a)F'()成立

XF(x)几何解释: 设曲线弧C由参数方程Yf(x)(axb)表示, 其中x为参数. 如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线, 那么在曲线C上必有一点x线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB, 曲线C上点

, 使曲

x处的切线的斜率为

f(b)f(a)f(b)f(a)f()dYf()dXF(), 弦AB的斜率为F(b)F(a). 于是F(b)F(a)F(), 即在曲线弧AB

上至少有一点C(F(),

证明: 作辅助函数

f()),在该点处的切线平行于弦AB.

f(b)f(a)[F(x)F(a)]F(b)F(a)

(x)f(x)f(a)则(x)满足罗尔定理的条件，于是在(a,b)内至少存在一点，使得()0, 即

f(b)f(a)f()f(b)f(a)f()F()0ba, 所以F(b)F(a)F().证毕

特别地 当F(x)x时, F(b)F(a)ba,F(x)1

f(b)f(a)f()f(b)f(a)f()F(b)F(a)F()ba由有

即f(b)f(a)f()(ba), 故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值

定理是拉格朗日中值定理的推广.

h

h

第二节 洛必达法则

教学目的：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求教学重点：洛必达法则.

教学难点：理解洛必达法则失效的情况, 0,型的极限的求法. 教学内容：

0000型和型以及0,型

000,1,未定式的极限的方法; 了解型极限的求法.

一、

型和型未定式极限

xa若当xa（或x）时，函数f(x)和F(x)都趋于零(或无穷大)，则极限

limf(x)F(x)0可能存在、也可能不存在，通常称为0型和型未定式.

lnsinaxtanx0lim例如 x0x, (0型); x0lnsinbx, (型).

定理3-2-1 设 (1)当x0时, 函数f(x)和F(x)都趋于零;

lim(2)在a点的某去心邻域内,f(x)和F(x)都存在且F(x)0;

lim(3)

xaf(x)F(x)存在(或无穷大),

f(x)f(x)lim则xaF(x)xaF(x) lim定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则

证明: 定义辅助函数

f(x),xaF(x),xaf1(x)F1(x)xa, xa 0,0,在U(a,)内任取一点x, 在以a和x为端点的区间上函数f1(x)和F1(x)满足柯西中值定理

的条件, 则有

f(x)f(x)f(a)f()F(x)F(x)F(a) F(), (在a与x之间)

当x故

0时,有a, 所以当xalimxalimf(x)f()AlimAaF()F(x), 有

f(x)f()limAF(x)aF().

证毕

tanx0例3-3 求x0x, (0型)

2(tanx)secxlimlim1x0x0(x)1解 原式==

limh

h

x33x20lim3x1xx2x1例3-4 求, (0型)

6x3x23lim3lim2解 原式= x13x2x1= x16x22

arctanx2limx10x例3-5 求 , (0型) 121xlimx2x1lim22xx解 原式==1x=1

f(x)0limxaF(x)说明: 如果仍属于0型, 且f(x)和F(x)满足洛必达法则的条件,可继续使

f(x)f(x)f(x)limlimxaF(x)xaF(x)xaF(x)用洛必达法则, 即;

lim二、型未定式极限

f(x)f(x)lim当x时, 该法则仍然成立, 有xF(x)xF(x);x时的未定式，也有相应的洛必达法则; 洛必达法则是充分条件;如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.

lnsinaxlim例3-6 求 x0lnsinbx, (型).

limacosaxsinbxlimcosbxlim解 原式= x0bcosbxsinax= x0cosax=1

tanxlimxtan3x例3-7 求 2, (型)

16cos3xsin3xsec2x1cos23xlimlimlim23x2cosxsinx3xcos2xx3sec3x222解 原式== =

sin6xlimxsin2xlimx = 2= 2

注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.

6cos6x32cos2xtanxx2例3-8 求x0xtanx

sec2x11tan2x1tanxxlimlimlim223x0x03xx解 原式= = =3x0x=3

lim三、其它未定式的极限

0关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型0型和型.

h

h

1．0型未定式的求法

步骤：

01,0010 或

(0)型

x例3-9 求xlimx2ex.xxeeelimlim2limx2. 解 原式=xx=x2x2.型

1100.0000步骤： 11lim().例3-10 求 x0sinxx ()型

1cosxxsinxlimlimx0sinxxcosx0.解 原式=x0xsinx

000ln01取对数ln10ln00.x03.00,1,0型

步骤：

例3-11 求

limxx.0(0)型

解 原式=

x0limexlnxlimxx111xe.x0limxlnxelnxlimx01xe1limx1x02xe01.

例3-12 求

(1)型

解 原式=

limex11lnx1xe1lnxlimlnxx11xe1limxx11e1.

例3-13 求x0解 由于(cotlim(cotx).0()型

x)1lnxe1ln(cotx)lnx

1limln(cotx)x0lnx而

1limx0112cotxsinx1xlimx0cosxsinx1 x所以 原式=e.

注意：洛必达法则的使用条件．

xcosx.xx例3-14 求

limh

h

1sinxlim(1sinx).xx1解 原式=极限不存在

lim（洛必达法条件不满足的情况）

1lim(1cosx)1. x正确解法为 原式=x2f(x)[tan()]f(n)[tann()]4x，则4n 解 设

2lim[tann()]4n 例3-15 求n2x2limf(x)exp[limxlntan()]x4x 因为x222sec2()(2)lntan()4xx]4x]exp[limexp[limx12x12tan()44xxx==e

从而 原式=n

limf(n)limf(x)e4x

第三节 泰勒公式

教学目的：理解泰勒中值定理，掌握常见泰勒公式.

教学重点：泰勒中值定理.

教学难点：泰勒中值定理和泰勒中值定理的应用.

教学内容：

一、泰勒(Taylor)中值定理的引入

对于一些较复杂的函数, 为了便于研究, 往往希望用一些简单的函数来近似表达. 由于用多项式表示的函数, 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算, 便能求出它的函数值, 因此我们经常用多项式来近似表达函数. 在微分的应用中已经知道, 当

xx很小时, 有如下的近似等式:

e1x, ln(1x)x

这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子. 但是这种近似表达式还存在着不足之处: 首先是精确度不高, 这所产生的误差仅是关于的高阶无穷小; 其次是用它来作近似计算时, 不能具体估算出误差大小. 因此, 对于精确度要求较高且需要估计误差时候, 就必须用

xx0高次多项式来近似表达函数, 同时给出误差公式.

设函数f(x)在含有的开区间内具有直到n1阶导数, 现在我们希望做的是: 找出一个关于xx0的n次多项式

Pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)n

h

h

来近似表达f(x), 要求pn(x)与f(x)之差是比(xx0)高阶的无穷小, 并给出误差

nh

h

R(x)f(x)P(x)的具体表达式.

nnx 我们自然希望pn(x)与f(x)在0的各阶导数(直到n1阶导数)相等, 这样就有

P(x)a2a(xx)na(xx)

P(x)2a32a(xx)n(n1)a(xx) x)3P(！a432a(xx)n(n1)(n2)a(xx)……, p(x)n!a

n1n120n0n2n230n0Pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)n

n3n340n0

(n)nn于是p(x)a, p(x)a, p(x)2!a, p(x)3!a,…, p(x)n!a. 按要求有f(x0)pn(x0)a0, f(x)p(x)a,

(n)n00n01n02n03n0n0n01f(x)p(x)2a, f(x)p(x)3!a, × × × × ×,

0n020n03f(x)p(x)n!a(n)(n)0n0n

1f(x)a202!从而有a0f(x0), a1f(x0), ,

anf(n)(x0)a31f(x0)n!3!, …… ,，

1ak1f(k)(x0)k!即(k1,2,,n)

于是就有

pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)1f(x0)(xx0)2    1f(n)(x0)(xx0)n2!n!.

二、泰勒中值定理

x定理 （泰勒中值定理） 如果函数f(x)在含有0的某个开区间(a,b)内具有直到

n1阶导数, 则当x在(a,b)内时, f(x)可以表示为xx的一个n次多项式与一个余

0项

R(x)之和，即

nf(x)f(x0)f(x0)(xx0)1f(x0)(xx0)2    1f(n)(x0)(xx0)nRn(x)2!n!

f(n1)()Rn(x)(xx0)n1x(n1)!其中(介于0与x之间).

证明：由假设,

Rn(x)在(a,b)内具有直到(n1)阶导数,且

(n)(x0)Rn(x0)RnRn(x0)Rn(x0)0

n1R(x)x(xx)0n两函数及在以0及x为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得

Rn(1)Rn(x)Rn(x)Rn(x0)(xx0)n1(xx0)n10(n1)(1x0)n(介于x0与x之间)

h

h

(x)(n1)(xx0)nRxn两函数及在以0及1为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,(1)(1)Rn(x0)Rn(2)RnRnnnn1x(n1)(x)(n1)(x)0n(n1)(x)101020得(介于0与x之间), 此

n下去,经过(n1)次后,得P(n1)(x)0,所以Rn(n1)(x)f(n1)(x)h

h

R(x)nf则由上式得说明：

n()(xx)n1!(n1)0n1(介于

0x0与x之间). 证毕

(n)20nf(x)f(x)P(x)f(x)f(x)(xx)(xx)(xx)2!n!1．这里多项式.

称为函数f(x)按xx0的幂展开的n次近似多项式, 公式

00000f(x)f(x0)f(x0)(xx0)1f(x0)(xx0)2    1f(n)(x0)(xx0)nRn(x)2!n!2．

称为f(x)按xx的幂展开的n阶泰勒公式, 而R n(x)的表达式

0f(n1)()Rn(x)(xx0)n1x(n1)!3．(介于0与x之间)称为拉格朗日型余项.

4．当n0时, 泰勒公式变成f(x)f(x0)f()(xx0)(介于

日中值公式, 因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.

'x0与x之间)—拉格朗

f5．如果对于某个固定的n, 当x在区间(a,b)内变动时,

f(n1)()|Rn(x)|  |(xx0)n1|  M|xx0|n1(n1)!(n1)!则有估计式及

(n1)(x)总不超过一个常数M,

可见, 当

xa时, 误差R(x)是比(xx)高阶的无穷小, 即

nRn(x)0xx0(xx0)n. lim0n6．在不需要余项的精确表达式时, n阶泰勒公式也可写成

11f(x)f(x)f(x)(xx)f(x)(xx)    f2!n!200000R(x)o((xx)),该余项称为皮亚诺形式的余项.

nn0(n)(x)(xx)o((xx))nn0007．当x00时的泰勒公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式, 就是

f(x)f(0)f(0)x

f(0)2f(n)(0)nx    xRn(x)2!n!

f(0)2f(n)(0)nf(x)f(0)f(0)xx    xo(xn)2!n!或

其中

f(n1)()n1Rn(x)x(n1)!.

f(0)2f(n)(0)nf(x)f(0)f(0)xx    x2!n!8．由此得近似计算公式

|Rn(x)|M|x|n1(n1)!误差估计式变为.

四、简单的应用

xf(x)e例3-16 求的n阶麦克劳林公式

(n)xf(x)f(x)f(x)e解 由于

所以

f(0)f(0)f(0)f(0)1(n)h

h

而f(n1)(x)e代入公式,得

xx2xnexe1xxn1(01).2!n!(n1)!

xx2xne1x2!n! 由公式可知

x估计误差: 设(x取

0)exexn1Rn(x)xxn1(01).(n1)!(n1)!

x1,e11例3-17求

e311Rn.(n1)! (n1)! 2!n!, 其误差

f(x)sinx的n阶麦克劳林公式.

(4)f(n)(x)sin(xn )2, n1,2, 解: 因为

f(0)0,f(0)1,f(0)0,f(0)1,f(0)0, (1)m12m11135sinxxxxxR2m(x)3!5!(2m1)!于是 .

当m1,2,3时, 有近似公式

所以

sinxsinxx1x3sinxx1x31x53!5!. 3!, x,

2ex2cosx3limx4例3-18 计算 x0.

1x2x4e1xxo(x)cosx1o(x5)2!4!2!解 由于

11ex2cosx3(2)x4o(x4)2!4!所以

x224427xo(x)712.lim12 x故 原式=

44x04常用函数的麦克劳林公式

x3x5x2n1nsinxx(1)o(x2n2)3!5!(2n1)!

2nx2x4x6nxcosx1(1)o(x2n)2!4!6!(2n)!

n1x2x3nxln(1x)x(1)o(xn1)23n1

11xx2xno(xn)1x

m(m1)2m(m1)(mn1)n(1x)m1mxxxo(xn)2!n!h

h

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

教学目的：理解函数的单调性和曲线凹凸性

教学重点：掌握用一阶导数判断函数的单调性和曲线凹凸性判断方法和求法。. 教学难点：导数不存在的连续点可能是单调区间的分界点.；拐点的理解 教学内容：

一、函数单调性的判定方法

如果函数yf(x)在[a,b]上单调增加（单调减少）, 那么它的图形是一条沿轴正向上升（下降）的曲线. 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）, 即

xyf(x)0(或yf(x)0) 由此可见, 函数的单调性与导数的符号有着密切的关

系.

反过来, 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？

f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导.

(1)如果在(a,b)内f(x)0, 那么函数yf(x)在[a,b]上单调增加;

 (2)如果在(a,b)内f(x)0, 那么函数yf(x)在[a,b]上单调减少.

定理 (函数单调性的判定法) 设函数y 证明 只证(1)（（2）可类似证得） 在[a,b]上任取两点x1,x2(x12x), 应用拉格朗日中值定理, 得到

212112f(x)f(x)f()(xx)(xx).

由于在上式中xx0, 因此, 如果在(a,b)内导数f(x)保持正号,

21即f(x)0, 那么也有f()0, 于是

f(x)f(x)f()(xx)0

从而f(x)f(x)，因此函数yf(x)在[a,b]上单调增加. 证毕

例3-19 判定函数yxsinx在[0,2]上的单调性.

212112 解 因为在(0,2)内y1cosxx0,

所以由判定法可知函数yxsinx在[0,2]上单调增加.

例3-20 讨论函数yex1的单调性.

解 由于ye1且函数yex1的定义域为(,)

令y0, 得x0, 因为在(,0)内y0, 所以函数yex1在(,0]上单调减少; 又在(0,)内y0, 所以函数yex1在[0,)上单调增加.

xxxx32 例3-21 讨论函数yx的单调性.

y323x(x0) 解: 显然函数的定义域为(,), 而函数的导数为所以函数在x又因为x0处不可导.

0时,y0, 所以函数在(,0]上单调减少;

因为x0时, y0, 所以函数在[0,)上单调增加.

说明: 如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,

h

h

那么只要用方程f(x)0的根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间, 就能保证

h

h

f(x)在各个部分区间内保持固定的符号, 因而函数f(x)在每个部分区间上单调.

例3-22. 确定函数f(x)2x9x12x3的单调区间.

32 解 该函数的定义域为(,).

而f(x)6x18x126(x1)(x2),令f(x)0, 得x1,x2.

212列表 x f(x) (,1] + ↗ [1,2] [2,) + ↗ - ↘ f(x) 函数f(x)在区间(,1]和[2,)内单调增加, 在区间 例3-23讨论函数yx2[1,2]上单调减少.

3的单调性.

解 函数的定义域为(,) 函数的导数为:y3x, 除x0时, y0外, 在其余各点处均有y0因此函数

yx3在区间(,0]上单调减少;

30时, y0, 所以函数在[0,)及[0,)上都是单调增加的. 从而在

整个定义域(,)内yx是单调增加的. 其在x0处曲线有一水平切线.

因为当x说明:一般地, 如果

f(x)在某区间内的有限个点处为零, 在其余各点处均为正（或负）

时, 那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

2x31x. 例3-24 证明: 当x1时,

f(x)11212(xx1)f(x)2x(31)xxxx, 则证明: 令

因为当

x1时,f(x)0, 因此f(x)在[1,)上单调增加, 从而当x1时,

1f(x)f(1) ,又由于f(1)0, 故f(x)f(1)0,

2x32x(31)0x,(xx即, 也就是

二、函数的凹凸性与拐点

在给出凸性严格定义之前，从直观上看一下函数图形凸性的几何特征，如图所示，

yf(x) yy yf(x)

图形上任意弧段位于所张弦的下方 图形上任意弧段位于所张弦的上方 oxxxox21x1x2

定义3-6-1 设f(x)在区间I上连续, 如果对I上任意两点x1,x2, 恒有

1).

h

h

f(x1x2f(x1)f(x2))22h

h

那么称f(x)在I上的下凸函数; 如果恒有

f(那么称f(x)在I上的上凸函数.

函数的上凸下凸的性质叫做函数的凸性

x1x2f(x1)f(x2))22

二、判定函数的凸性的充分条件

定理 设f(x)在[a,b]上连续, 在(a, b)内具有一阶和二阶导数, 那么 (1)若在(a,b)内f(x)0, 则f(x)在

[a,b]上是下凸的;

[a,b],(xx), 记

12(2)若在(a,b)内f(x)0, 则f(x)在[a,b]上是上凸的. 证明 只证(1)((2)的证明类似). 设x1,x2由拉格朗日中值公式, 得

x0x1x22.

x1x22, x11x0 xxf(x2)f(x0)f(2)(x2x0)f(2)212, x02x2 f(x1)f(x0)f(1)(x1x0)f(1)两式相加并应用拉格朗日中值公式得

f(x1)f(x2)2f(x0)[f(2)f(1)]x2x1xxf()(21)21022,

12

f(x1)f(x2)xxf(12)22即, 所以f(x)在[a,b]上的图形是凹的.

拐点: 连续曲线y确定曲线yf(x)上凸与下凸的分界点称为这曲线的拐点.

f(x)的凹凸区间和拐点的步骤:

(1)确定函数yf(x)的定义域; (2)求出在二阶导数f(x);

(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 注: 根据具体情况（1）、（3）步有时省略.

例3-34 判断曲线yx23的凸性.

解: 因为y3x, y6x. 令y0得x0当x当x0时, y0, 所以曲线在(,0]内为上凸的;

430时,y0, 所以曲线在[0,)内为下凸的.

例3-35 求曲线y3x4x1的拐点及凸性区间.

解: (1)函数y3x34x1的定义域为(,); y36x224x36x(x2)3; (2) y12x12x,

432h

h

x223; (3)解方程y0, 得x10,

(4)列表判断:

( 0) 0 (0 2/3) 2/3 (2/3 ) f (x)  0  0  f(x)  1  11/27  22[,)[0,]3上曲线是上凸的. 点(0,1) 在区间(,0]和3上曲线是下凸的, 在区间

211(,)和327是曲线的拐点.

4yx例3-36 问曲线是否有拐点？ 3y4x解 , y12x.

当x0时, y0, 在区间(,)内曲线是下凸的, 因此曲线无拐点.

23yx的拐点 例3-37 求曲线

解 (1)函数的定义域为(,);

y(2)

21y9x 3x2; 3 3x2,

(3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为x(4)判断: 当x

0;

0时,y0; 当x0时, y0因此, 点(0,0)是曲线的拐点.

第五节 函数的极值与最大值最小值

教学目的：掌握函数极值、最大值、最小值的求法及其简单应用 教学重点：函数最极值、大值、最小值的判断方法和求法 教学难点：函数最极值、大值、最小值的求法 教学内容：

一、函数的极值及其求法

函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 定理 (第一种充分条件) 设函数f(x)在点x0处连续, 在x0的某去心邻域U(x0,)内可导.

h

h

(1) 若x(x0,x0)时，f(x)0, 而x(x0,x0)时，f(x)0, 则函数

f(x)在x0处取得极大值;

(2) 若x(x0,x0)时，f(x)0, 而x(x0,x0)时，f(x)0,

则函数

f(x)在x0处取得极小值;

(3)如果xU(x0,)时，f(x)不改变符号, 则函数f(x)在x0处没有极值. 确定极值点和极值的步骤:

'f (1)求出导数(x);

 (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点;

'f (3)列表判断(考察(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况, 以便确定

该点是否是极值点, 如果是极值点, 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值);

(4)确定出函数的所有极值点和极值.

32f(x)x3x9x5的极值 例3-25 求出函数

2f(x)3x6x93(x1)(x3) 解

令f(x)0，得驻点x11,x23. 列表讨论

x f(x) f(x) (,1) 1 (1,3) 3 0 极小值 (3,)   0 极大值    所以极大值f(1)10,极小值f(3)2222.

3(x1)2f(x)(x4)例3-26 求函数的极值.

解 显然函数f(x)在(,)内连续, 除x1外处处可导, 且

f(x)5(x1)'33x1令f(x), 得驻点x1，x1为f(x)的不可导点;

(3)列表判断

x (,1) -1 (1,1) 1 (1,) h

h

+ 不可导 - 0 + f'(x) h

h

↗ 0 ↘ ↗ f(x) 334 3f(1)34. f(1)0所以极大值为, 极小值为

如果f(x)存在二阶导数且在驻点处的二阶导数不为零则有

'f(x0)0, xf(x)0 定理 (第二种充分条件) 设函数在点处具有二阶导数且

f(x0)0, 那么

(1)当 (1)当

f(x0)0时, 函数f(x)在x0处取得极大值; f(x0)0时, 函数f(x)在x0处取得极小值;

f(x0)0,由二阶导数的定义有

证明 对情形(1), 由于

f(x0)lim根据函数极限的局部保号性, 当x在

xx0f(x)f(x0)0xx0.

x0的足够小的去心邻域内时,

f(x)f(x)f(x0)00'f(x)0xxxx000. 但, 所以上式即为.

'于是对于去心邻域内的x来说, f(x)与xx0符号相反. 因此, 当xx00即xx0''xxx0xxf(x)0f00时,; 当即时,(x)0. 根据定理2, f(x)在0处取得

极大值.

类似地可以证明情形(2).

32f(x)x3x24x20的极值 例3-27 求出函数

解 f(x)3x6x243(x4)(x2) 令f(x)0，得驻点 x14,2x22，由于f(x)6x6

由于f(4)180,所以极大值f(4)60 而f(2)180,所以极小值f(2)48.

函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 例3-28 求出函数f(x)1(x2)的极值

2f(x)(x2)33解 由于

123(x2)，所以x2时函数f(x)的导数f(x)不存

在,但当x2时，f(x)0;当x2时，f(x)0.所以f(2)1为f(x)的极大值

h

h

例3-29 求函数f(x)(x1)1的极值.

23h

h

22解 f(x)6x(x1),令f ¢(x)=0, 求得驻点x11,x20,x31, 22f(x)6(x1)(5x1), 所以f(0)60, 又

因此f(x)在x0处取得极小值, 极小值为f(0)0.

因为f(1)f(1)0, 所以用定理3无法判别. 而f(x)在x1处的左右邻域内

f(x)0., 所以f(x)在x1处没有极值; 同理, f(x)在x1处也没有极值.

注

极值是函数的局部性概念，因此函数的极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点处取得.

第一充分条件极值的判别法第二充分条件 要注意使用条件 极值与最值的关系:

函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值, 那只是就x0附近的一个局部范围来说, f(x0)是f(x)的一个最大值; 如果就f(x)的整个定义域来说, f(x0)不一定是最大值. 对于极小值情况类似.

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 则函数的最大值和最小值一定存在. 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得, 如果最大值不在区间的端点取得, 则必在开区间

(a,b)内取得, 在这种情况下, 最大值一定是函数的极大值. 因此, 函数在闭区间[a,b]上

的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者. 同理, 函数在闭区间[a, b]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者.

二、最大值和最小值问题

设f(x)在(a,b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x1,x2,,xn, 则比较

f(a),f(x1),f(x2),,f(xn),f(b)的大小, 其中最大的便是函数f(x)在[a,b]上的最大

值, 最小的便是函数f(x)在[a,b]上的最小值.

求最大值和最小值的步骤 (1).求驻点和不可导点;

(2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;

注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)

h

h

例3-30 求函数y2x3x12x14在[3,4]上的最大值和最小值

2f(x)6x6x12 解方程f(x)0,得x12,x21 解

32由于f(3)23;f(2)34;f(1)7;f(4)142;

32y2x3x12x14在[3,4]上的最大值为f(4)142 因此函数

最小值为f(1)7

例3-31 求函数

f(x)x23x2在[3,4]上的最大值与最小值.

x23x2 x[3, 1][2, 4]f(x)2x3x2 x(1, 2)解 由于,

所以

2x3 x(3, 1)(2, 4)f(x)2x3 x(1, 2)

x32，不可导点为x11,x22 求得f(x)在(-3, 4)内的驻点为

f(3)1而f(3)20,f(1)0，24, f(2)0,f(4)6

经比较f(x)在x3处取得最大值20, 在x11,x22处取得最小值0.

实际问题求最值步骤:

(1)建立目标函数; (2)求最值.

例3-32 工厂铁路线上AB段的距离为100km. 工厂C距A处为20km, AC垂直于AB. 为了运输需要, 要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5. 为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省, 问D点应选在何处？

解

A20kmC设

100kmDBADx(km), 则

DB(100x)(km),

CD202x2400x2)(km).

再设从B点到C点需要的总运费为y, 那么y5kCD3kDB(k是某个正数)

h

h

2即y5k400x3k(100x)(0x100.

于是问题归结为: x在[0,100]内取何值时目标函数y的值最小. 先求y对x的导数:

yk(5x3)400x2.解方程y0得x15(km).

由于

yx0400k, yx15380k,

y|x100500k1152, 其中以yx15380k为最小, 因此当ADx15(km)时总运费最省.

注意:f(x)在一个区间(有限或无限, 开或闭)内可导且只有一个驻点x0, 且该驻点

x0是函数f(x)的极值点, 那么当f(x0)是极大值时, f(x0)就是该区间上的最大值; 当f(x0)是极小值时,f(x0)就是在该区间上的最小值.

y y yf(x ) f(x 0) f(x 0) f(x )确有最大值或最小值, 和说明： 实际问题中往往根据问题的性质可以断定函数O a x 0 b x b x O a x 0

yf(x ) 一定在定义区间内部取得. 这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0, 那么不必讨

论f(x0)是否是极值就可断定f(x0)是最大值或最小值.

22yxyxy0，x8例3-33 由直线及抛物线围成一个曲边三角形,在曲边上

求一点,使曲线在该点处的切线与直线y0，x8所围成的三角形面积最大

解 设所求切点为 P(x0,y0),切线为PTyy02x0(xx0),

yTPBCxoA1A(x0,0),2yx,B(8,16xx) C(8,0),000由于所以220h

h

SABC112(8x0)(16x0x0)(0x8)022

h

h

令

S1162(3x064x01616)0,x0,x01643解得 (舍去)

16164096s()8s()0,所以3327为极大值 又因为

164096s()327为所有三角形中面积的最大者 故

小结

极值是函数的局部性概念，因此函数的极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 注意最值与极值的区别.

第六节 函数图形的描绘

教学目的：培养学生运用微分学综合知识的能力，描绘函数的图形。

教学重点：复习利用导数判断函数单调性、极值的求法、利用导数判断函数图形

的凹凸性、函数图形拐点的求法及水平、铅直渐近线和斜渐近线的求法。会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

教学内容：

一、曲线的渐近线

1. 水平渐近线（平行于x轴的渐近线） 如果xlimf(x)b或

xlimf(x)b（b为常数），那么yb就是曲线yf(x)的

一条水平渐近线。

例如曲线yarctanx有两条水平渐近线 2. 铅直渐近线（垂直于x轴的渐近线） 如果近线。

xx0y2,y2

limf(x)或

xx0limf(x)，那么

xx0就是曲线yf(x)的一条铅直渐

y例如曲线

1(x2)(x3)有两条铅直渐近线x2,x3h

h

3. 斜渐近线 如果

xlim[f(x)(axb)]0或

xlim[f(x)(axb)]0（a,b为常数）那么

yaxb就是曲线yf(x)的一条斜渐近线。

注意：如果(1) xlimf(x)x不存在；

(2) xlimf(x)alim[f(x)ax]x存在，而x不存在, 那么曲线yf(x)无斜渐近线.

斜渐近线的求法：

求出xlimf(x)alim[f(x)ax]bx，x，则yaxb就是曲线yf(x)的斜渐近线

f(x)2(x2)(x3)x1的渐近线

例3-38 求曲线

解 D:(,1)(1,), 因为x1所以x1是铅直渐近线.

limf(x), x1limf(x)

f(x)lim2(x2)(x3)2limxxx(x1)x又因为,

lim[x2(x2)(x3)2(x2)(x3)2x(x1)2x]lim4xx1x1

所以y2x4为斜渐近线

二、函数图形的描绘

(1)确定函数的定义域, 并求函数的一阶和二阶导数;

(2)求出一阶、二阶导数为零的点, 求出一阶、二阶导数不存在的点; (3)列表分析, 确定曲线的单调性和凹凸性; (4)确定曲线的渐近性;

(5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它特殊点; (6)联结这些点画出函数的图形.

例3-39 做出函数

f(x)4(x1)22x的图形.

解: 函数的定义域为D:x0非奇非偶函数,且无对称性.

h

h

f(x)4(x2)8(x3)f(x)x3, x4, 令f(x)0, 得驻点 x2

limf(x)lim[x再令f(x)0得特殊点x3, 又x得水平渐近线y2,而x0列表

4(x1)2]22x

limf(x)lim[x04(x1)2]2x,铅直渐近线x0

x (,3) — 3 (3,2) — 2 (2,0) + 0 不存(0,) -

f(x) f(x) 0 在 - 0 拐点+ 极值点È↘ + 间断È↗ 点 È↘ + f(x) Ç↘ 26(3,)9 y3 补充点：(13,0),

(13,0)，A(1,2)，B(1,6)，C(2,1)

y6B1C例3-40 作函数321o12A21x213f(x)e22的图形. x 解: 函数为偶函数, 定义域为(¥, ¥), 图形关于y轴对称.

1x2(x1)(x1)1x2xf(x)e2f(x)e222,

(2).

令f(x)0, 得驻点x0; 再令f(x)0, 得x1和x1.

列表:

h

h

x f(x) (,1) ＋ ＋ 1 (1,0) ＋ － 0 0 (0,1) － － 1 0 (1,) － ＋ f(x) 0 f(x) ↗ È (1,12e)↗ Ç 12 ↘ Ç (1,12e)↘ È 拐点 极大值 拐点 曲线有水平渐近线y0. 先作出区间(0,)内的图形, 然后利用对称性作出区间(,0)内的图形.

y121o1x第一节 不定积分的概念与性质

教学目的： 理解不定积分的概念及性质；熟悉不定积分的基本公式 教学重点：不定积分概念 教学难点：不定积分概念 教学内容：

一、原函数与不定积分的概念

1.原函数的概念

例如，设已知直线运动质点的速度为v(t)，求质点的运动方程.

设质点的运动方程为ss(t),s(0)0，于是就有s(t)v(t).由此，问题归结到求一个可微函数s(t)，使s(t)v(t)，并满足s(0)0.

抽去问题的物理内容，从数学的角度看，就是要进行求导的逆运算. 即使，设f(x)在区间I上有定义，求区间上可微函数F(x)，使F(x)f(x),xI.

定义 如果在区间I上，F(x)f(x)，则称函数F(x)在区间I上是函数f(x)的原函数.

现在的问题是：

h

h

（1）f(x)在什么条件下存在原函数？

（2）如果f(x)有原函数，问它有多少个原函数？

（3）如果f(x)有多个原函数，问这些原函数之间有何关系？ 这些问题可由下面的定理回答.

定理 如果函数f(x)在I上连续，则在区间I上函数f(x)必有原函数.

定理 在区间I上，如果F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)C（C为任意常数）也是

f(x)的原函数.

定理 如果在区间I上， F(x)，G(x)都是f(x)的原函数，则存在常数C，使

G(x)F(x)C(xI).

例1 设的原函数.

解

F(x)121xG(x)x2CF(x)、G(x)在R上是f(x)x2，2（C为常数），验证：

：

11F(x)(x2)xf(x)xR,G(x)(x2)(C)xf(x)xR22，

F(x)、G(x)都是f(x)的原函数，且G(x)F(x)C.

这表明，如果f(x)有一个原函数F(x)，则有无穷多个原函数F(x)C.

1cos2x2例2 验证函数2，cosx都是函数sin2x的原函数.

解

1(cos2x)(sin2x)sin2x2xR，

2(cosx)(2cosxsinx)sin2x

xR，

1cos2x22，cosx都是函数sin2x的原函数.

2.不定积分的概念

定义 函数f(x)（在区间I上）的原函数的全体所成之集，叫做f(x)（在区间I上）的不定积分，记为

f(x)dx.

即

f(x)dxF(x)C.

其中，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，C叫做积分常数.

由此可见要计算函数f(x)的不定积分，只需求出其中的一个原函数，再加上一个任意

常数即可.

h

h

x3x3x322()xxdsC2x333例如，因为 ， 所以是的一个原函数，因此.

二、基本积分表

1)

kdxkxC (k为常数)

x1xdx1C2) (1)

dxln|x|Cx3) dxarctanxC21x4) dx1x2arcsinxC5)

cosxdxsinxC

sinxdxcosxC7） 

6）

dxsec2xdxtanxC28） cosx dx2cscxdxcotxC29） sinx

secxtanxdxsecxC

cscxcotxdxcscxC11）

edxeC12）

10）

xxaxadxClna13）

xsinhxdxcoshxC coshxdxsinhxC15）

14）

例3 求下列不定积分：

2x（1）

1xx(x1)3dxdx2xdx2x(1x)x； （2）； （3）；

2(e（4）x3cosx2xex)dx252tan； （5）2xdx.

x解：（1）

27xdxxdxx2C7；

h

h

(x1)3x33x23x131dxdx(x32)dx22xxxx （2）

x213x3ln|x|C2x；

1xx2(1x2)x11dxdxdxx(1x2)x(1x2)x1x2dxln|x|arctanxC （3）；

（

xxxx4

xx）

(2e)x(e3cosx2e)dxedx3cosxdx(2e)dxe3sinx1ln2C；

（5）

222tanxdx(secx1)dxsecxdxdxtanxxC.

三、不定积积分性质

1.不定积分与微分（或导数）的关系

(1) (2)

(f(x)dx)/f(x)

或

df(x)dxfxdx；

/F(x)dxF(x)C或

dF(x)F(x)C.

2.线性运算性质

(1) (2)

k f(x)dxk f(x)dx(k0)；

f(x)g(x)dx f(x)dxg(x)dx.

第二节 换元法积分法

教学目的：熟练掌握不定积分的换元法和分部积分法；掌握较简单的有理函数的

积分。

教学重点：第一类换元法，第二类换元法 教学难点：第一类换元法 教学内容：

一、第一类换元法（凑微分法）

定理 设I和J是两个区间，xJ，函数u(x)在点x处可导，且(x)I，又

f(u)duF(u)Ch

(uI)，

h

则

f(x)(x)dxF(x)C(xJ)

f(u)duF(u)C证： 设F(u)为f(u)的原函数，即F(u)f(u)或 

如果 u(x)，且(x)可微，则

dF(x)F(u)(x)f(u)(x)f(x)(x) dx.

即

F(x)为f(x)(x)的原函数（xJ）

，故

f(x)(x)dxF(x)C例1 求下列不定积分：

(xJ).

1x22dx(2xex1xtanx)dx2cos2xdx（1）； （2）32x； （3）； 113x11[e]dxdxdx2222x（4）ax； （5）xa； （6）x(12lnx)；

解：（1）

2cos2xdxcos2x(2x)dxcos2xd2xsin2xC

111111dx(32x)dxd(32x)ln|32x|C32x232x232x2 （2）

sinxx22x22(2xex1xtanx)dx2xedxx1xdxdxcosx（3）

13111222x222edx(1x)d(1x)dcosxe(1x)ln|cosx|C2cosx3

11111x1xdxdxd()arctanC2a2x2xxa1()2a1()2aaaaa （4）

x22（5）

1111111dx()dx[d(xa)x2a2xad(xa)] 2axaxa2axa11xa[ln|xa|ln|xa|]Cln||C2axa 2a

113x113x[e]dxdxedxx(12lnx)x(12lnx)xx（6）

1123x123d(12lnx)ed3xln|12lnx|e212lnx323xC

二、第二类换元法

定理 设x(t)在某区间I内可导、单调，又设

f(t)(t)dtG(t)C，则

.

1f(x)dxG(x)Ch

h

其中，(x)t是x(t)的反函数. 例2 求下列不定积分.

（1）

1axdx22； （2）

dxa2x2(a0)dx2； （3）x2x3；

.

dxdxxx2a2x1e（4）； （5）

解：（1）令 xasint， 因此

(a0)222，则axacost，dxacostdt

1cos2ta2x2dxacostacostdta2cos2tdta2dt2

2ta2a2a2a2tsin2tCtsintcostC2422a2x1arcsinxa2x2Ca2 2

222dxasectdt， axasectxatant22 （2）令 ，，则，

dx12asectdtsectdtln|secttant|C1a2x2asect因此

ta2x2xln||C1ln|xx2a2|Caa

其中C1Clna.

用类似方法可得：

dxx2a2ln|xx2a2|C

dx11x1d(x1)arctanCx22x3(x1)2(2)222 （3）

（4）令t1ex(t1)，xln(t1)，则

dx1dtt1

dxdt11x()dtln(t1)lntCxln(1e)Cx1et(t1)t1t故

（5）当x(a,)时，令

22x111t(0,)dx2dtt，a，则t，

1(at)2xat. dxdt1d(at)11aarcsin(at)CarcsinCa1(at)2aaxxx2a21(at)2

11xt(,0)t，a当x(,a)时，令，类似可得

dx1aarcsinCxx2a2axh

h

第三节 分部积分法

教学目的：熟练掌握不定积分的分部积分法 教学重点：分部积分法 教学难点：分部积分法 教学内容：

定理 设u(x)与v(x)在同一区间I上都连续，则

u(x)v(x)dxu(x)v(x)v(x)u(x)dx

u(x)dv(x)u(x)v(x)u(x)dv(x)即 

注：（1）在应用分部积分法时只要找到了u(x)，那么v(x)也就知道了.所以在应用分部积分公式时最为关键的就是找出u(x)来；

（2）u(x)可以按照口诀“反对幂指三”来确定，即反三角函数、对数函数、幂函

数、指数函数以及三角函数，谁的位置在前谁就是u(x). 例3 求下列不定积分：

lnxxcosx dxxedx(arcsinx)dx2dx； （5）

（1）； （2）； （3）； （4）xx2lnlnxxdx；

x2arctanx2xx2dxecosedxxtanxdxln(x1x)dx2（6）； （7）1x； （8）； （9）.

2解：（1）

xcosxdxxdsinxxsin xsinxdxxsinxcosx  C

xxxxxxxedxxdexeedxxeeCx（按照口诀幂函数在三角函数之前，所以 “x”为u(x)，那么“cosx”就是v(x).） （2）

（按照口诀幂函数在指数函数之前，所以 “x”为u(x)，那么“e”就是v(x).）

22(arcsinx)dxx (arcsinx)x2arcsinx 11-x2dx

（3）

xarcsinx2arcsinxd1-x2xarcsinx2(1x2arcsinx1-x2darcsinx)22h

h

2xarcsinx21xarcsinx2xC 

2lnx1lnx1lnx1dxlnxd()dxC22xxxxxx（4）

（

5

）

lnlnx11dxlnlnxdlnxlnxlnlnxlnxxlnxxdxlnxlnlnxlnxC

（6）

xtan2xdxx(secx1)dxxsecxdxxdxxdtanx22x22

x2x2xtanxtanxdxxtanxlncosxC22

x2arctanxx211arctanxdxarctanxdx(arctanx)dx2221x1x1x（7）

arctanxdxarctanxdarctanxxarctanxx12dx(arctanx)21x2

11xarctanxln(1x2)(arctanx)2C22

（8）

（9）

22ln(x1x)dxxln(x1x)xdxxln(x1x2)1x2C1x2

2xxxxxxxxxxxecosedxedsineesinesinedeesinecoseC第四节 有理函数的积分

教学目的：使学生基本掌握有理函数、三角函数有理式、简单无理式的积分方法。 教学重点：有理函数的积分。

教学难点：三角函数有理式、简单无理式的积分。 教学内容：

一、有理函数的积分

形如

P(x)a0xna1xn1an1xanmm1bm1xam (4-1) Q(x)b0xb1xh

h

称为有理函数。其中a0,a1,a2,,an及b0,b1,b2,,bm为常数，且a00，b00。

如果分子多项式P(x)的次数n小于分母多项式Q(x)的次数m，称分式为真分式；如果分子多项式P(x)的次数n大于分母多项式Q(x)的次数m，称分式为假分式。利用多项式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和。例如：

x3x11x2x21 x1因此，我们仅讨论真分式的积分。

根据多项式理论，任一多项式Q(x)在实数范围内能分解为一次因式和二次质因式的乘积，即

22Q(x)b(xa)(xb)(xpxq)(xrxs)0 (4-2) 22p4q0,,r4s0。 其中

如果(4-1)的分母多项式分解为(4-2)式，则(4-1)式可分解为

AA1A2P(x)Q(x)(xa)(xa)1(xa) BB1B2 (xb) (xb)(xb)1

MxNM1xN1M2xN2(x2pxq)(x2pxq)1(x2pxq) RxSRxNS1R2xS2 21212(xrxs)(xrxs)(xrxs) (4-3)

例1． 解：因为

x3dx2求 x5x6

x3x3562x5x6(x2)(x3)x2x3

得

x365dxdxx25x6x2x311 5dx6dxx-2x3 -5ln|x-2|6ln|x3|C x2dx2例2． 求 x2x3

解：由于分母已为二次质因式，分子可写为

x21(2x2)32h

h

得

1(2x2)3x22x22x3dxx22x3dx12x2dx 2dx322x2x3x2x31d(x22x3)d(x1) 232x2x3(x1)2(2)2 

例3．

1(12x)(1x2)dx求

13x1ln(x22x3)arctanC222

解：根据分解式(4-3)，计算得

421x155521x2 (12x)(1x)12x因此得

421x1555dxdx(12x)(1x2)12x1x22212x11 dxdxdx22512x51x51x2111112 d(12x)d(1x)dx512x51x251x2211 ln|12x|ln(1x2)arctanxC555 二、可化为有理函数的积分举例

1．三角函数有理式的积分

如果R(u,v)为关于u,v的有理式，则R(sinx,cosx)称为三角函数有理式。我们不深入讨论，仅举几个例子说明这类函数的积分方法。

例4．

1sinxdxsinx(1cosx)求

utanx2，可得

解：如果作变量代换

1u22u2cosxsinxdxdu2221u1u1u ，，

因此得

h

h

2u)21sinx21udxdusinx(1cosx)2u1u21u2(1)221u1u11 (u2)du2u1u2 (2uln|u|)C221xx1x tan2tanln|tan|C42222

(11. 简单无理式的积分 例5．

3求 1x2

dx332解：令 x2u，得 xu2，dx3udu，代入得

3u213x21uduu211 3du1u1 3(u1)du1uu2 3(uln|1u|)C23 3(x2)233x23ln|13x2|C2 dx(13x)x例6． 求

dx65解： 令 xt，得 dx6tdt，代入得

6t5dt(13x)x(1t2)t3dxt2 6dt1t21 6(1)dt1t2 6(tarctant)C66 6(xarctanx)C

小结：本节学习了有理函数的积分，并通过例题了解了三角函数有理式和简单无理式的积分。

同学们可以通过多做一些练习题来熟悉本节介绍的几种积分方法。

h

h

第一节 定积分的概念与性质

教学目的：理解定积分的概念及性质 教学重点：定积分定义

教学难点：定积分概念的理解 教学内容：

一、定积分问题举例

1.曲边梯形面积

设yf(x)在a,b上非负且连续，由直线x a, x b, y0及曲线yf(x)所围成的图形，称为曲边梯形.

求其面积：在区间a,b中任意插入若干个分点把a,b分成n个小区间

[

它们的长度依次为：

ax0x1x2xn1xnb，

x0,x1],[x1,x2], … [xn1,xn],

x1x1x0,x2x2x1,,xnxnxn1.

经过每一个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，在每个小区间[形

xi1,xi]上任取一点i，以[xi1,xi]为底，f(i)为高的小矩形近似替代第i个小曲边梯

i1,2,,n,把这样得到的n个小矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值，

即

Af(i)x1f(2)x2f(n)xnf(i)xii1n

nmaxx1,x2,xn,0时，可得曲边梯形的面积设

2.变速直线运动的路程

设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是时间间隔

Alimf(i)xiA0i1.

[T1,T2]上t的连续函数，且

v(t0)，计算在这段时间内物体所经过的路积S.

在

[T1,T2]内任意插入若干个分点T1t0t1t2tn1tnT2，把[T1,T2]分

[t0,t1]，[t1,t2]，…，[tn1,tn]，各小段时间长依次为：

成n个小段

h

h

t1t1t0,t2t2t1,,tntntn1,

相应各段的路程为：

在

S1,S2,,Sn

T[ti1,ti]上任取一个时刻Ti(ti1Titi)，v(Ti)来代替[ti1,ti]上各个以i时的速度

时刻的速度，则得：

Siv(Ti)ti(i1,2,Sv(T1)t1v(T2)t2,n) .

n所以

v(Tn)tnv(T1)t1i1

maxt1,t2,,tn，当0时，得：设

二、定积分定义

Slimv(Ti)t0i1n

由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一人函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即：面积

Alimf(i)xi0i1n，路程

Slimv(Ti)ti0i1n.

将这种方法加以精确叙述得到定积化的定义：

定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点

ax0x1x2xn1xnb

[x0,x1],[x1,x2],,[xn1,xn],各个小区间的长度依次为

把区间[a,b]分成n个小区间

x1x1x0,x2x2x1,,xnxnxn1.

在每个小区间

[xi1,xi](i1,2,,n)上任取一点i(xi1ixi),作函数值f(i)与小

,n)，并作出和

Sf(i)xii1nxi的乘积f(i)xi(i1,2,区间长度

.记

max{x1,x2,,xn},如果不论对[a,b]怎样分法,也不论在小区间[xi1,xi]上点i怎样取法,只要当1时,和S总趋于确定的极限I,这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分(简称积分),记作

baf(x)dxIlimf(i)xi0i1n.

其中f(x)叫做被积函数, f(x)dx叫做被积表达式,x叫做积分变量,a叫做积分下限,bh

h

叫做积分上限, [a,b]叫做积分区间.

注：（1）积分与积分变量无关，即： （2）规定：当ab时，

baf(x)dxf(t)dtf(u)duaabb；

.

baf(x)dxf(x)dxba；当ab时，

baf(x)dx0定理 设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积.

定理 设f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积. 例：利用定积分定义计算

10x2dx.

2f(x)x解：因为在[0,1]上连续，所以f(x)可积.为方便计算，我们可以对[0,1]进

ixi,i1,2,n行n等分，分点

nn2in2,n1,n，取相应小区间的右端点为

i，故

i11n211111f()xx()in(n1)(2n1)(1)(2)iii33nni1n66nn i1i1i1n当0时（即n时），由定积分的定义得：

10x2dx13.

三、定积分的性质

性质1 函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即

证：

ba[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dxaanbb

ba[f(x)g(x)]dxlim[f(i)g(i)]xi0i1n

nlimf(i)xilimg(i)xi0bi10i1

f(x)dxg(x)dxaab

性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即

bakf(x)dxkf(x)dxab (k是常数).

性质3 对于任意三个实数a,b,c, 恒有

baf(x)dxf(x)dxf(x)dxaccb.

h

h

性质4 如果在区间[a,b]上，f(x)1，则性质5 如果在区间[a,b]上，f(x)0，则

baf(x)dxdxbaab.

baf(x)dx0(ab).

f(i)0(i1,2,3,证：因为f(x)0,所以,n)，又因为xi0(i1,2,,n)，,xn}，当0时，便得

故

f()xii1ni0.设.

max{x1,x2,baf(x)dx0(ab)推论1 如果在[a,b]上，f(x)g(x)，则

baf(x)dxg(x)dx(ab)ab.

推论2

baf(x)dxf(x)dxab.

性质6 设M与m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值及最小值，则

m(ba)f(x)dxM(ba)(ab)ab.

性质7（定积分中值定理） 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点，使下式成立：

baf(x)dxf()(ba)(ab).

1bmf(x)dxMaba证：利用性质6，；再由闭区间上连续函数的介值定理，知1bf()f(x)dxa[a,b]ab在上至少存在一点，使 ，故得此性质.

显然无论ab，还是ab，上述等式恒成立.

第二节 微积分基本定理

教学目的：理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理；熟悉牛顿莱布

尼兹公式

教学重点：牛顿---莱布尼兹公式 教学难点：建立积分上限函数的概念 教学内容：

h

h

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设一物体在一直线上运动，在这直线上取定原点、正方向、单位长度，使其成为一数轴，时刻t时物体所有的位置为s(t)，速度为v(t)（不妨设v(t)0）.

物体在时间间隔[T1,T2]内经过的路程可以用速度函数v(t)在[T1,T2]上的定积分来表达，即T2T1v(t)dx.另外，这段路程可以通过位置函数s(t)在区间[T1,T2]的增量来表示，即：

S(T2)S(T1).

因此，

T2T1v(t)dxS(T2)S(T1).

注意到S`(t)v(t)，即s(t)是v(t)的原函数.

二、积分上限的函数及其导数

x设f(x)在[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上任一点，设有如下性质：

定理 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数导数，并且它的导数是

(x)f(t)dta函数(x)具

(x)f(t)dtax在[a,b]上具有

(x)证：（1）当x(a,b)时，

dxdxaf(t)dtf(x)(axb).

(x)(xx)(x)其中在x与x之间.

xxaf(t)dtf(t)dtaxxxxf(t)dtf()x

所以

(x)lim(x)limf()f(x)x0x0x

（2）当xa或b时，考虑其单侧导数，可得 (a)f(a)，(b)f(b).

(x)定理 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数

xaf(t)dt是f(x)的一个原函数.

h

h

三 Newton —Leibniz 公式

定理 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

bbaf(x)dxF(b)F(a).

证：因为F(x)与(x)均是f(x)原函数，所以F(x)(x)c(axb).

又因为

af(x)dx(b)(a)，因此

bbaf(x)dxF(b)F(a).

[F(x)]a.

为方便起见，把F(b)F(a)记作

上述公式就是Newton —Leibniz公式，也称作微积分基本公式. 例1 计算下列定积分：

（1）

10xdx12； （2）

311111dxdx221xx. ； （3）

x31303120xdx30333 解：（1）

（2）

31173dxarctanx11x212

11dxlnxln1ln2ln22x

（3）

12例2 计算 ysinx在[0,]上与x轴所围成平面图形的面积.

解：

Asinxdxcosx020

例3 汽车以每小时36 km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度

a5m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了距离？

v10m/s；a5m/s2，所以 v(t)v0at105t

解：因为，当t0时，0而0v(t)105t，因此t2.故

Svtdt(105t)dt10(m)0022.

即：刹车后，汽车需要走10m才能停住.

h

h

第三节 定积分的换元法与分部积分法

教学目的：熟悉定积分的换元法和分部积分法

h

h

教学重点：定积分换元法与分部积分法 教学难点：定积分换元法的运用 教学内容：

一、定积分的换元法

定理 假设函数f(x)在[a,b]上连续，函数x(t)满足条件：

（1）()a,()b;

（2）(t)在[,]（或[,]）上具有连续导数，且其值不越出[a,b]，则有

例1 计算下列定积分：

（1）a22baf(x)dxf(t)(t)dt

0axdx(a0)sinxsinxdx35； （2）204cos5xsinxdxx2dx2x1.

；

（3）0； （4）

0解：（1）设xasint，则dxacosdt，且当x0时t0；当xa时

t2.

故

a0axdxa22220a2costdt2220(1cos2t)dt

a2

2212atsin2t4 20注：换元公式也可以反过来使用，即

（2）设tcosx，则

baf(x)(x)dxf(t)dt.

6t1555522cosxsinxdxcosxdcosxtdttdt6001006

011（3）

0sinxsinxdxsinx35032cosxdxsinxcosxdx2032

2sinxcosxdx(sinx)cosxdx023232

sinxdsinx(sinx)dsinx02323245h

h

t21xt2x12，且 当x0时t1；当x4时t3. （4）设，则

故

40x21t111t3222dx(2)tdtt3dt3t1t221232x113

3323例2 若f(x)在[a,b]上连续， 证明：

（1）当f(x)为偶函数时，

aaf(x)dx2f(x)dx0a；

f(x)dx0f(x)a（2）当为奇函数时，.

证：

aaaf(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dxaa0a00a0a

f(x)dxf(x)dx[f(x)f(x)]dx000aa

a0 （1）当f(x)为偶函数时，f(x)f(x)2f(x)，所以

aaaf(x)dx2f(x)dx；

f(x)dx0f(x)f(x)f(x)0a（2）当为奇函数时，，所以 .

例3 若f(x)在[0,1]上连续，证明：

（1）20f(sinx)dxf(cosx)dx20；（2）

0xf(sinx)dx20f(sinx)dx，

且由此计算

0xsinxdx2x1cos.

，则dxdt，且当x0时

0证：（1）设

x2tt2；当

x

2时t0.

故

20f(sinx)dx22fsintdtfcostdt2fcosxdx002

（2）设xt，则dxdt，且当x0时t；当x时t0. 故

0xf(sinx)dx(t)f[sin(t)]d(t)f(sint)dttf(sint)dt000h

h

所以

0xf(sinx)dx20f(sint)dt

（3）利用此公式可得：

0xsinxsinx12dxdxdcosxarctan(cosx)02x2x2x001cos21cos21cos24

2xex,x014,1x0f(x2)dxf(x)1cosx1例4 设函数，计算 .

解：设x2t,则

41f(x2)dxf(t)dtf(t)dt112020221f(t)dtdttetdt11cost0

01012t21112tsecdted(t2)tane421220222

二、定积分的分部积分法

定理 设u(x),v(x)在[a,b]上具有连续导数u(x),v(x)，则

ba(uv)dxuvdxuvdxaabb

即

baudv[uv]bavduab.

这就是定积分的分步积分公式. 例1 计算定积分：（1）120arcsinxdxe；（2）01xdx.

解：（1）设uarcsinx,vx,则

1120arcsinxdxxarcsinxx1212011x2dx12312

（2）设xt，则

xt2ttttedxedt2tedt2tde2te2e00000dt2 011111例2 证明定积分公式：

n1n3nn2In2sinnxdx0n1n3nn231,42242,53h

n为正偶数,n为大于1的正奇数.h

证：设usinn1x,dvsinxdx，则由分步积分公式可得：

n2In(n1)2sin0xdx(n1)2sinnxdx(n1)In2(n1)In0

故

Inn1In2n

由此递推公式即得：

n1n3nn2In2sinnxdx0n1n3nn231,42242,53n为正偶数,n为大于1的正奇数.

第四节 反常积分

教学目的：了解反常积分的概念 教学重点：反常积分的计算

教学难点：被积函数有无穷型间断点的反常积分的识别 教学内容：

一、无穷限反常积分

bf(x)dxf(x)[a,]abba定义 设函数在区间上连续，取.如果极限存在,则称此

limf(x)dxf(x)[a,]a极限为函数在无穷区间上的反常积分,记作,即

这时也称反常积分

af(x)dxlimbabf(x)dx.

af(x)dx收敛;如果上述极限不存在,函数f(x)在无穷区间

[a,]上的反常积分a时记号

f(x)dx就没有意义,习惯上称为反常积分

af(x)dx发散,这

af(x)dx不再表示数值了.

f(x)dxf(x)(,b]aaab类似地,设函数在区间上连续,取. 如果极限存

lim在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间(,b]上的反常积分，记作

h

bbf(x)dx，即

h

这时也称反常积分散.

bf(x)dxlimaabf(x)dx

bf(x)dx收敛；如果上述极限不存在，就称反常积分

bf(x)dx发

设函数f(x)在区间(,)上连续，如果反常积分

0f(x)dx和

0f(x)dx都收敛，

则称上述两反常积分之和为函数f(x)在无穷区间(,)上的反常积分，记作

f(x)dx，即

f(x)dx0f(x)dx0f(x)dxalim0af(x)dxblimb0f(x)dx

这时也称反常积分f(x)dx收敛；否则就称反常积分f(x)dx发散.

1例1 计算反常积分：（1）1x2dx；（2）0teptdt（p是常数，且p0）

解

：（111x2dx01101b11x2dx01x2dxalima1x2dxblim01x2dx

limarctanx0alimarctanxbab00(2)2

teptdtbblimpttptb1bpt00tedtblim（2）

pe0p0edt

tpept1ptp2e1pt110ptlimte0p2(01)0p2

例2 证明：反常积分

1axpdx(a0)当p1时收敛；当p1时发散.

1证：当p1时，

axpdx1axdxlnx0

p11axpdxx1p,1p1paa当p1时，p1,p1

故 命题得证.

h

）

h

二、无界函数的反常积分

b定义 设函数f(x)在[a,b]上连续，而在点的右邻域内无界，如果极0则称此极限为函数f(x)在[a,b]上的反常积分，仍然记作

limaf(x)dx存在，

baf(x)dx.即

这时也称反常积分散.

baf(x)dxlim0baf(x)dx.

baf(x)dx收敛。如果上述极限不存在，就称反常积分

baf(x)dx发

类似地，设函数f(x)在[a,b]上连续，而在点b的左邻域内无界，如果极限

0limbbaf(x)dx存在，则定义

baf(x)dxlim0baf(x)dx.否则，就称反常积分

af(x)dx发散.

设函数f(x)在[a,b]上除点c(acb)外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个反常积分

caf(x)dx与

cbcf(x)dxb都收敛，则定义

cabaf(x)dxf(x)dxf(x)dxlimac0f(x)dxlim0bcf(x)dx

否则，就称反常积分发散.

例1 计算反常积分

解

adxax220(a0)

：

adxa2x20lim01a0xlimarcsina0a2x20dxaalimarcsin00a2

1dx1x2例2 讨论反常积分的收敛性

0111111dxdxdxlimlim1x21x20x200x1x0解：

1011dx1x2故 所求反常积分发散.

1例3 证明反常积分

badx(xa)q当q1时收敛；当q1时发散.

h

h

证：当q1时，

badxbln(xa)axa；

1q(ba)b(xa)1qdx1qa(xa)q1qabb,,q1q1.

当q1时，

故 反常积分

adx(xa)q当q1时收敛；当q1时发散.

第一节 定积分的元素法

教学目的：1．熟练掌握用定积分表达一些几何量（如面积、体积和弧长等）的方法；

2．了解如何用定积分表达一些物理量（如功）。

教学重点：定积分的几何应用——平面图形的面积，旋转体体积，平面曲线的弧

长，定积分的物理应用——变力作功，水压力。

教学难点：定积分元素法 教学内容：

一 再论曲边梯形面积计算

设f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)0，求以曲线yf(x)为曲边，底为[a,b]的曲边梯形的面积A。

1.化整为零 用任意一组分点 长度为

ax0x1xn1xnb 将区间分成n个小区间[xi1,xi]，

其

xixixi1i1,2,,n，

12n. 并记

相应地，曲边梯形被划分成n个小曲边梯形，第i个小曲边梯形的面积记为

maxx,x,xh

h

Aii1,2,,n.

于是

AAii1n.

2、以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值

Aif(i)xii[xi1,xi](i1,2,Af(i)xii1n,n).

3、积零为整，给出“整”的近似值.

b4、取极限，使近似值向精确值转化

Alimf(i)xif(x)dx0i1an.

上述做法蕴含有如下两个实质性的问题： (一)、若将[a,b]分成部分区间

[xi1,xi](i1,2,,n)，则A相应地分成部分量

Ai(i1,2,,n)，而

AAii1n

这表明：所求量A对于区间[a,b]具有可加性. (二)、用

f(i)xi近似Ai，误差应是xi的高阶无穷小.

只有这样，和式因此确定

f()xii1ni的极限方才是精确值A.

是关键。

Aif(i)xi(Aif(i)xio(xi))通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤.

二、元素法

1、能用定积分计算的量U，应满足下列三个条件： (1) U与变量x的变化区间[a,b]有关； (2) U对于区间[a,b]具有可加性； (3) U部分量

Ui可近似地表示成f(i)xi.

2、写出计算U的定积分表达式步骤

(1) 根据问题，选取一个变量x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]；

(2) 设想将区间[a,b]分成若干小区间，取其中的任一小区间[x,xdx]，求出它所对应的部分量U的近似值：

Uf(x)dx (f(x)为[a,b]上的连续函数 )

则称f(x)dx为量U的元素，且记作dUf(x)dx；

(3)、以U的元素dU作被积表达式，以[a,b]为积分区间，得这个方法叫做元素法，其实质是找出U的元素dU的微分表达式

h

Uf(x)dxab.

h

dUf(x)dx(axb)

因此，也称此法为微元法。

第二节 定积分在几何学上的应用

一、平面图形的面积

1．直角坐标的情形

由曲线yf(x)(f(x)0)及直线xa与

xb(ab)与x轴所围成的曲边梯形面积A：

Af(x)dxab其中：f(x)dx为面积元素.

由曲线 yf(x) 与 yg(x) 及直线

xa，xb(ab)且f(x)g(x)所围成的图形面积A：

Af(x)dxg(x)dx[f(x)g(x)]dxaaabbb其中：[f(x)g(x)]dx为面积元素.

2

例1 计算抛物线y2x与直线yx4所围成的图形面积.

解法1：1）先画所围的图形简图：

y22xyx4, 得交点：(2,2)

解方程 和 (8,4).

2）选择积分变量并定区间： 选取x为积分变量，则0x8

3）给出面积元素：

在0x2上，dA[2x(2x)]dx22xdx 在2x8上，dA[2x(x4)]dx(42xx)dx

4）列定积分表达式：

28A22xdx[42xx]dx1802

解法2：若选取y为积分变量，则 2y4，

dA[(y4)12y]dy2，

A(y42412y)dy182h

h

显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题.

x2y2212ab例2 求椭圆所围成的面积 (a0,b0).

解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第

一象限内面积的4倍.

x2yb12xa， 0xa取为积分变量，则 ，

x2dAydxb12dxa 故

( * )

A4a0x2ydx4b12dx0a

a

x2yb12bsint(0t)axacost2，则作变量替换，dxasintdt，

A4(bsint)(asint)dt4ab2sin2tdt4ab200(21)!!ab2!!2 ( *

* )

2．极坐标情形

设平面图形是由曲线 r()及射线，

所围成的曲边扇形.

取极角为积分变量，则 ,在平面图形中任意 截取一典型的面积元素A，它是极角变化区间为的窄曲边扇形. 即

,d

A的面积可近似地用半径为r()， 中心角为d的窄圆边扇形的面积来代替，1A[()]2d2

112dA[()]dA2()d22从而得到了曲边梯形的面积元素 .因此，.

例3 计算心脏线ra(1cos)(a0)所围成图形面积.

解：由于心脏线关于极轴对称，

A20二、体 积

123a(1cos)2da222

1．旋转体的体积

旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称

为旋转轴.

计算由曲线yf(x)直线xa，xb及x轴所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而

h

h

生成的立体的体积.

h

h

取x为积分变量，则的任一区间

xa,b，对于区间

a,b上

x,xdx，它所对应的小曲边梯形绕x轴

2旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以f(x)为 底半径，dx为高的圆柱体体积.即：体积元素为

dVf(x)dx所求的旋转体的体积为 例1 求由曲线

生成的立体的体积.

b2aVf(x)dx

yrxh及直线x0，xh(h0)和x轴所围成的三角形绕x轴旋转而

解：取x为积分变量，则

hx0,h2

rVxdx0h2hr2h0x2dx3r2h

2、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 )

由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面

积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算.

取定轴为x轴， 且设该立体在过点xa，

xb且垂直于x轴的两个平面之内，以A(x)

表示过点x且垂直于x轴的截面面积.

取x为积分变量，它的变化区间为即：体积元素为 dVA(x)dx. 于是，该立体的体积为

a,b。立体中相应于a,b上任一小区间x,xdx的一薄片的体积近似于底面积为A(x)，高为dx的扁圆柱体的体积.

bVA(x)dxa

x2y2212b例2 计算椭圆a所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积.

b2yax2a解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆 及x轴所围成的图形绕x轴旋转所生成的立体.

在x处(a,a)，用垂直于x轴的平面去截立体所得截面

积为

A(x)(b2ax2)2a，

因此 例3 计算摆线的一拱

VA(x)dxaab2422(ax)dxab22aa3

ah

h

以及y0所围成的平面图形绕y轴旋转而生成的立体的体积。

解：

2Vx2(y)dyx12(y)dy002a2axa(tsint)ya(1cost)(0t2)

0a(tsint)asintdta2(tsint)2asintdt222

a2(tsint)2sintdt02

6a

33三 ．平面曲线的弧长

1．直角坐标情形

a,b上具有一阶连续的导数，

设函数f(x)在区间

计算曲线yf(x)的长度S.

取x为积分变量，则区间

xa,b,在

a,b上任取一小

x,xdx，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长

ds1f(x)dx2度s可以用它的弧微分ds来近似.

于是，弧长元素为

，弧长为

Sba1f(x)dx2.

23yx2(axb)3例1 计算曲线的弧长.

2ds1(x)dx1xdx 解：

Sba21xdx(1x)33b2a3322[(1b)(1a)2]3

2．参数方程的情形

若曲线由参数方程

x(t)y(t)给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成

(t)

22ds(dx)2(dy)2(t)(t)dt

的形式，从而有

S例2 计算半径为r的圆周长度.

解： 圆的参数方程为

(t)(t)dt

22xrcostyrsint(0t2)h

h

ds(rsint)2(rcost)2dtrdt

Srdt2r02

3．极坐标情形

若曲线由极坐标方程rr()()给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可.

曲线的参数方程为

xr()cosyr()sin()

此时变成了参数，且弧长元素为

ds(dx)2(dy)2(rcosrsin)2(d)2(rsinrcos)2(d)2r2r2d从而有

Sr2r2d

例3 计算心脏线ra(1cos)(02)的弧长。

解：

dsa2(1cos)2(asin)2d2acosd22

S

02acos2d4a0cosd8a

第三节 定积分在物理学上的应用

一、变力沿直线所作的功

例1 半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为 1 ，现将这球从水中取出，需作多少功?

解：建立如图所示的坐标系

将高为r的球缺取出水面，所需的力F(x)为：

F(x)GF浮

4r3G1gF3其中：是球的重力，浮表示将球缺取出之

后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力.

xVx2(r)3 有 由球缺公式

x4F浮r3x2(r)1g33

xF(x)x2(r)g(x[0,2r])3从而

十分明显，F(x)表示取出水面的球缺的重力. 即：仅有重力作功，而浮力并未作功，

h

h

且这是一个变力. 从水中将球取出所作的功等于变力

h

h

F(x)从0改变至2r时所作的功.

x,xdx，取x为积分变量，则x[0,2r]，对于[0,2r]上的任一小区间变力F(x)从

xdWF(x)dxx2(r)gdx0到xdx这段距离内所作的功 3

这就是功元素，并且功为

W2r0x4rgx2(r)dxgx3x4r4g312033

2r二、水压力

在水深为h处的压强为ph，这里是水的比重.如果有一面积为A的平板水平地放置在水深h处，那末平板一侧所受的水压力为PpAhA.若平板非水平地放置在

水中，那么由于水深不同之处的压强不相等。此时，平板一侧所受的水压力就必须使用定积分来计算。

例2 边长为a和b的矩形薄板，与水面成角斜沉于水中，长边平行于水面而位于水深h处。设ab，水的比重为，试求薄板所受的水压力P。

解：由于薄板与水面成角斜放置于水中，则它位于水中最深的位置是hbsin. 取x为积分变量， 则 x[h,hbsin] (注意：x表示水深).在[h,hbsin]中任取一小区间[x,xdx]，与此小区间相对应的薄板上一个小窄条形的面积是

adxsin，

dxaxdPdxsinsin它所承受的水压力约为 ，于是，压力元素为

hbsinaa122Pxdx(hbsin)habhab(bsin)hsin2sin2

xa这一结果的实际意义十分明显：abh正好是薄板水平放置在深度为h的水中时所受到

1ab(bsin)2的压力；而是将薄板斜放置所产生的压力，它相当于将薄板水平放置在深度

1bsin2为处所受的水压力.

三、引力

由物理学知道：质量为m1、m2，相距为r的两质点间的引力大小为

h

h

Fkk为引力系数。引力的方向沿着两质点的连线方向。

如果要计算一根细棒对一个质点的引力，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，便不能简单地用上述公式来作计算了。 质量为m的质点M， 试求这细棒对质点M的引力。

解决这类问题，一般来说，应选择一个适当的坐标系。

例3 设有一半径为R， 中心角为的圆弧形细棒， 其线密度为常数， 在圆心处有一

m1m2r2

第一节 向量及其线性运算

教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意

义和目的.

教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离 教学难点：空间思想的建立 教学内容： 一．向量的概念

● 向量：既有大小，又有方向的量； ● 在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向； ● 在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）； ● 向量的表示方法有a、i、F、OM等等.

● 向量相等a=b：如果两个向量大小相等，方向相同（即经过平移后能完全重合的向

量）. ● 向量的模：向量的大小，记为、.

● 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量.零向量的方向是任意的.

● 向量平行a∥b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反.零向量与如何向量都平

行.

aOM

二．向量的线性运算

● 加减法：三角形法则及平行四边形法则、其满足的运算规律有交换率和结合率 ● 向量与数的乘法：a.其满足的运算规律有结合率、分配率.设a表示与非零向量

0a0a同方向的单位向量，那么

aah

h

● 定理1：设向量a≠0，那么，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数

λ，使b＝a

● 例子：

例1：在平行四边形ABCD中，设ABa，ADb，试用a和b表示向量MA、MB、MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点.（图7－4）

图 7－4

小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算.

三．空间直角坐标系

1. 将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如

图7－1，其符合右手规则.

2. 各轴名称，坐标面的概念以及卦限的划分如图7－2所示.

3. 空间点M(x,y,z)的坐标表示方法，关于坐标轴、坐标面原点的对称点的表示法.通过坐

标把空间的点与一个有序数组对应起来.

图 7－1 图 7－2

空间两点间的距离

若M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点， 则距离（见图7－3）为

dM1M2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

图 7－3

一．向量在轴上的投影 1. 几个概念

AB是轴u上的有向线段，● 轴上有向线段的值：设有一轴u，如果数满足

AB，

且当AB与轴u同向时是正的，当AB与轴u反同向时是负的，那么数叫做轴u上有向线段AB的值，记做AB，即AB.设e是与u轴同方向的单位向量，

则

h

h

ABe

● 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有ACABBC

OBb，● 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作OAa，

规定不超过的AOB称为向量a和b的夹角，记为

(a,b).

'● 空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A叫做点A在轴u上的投影.

''''● 向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别

为点A和B，那么轴u上的有向线段的值AB叫做向量AB在轴u上的投影，记

做PrjuAB.

2. 投影定理

● 性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：

● 性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即 ● 性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法.即

二．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

1． 向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系.

设a =M1M2是以M1(x1,y1,z1)为起点、

PrjuABABcosPrju(a1a2)Prja1Prja2 Prju(a)Prja

M2(x2,y2,z2)为终点的向量，i、j、k分别表示沿x，

y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基

本单位向量，由图7－5，并应 用向量的加法规则知：

图 7－5

M1M2(x2x1)i + (y2y1)j+(z2z1)k 或 a = ax i + ayj + azk 上式称为向量a按基本单位向量的分解式. 有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为

a ＝ {ax，ay，az}.

上式叫做向量a的坐标表示式.

于是，起点为M1(x1,y1,z1)终点为M2(x2,y2,z2)的向量可以表示为

特别地，点M(x,y,z)对于原点O的向径

M1M2{x2x1,y2y1,z2z1}

OM{x,y,z}h

h

※ 注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别. 向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az， 向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax i 、 ayj 、 azk. 2．向量运算的坐标表示

设a = {ax，ay，az}，b = {bx，by，bz}即a = ax i + ayj + azk，b = bx i +by j +bzk 则

◆ 加法： a + b = （ax+ bx）i +（ay + by） j +（az + bz）k ◆ 减法： a―b = （ax－bx ）i + （ay－by） j +（ az－bz ）k ◆ 乘数： λa = (λax )i + (λay)j + (λaz)k ◆ 或 a + b ={ ax+ bx，ay + by，az + bz }

a－b ={ ax－bx，ay－by，az－bz } λa = {λax，λay，λaz}

◆ 平行：若a≠0时，向量b∥a相当于b ＝λa，即

{bx，by，bz} =λ{ax，ay，az}

也相当于向量的对应坐标成比例即

bxbybzaxayaz

四、向量的投影、模、方向角

向量的模与方向余弦的坐标表示式

设a = {ax，ay，az}，可以用它与三个坐标轴的夹角

、、（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称、、为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦

cos、cos称为方向余弦. 表示形式cos、1． 模

222aaxayaz

图 7－6

2． 方向余弦

aMMcosacos12xayM1M2cosacos222azM1M2cosacosaaaaxyz0由性质1知，当时，有

aaxcosx22aaxayaz2ayaycos22aaxayaz2aazcosz222aaaaxyz

222◆ 任意向量的方向余弦有性质：coscoscos1

◆ 与非零向量a同方向的单位向量为：

h

h

a0aa1a{ax,ay,az}{cos,cos,cos}

3． 例子：已知两点M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，计算向量M1M2的模、方向余弦、方向角

以及与M1M2同向的单位向量.

解：M1M2＝{1-2，3-2，0-2}={-1，1，-2}

M1M2(1)212(2)22

211coscos2 2，2，

233，3，4

cos0设a为与M1M2同向的单位向量，由于a{cos,cos,cos} 即得

0小结：向量的坐标是本章向量代数的一个难点，是学好后继内容的基础，学生应多花时间学深学透.

112a0{,,}222

第二节 数量积 向量积

教学目的：让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直

等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础.

教学重点：1. 数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2.向量平行、垂直的应用

教学难点：1.活学活用数量积、向量积的各种形式 2.向量平行与垂直的相应结论 教学内容：

一．数量积：

● 定义：，式中为向量a与b的夹角.

● 物理上：物体在常力F作用下沿直线位移s，力F所作的功为

ababcosWFscos

其中为F与s的夹角.

● 性质：Ⅰ.

aaa2

Ⅱ.两个非零向量a与b垂直ab的充分必要条件为：ab0h

h

Ⅲ. abba

Ⅳ. (ab)cacbc

为数 Ⅴ. (a)c(ac)

● 几个等价公式：

Ⅰ.坐标表示式：设a = {ax，ay，az}，b = {bx，by，bz}则

abaxbxaybyazbz

Ⅱ.投影表示式：

abaPrjabbPrjbacosⅢ.两向量夹角可以由式求解

● 例子：已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求AMB 提示：应用上求夹角的公式.

abab

二．向量积：

● 概念：设向量c是由向量a与b按下列方式定义：

c的模，式中为向量a与b的夹角.

c的方向垂直与a与b的平面，指向按右手规则从a转向b.

※注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量. ● 公式：cab ● 性质：Ⅰ.aa0

Ⅱ.两个非零向量a与b平行a∥b的充分必要条件为：ab0 Ⅲ. abba

Ⅳ. (ab)cacbc

cabsin为数 Ⅴ. (a)ca(c)(ac)

● 几个等价公式：

Ⅰ.坐标表示式：设a = {ax，ay，az}，b = {bx，by，bz}则

ab(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k

iabaxⅡ.行列式表示式：

jaybykazbz

bx● 例子：已知三角形ABC的顶点分别为：A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，

求三角形ABC的面积.

解：根据向量积的定义，

SABC11ABACsinCABAC22

由于AB＝{2,2,2}，AC＝{1,2,4}

ijkABAC2224i6j2k因此

124h

h

于是

SABC112ABAC4(6)2221422

小结：本节是向量运算中很重要的部分，与上节共同讲述了向量的坐标表示以及向量的运算，这些是本章的一个重点.

第三节 曲面及其方程

教学目的：介绍各种常用的曲面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础. 教学重点：1.球面的方程 2.旋转曲面的方程 教学难点：旋转曲面 教学内容：

一．曲面方程的概念

1．定义：如果曲面S与三元方程

F（x，y，z）＝0 （1）

有下述关系：

（1） 曲面S上任一点的坐标都满足方程（1） （2） 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1）

那么，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1）的图形. 1． 面

例子：建立球心在M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面的方程. 解：设M(x,y,z) 是球面上的任一点，那么

M0MR即：

(xx0)2(yy0)2(zz0)2R或：

特别地：如果球心在原点，那么球面方程为

(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2

x2y2z2R2

二．旋转曲面

1．定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴. 2．旋转曲面的方程 设在yoz坐标面上有一已知曲线C，它的方程为

f（y，z）＝0

把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面，设M1(0,y1,z1)为曲线C上的任一点，那么有

h

h

f（y1，z1）＝0 （2）

当曲线C绕z轴旋转时，点M1也绕z轴旋转到另一点M(x,y,z)，这时z＝z1保持不变，且点M到z轴的距离

dx2y2y1

22yxy1将z1＝z，代入（2）式，就有螺旋曲面的方程为

● 旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式.

● 常用旋转曲面：锥面（直线绕直线旋转，两直线的夹角α（0<α<90°）），方程为：

f(x2y2,z)0

z2a2(x2y2)

其中a＝cotα

三．柱面

1．定义：平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面. 定曲线C：准线 动直线L：母线

2．特征：x，y，z三个变量中若缺其中之一（例如y）则表示母线平行于y轴的柱面. 3：几个常用的柱面：

● 圆柱面：xyR（母线平行于z轴）

2y2x（母线平行于z轴） ● 抛物柱面：

222

小结：会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状.

第四节 空间曲线及其方程

教学目的：介绍空间曲线的各种表示形式. 教学重点：1.空间曲线的一般表示形式 2.空间曲线在坐标面上的投影 教学难点：空间曲线在坐标面上的投影 教学内容：

一．空间曲线的一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线.

F(x,y,z)0G(x,y,z)0h

h

二．空间曲线的参数方程

将曲线C上的动点的坐标表示为参数t的函数:

xx(t)yy(t)zz(t)

三．空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线C的一般方程为

消去其中一个变量（例如z）得到方程

曲线的所有点都在方程（4）所表示的曲面（柱面）上.

此柱面（垂直与xoy平面）称为投影柱面，投影柱面与xoy平面的交线叫做空间曲线C在xoy面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为

F(x,y,z)0G(x,y,z)0

H(x,y)0

同理可以求出空间曲线C在其它坐标面上的投影曲线. 在重积分和曲面积分中，还需要确定立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投影曲线.

2222z4xyz3(xy)所围成，见右图，

例子：设一个立体由上半球面和锥面

H(x,y)0z0

求它在xoy面上的投影.

z4x2y2C:z3(x2y2) 解：半球面与锥面交线为

消去z并将等式两边平方整理得投影曲线为：

即xoy平面上的以原点为圆心、1为半径的圆.立体在xoy平面

上的投影为圆所围成的部分：

x2y21z0

x2y21

小结：本节是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应特别注意.

第五节 平面及其方程

h

h

教学目的：介绍最简单也是非常这样的曲面——平面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础.

教学重点：1.平面的方程 2.两平面的夹角

教学难点：平面的几种表示及其应用 教学内容：

一．平面的点法式方程

1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量.

平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直. 2．平面的点法式方程

已知平面上的一点M0(x0,y0,z0)和它的一个法线向量n＝{A,B,C}，对平面上的任一点M(x,y,z)，有向量

M0Mn，即

nM0M0

代入坐标式有：

A(xx0)B(yy0)C(zz0)0

（1）

此即平面的点法式方程.

4. 例子：求过三点M1（2，－1，4）、M2（－1，3，－2）和M3（0，2，3）的平面方程.

解：先找出这平面的法向量n，

ijk1nM1M2M1M334614i9jk

23由点法式方程得平面方程为

即：

14(x2)9(y1)(z4)0

14x9yz150

二．平面的一般方程

任一平面都可以用三元一次方程来表示. 平面的一般方程为：

几个平面图形特点：

二． D＝0：通过原点的平面. 三． A＝0：法线向量垂直与x轴，表示一个平行于x轴的平面. 同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面. 四． A＝B＝0：方程为Cz＋D＝0，法线向量{0,0,C}，方程表示一个平行于xoy面的平

面.

同理：Ax＋D＝0和By＋D＝0分别表示平行于yoz面和xoz面的平面. 五． 反之：任何的三元一次方程，例如：5x＋6y－7z＋11＝0都表示一个平面，该平面

的法向量为n＝{5,6,-7}

AxByCzD0

h

h

三．两平面的夹角

定义：平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面. 定曲线C：准线 动直线L：母线

四．几个常用的结论

设平面1和平面2的法向量依次为n1＝{A1,B1,C1}和n2＝{A2,B2,C2} 两平面垂直：A1A2B1B2C1C20 （法向量垂直）

A1B1C1AB2C2

两平面平行：2 （法向量平行）

平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点P0（x0，y0，z0），平面的方程为

AxByCzD0，则点到平面的距离为

d

Ax0By0Cz0DA2B2C2

小结：平面是本书非常重要的一节，学生在学习时会各种平面的表示方法，了解平面与其法向量之间的关系等等.

欢迎您的下载，资料仅供参考！

h