2019届广东省华南师范大学附属中学 高三上学期第二次月考数学（理）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．已知集合𝐴={𝑥|𝑥2
−2𝑥>0},𝐵={𝑥|−2<𝑥<3}，则 A． 𝐴∩𝐵= ∅ B． 𝐴∪𝐵=𝑅 C． 𝐵⊆𝐴 D． 𝐴⊆𝐵 2．记复数𝑧的共轭复数为𝑧，已知复数𝑧满足(2−i)𝑧=5，则|𝑧|= A． √3 B． √5 C． √7 D． 5 3．下列函数中，既是偶函数又有零点的是
A． 𝑦=𝑥12
B． 𝑦=tan𝑥 C． 𝑦=e𝑥+e−𝑥
D． 𝑦=ln|𝑥| 4．设p:1x2,q:2x1，则p是q成立的 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 5．函数𝑓(𝑥)=
sin𝑥cos𝑥𝑥2+1
的部分图象可能是
A． B． C． D．
6．在等差数列{𝑎𝑛}中， 𝑎3+𝑎5=12−𝑎7，则𝑎1+𝑎9= A． 8 B． 12 C． 16 D． 20
7．已知𝜋
3
12
2<𝛽<𝛼<4𝜋，cos(𝛼−𝛽)=13，sin(𝛼+𝛽)=−3
5，则sin2𝛼= A． 56
56
65 B． −65 C． 65
56 D． −65
56
8．已知函数𝑦=𝐴sin(𝜋
2
𝑥+𝜑)(𝐴>0)在一个周期内的图像如图所示，其中𝑃,𝑄分别是这段图
像的最高点和最低点，𝑀,𝑁是图像与𝑥轴的交点，且∠𝑃𝑀𝑄=900，则𝐴的值为
A． 2 B． 1 C． √3 D． √2
9．如图，在平面四边形ABCD中，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=120∘，𝐴𝐵=𝐴𝐷=1. 若点E为边CD上的动点，则⃑𝐴𝐸⃑⃑⃑⃑ ·⃑⃑𝐵𝐸
⃑⃑⃑ 的最小值为
A． 25
3
21
16 B． 2 C． 16 D． 3
10．设{𝑎𝑛}是各项为正数的等比数列，𝑞是其公比，𝐾𝑛是其前𝑛项的积，且𝐾5<𝐾6，𝐾6=𝐾7>𝐾8，则下列结论错误．．
的是 A． 0<𝑞<1 B． 𝑎7=1 C． 𝐾9>𝐾5 D． 𝐾6与𝐾7均为𝐾𝑛的最大值
11．正𝛥𝐴𝐵𝐶边长为2，点𝑃是𝛥𝐴𝐵𝐶所在平面内一点，且满足𝐵𝑃=√32
，若⃑𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑ =𝜆𝐴𝐵
⃑⃑⃑⃑⃑ +𝜇𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ ，则𝜆+𝜇的最小值是
A． 1
2 B．
√52
C． 2 D．
2√33
12．设函数𝑓′(𝑥)是奇函数𝑓(𝑥)(𝑥∈𝑅)的导函数，当𝑥>0时，ln𝑥⋅𝑓′(𝑥)<−1
𝑥𝑓(𝑥)，则使得(𝑥2−4)𝑓(𝑥)>0成立的𝑥的取值范围是
A． (−2,0)∪(0,2) B． (−∞,−2)∪(2,+∞) C． (−2,0)∪(2,+∞) D． (−∞,−2)∪(0,2)
二、填空题
13．已知向量𝑎⃗=(1,2),𝑏⃑⃗=(𝑚,−1)，若𝑎⃗//(𝑎⃗+𝑏⃑⃗)，则𝑎⃗⋅𝑏
⃑⃗=__________． 14．已知sincos15， 2,，则tan__________．
15．由曲线𝑦=1
𝑥，𝑦2=𝑥与直线𝑥=2，𝑦=0所围成图形的面积为________．
16．在𝛥𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐴𝐶=2√3,𝐴𝐷=√7,𝐶𝐷=1，点𝑃与点𝐵在直线𝐴𝐶的异侧，且𝑃𝐵=𝐵𝐶，则平面四边形𝐴𝐷𝐶𝑃的面积的最大值为_______.
三、解答题
17．已知等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛(𝑛∈𝑁∗)项和为𝑆𝑛，数列{𝑏𝑛}是等比数列，𝑎1=3，𝑏1=1，𝑏2+𝑆2=10，𝑎5−2𝑏2=𝑎3．
（1）求数列{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式；
（2）若𝑐𝑛=2
𝑆，设数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和为𝑇𝑛，求𝑇𝑛．
𝑛
18．某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，𝑦表示第𝑥天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
𝑥 1 2 3 4 5 6 7 𝑦 5 8 8 10 14 15 17 （1）经过进一步统计分析，发现𝑦与𝑥具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出𝑦关于𝑥的线性回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂；
（2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为1
6，获得“二等奖”的概率为1
3．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券
总金额𝑋的分布列及数学期望．
参考公式：𝑏̂=∑𝑖=1𝑛
𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦∑𝑛22，𝑎̂=𝑦̅−𝑏̂𝑥̅，∑7𝑖=1𝑥=364，∑7．
𝑖=1𝑥𝑖−𝑛𝑥𝑖𝑦𝑖𝑖=1𝑥𝑖2=14019．如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐷𝐶=𝐶𝐵=2，∠𝐴𝐵𝐶=60°，平面𝐴𝐶𝐸𝐹⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，四边形𝐴𝐶𝐸𝐹是菱形，∠𝐶𝐴𝐹=60°．
（1）求证：𝐵𝐹⊥𝐴𝐸；
（2）求二面角𝐵−𝐸𝐹−𝐷的平面角的正切值． 20．已知椭圆𝐸:
𝑥2𝑦213
𝑎
2+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为2，且点𝑃(1，2
)在椭圆𝐸上．
（1）求椭圆𝐸的方程；
（2）过点𝑀(1，1)任作一条直线𝑙，𝑙与椭圆𝐸交于不同于𝑃点的𝐴，𝐵两点，𝑙与直线𝑚:3𝑥+4𝑦−12=0交于𝐶点，记直线𝑃𝐴、𝑃𝐵、𝑃𝐶的斜率分别为𝑘1、𝑘2、𝑘3．试探究𝑘1+𝑘2与𝑘3的关系，并证明你的结论．
21．已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑎
𝑥−𝑥+1−𝑎(𝑎∈𝑅).
(1)求函数𝑓(𝑥)的单调区间； (2)若存在𝑥>1，使𝑓(𝑥)+𝑥<
1−𝑥𝑥
成立，求整数𝑎的最小值.
22．以直角坐标系的原点𝑂为极点，𝑥轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线𝑙的极坐标方程为2𝜌sin(𝜃+𝜋
𝑥=2cos𝜑6
)−3=0，曲线𝐶的参数方程是{
𝑦=2sin𝜑
（𝜑为参数）．
（1）求直线𝑙和曲线𝐶的普通方程；
（2）直线𝑙与𝑥轴交于点𝑃，与曲线𝐶交于𝐴，𝐵两点，求|𝑃𝐴|+|𝑃𝐵|． 23．已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥+𝑚|+|2𝑥−1|． （1）当𝑚=−1时，求不等式𝑓(𝑥)≤2的解集；
（2）若𝑓(𝑥)≤|2𝑥+1|在𝑥∈[1，2]上恒成立，求𝑚的取值范围．
参考答案
1．B 【详解】
求解一元二次不等式𝑥2−2𝑥>0可得𝐴={𝑥|𝑥>2或𝑥<0}， 据此可知𝐴∩𝐵={𝑥|−2<𝑥<0或2<𝑥<3}≠∅，选项A错误； 𝐴∪𝐵=𝑅，选项B正确；
集合AB之间不具有包含关系，选项CD错误； 本题选择B选项. 2．B
因为(2−i)𝑧=5，所以𝑧=52−i
=2+i，z=2−𝑖，所以|𝑧|=|𝑧|=√5.
故选：B 【点睛】
复数的运算，难点是乘除法法则，设𝑧1=𝑎+𝑏𝑖,𝑧2=𝑐+𝑑𝑖(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑𝑅)， 则𝑧1𝑧2=(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐+𝑑𝑖)=𝑎𝑐−𝑏𝑑+(𝑎𝑑+𝑏𝑐)𝑖，
𝑧1𝑧2
=
𝑎+𝑏𝑖(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)𝑐+𝑑𝑖
=
(𝑐+𝑑𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)
=
(𝑎𝑐+𝑏𝑑)+(𝑏𝑐−𝑎𝑑)𝑖
𝑐2+𝑑2
. 3．D
A项不是偶函数；B项不是偶函数；C项没有零点；故选D。 4．A
【解析】试题分析：由指数函数的性质可知，当必有
，所以
的充分条
件，而当
时，可得
，此时不一定有
，所以的不必要条件，综上所述，
的充分而不必要条件，所以正确选项为A. 5．B
【解析】分析：先求函数的奇偶性，排除A,C,再排除D. 详解：由题得𝑓(−𝑥)=sin(−𝑥)cos(−𝑥)
𝑥2+1
=
−sin𝑥cos𝑥𝑥2+1
=−𝑓(𝑥)，所以函数f(x)是奇函数，
所以排除A,C.
当x=0.0001时，𝑓(𝑥)>0，所以排除D,故答案为：B. 6．A
由题意，数列{𝑎𝑛}为等差数列，结合等差数列通项公式的性质得，𝑎3+𝑎5+𝑎7=3𝑎5=12，则𝑎5=4，所以𝑎1+𝑎9=2𝑎5=8.故选A.
7．B
因为𝜋3123
2<𝛽<𝛼<4𝜋，cos(𝛼−𝛽)=13，sin(𝛼+𝛽)=−5， 所以sin(𝛼−𝛽)=
5，cos(𝛼+𝛽)=−4
13
5， sin(𝛼−𝛽+𝛼+𝛽)=sin(𝛼−𝛽)cos(𝛼+𝛽)+cos(𝛼−𝛽)sin(𝛼+𝛽)
=5
4
12
3
13×(−5)+13×(−5)=−56
65，故选B。 8．C
详解：过𝑄,𝑃分别作𝑥轴的垂线，垂足为𝐵,𝐶，
因为函数的周期为𝑇=
2𝜋
𝜋=4，所以𝑀𝑁=2,𝐶𝑁=1，
2
因为∠𝑃𝑀𝑄=90°，所以𝑃𝑄=2𝑀𝑁=4，即𝑃𝑁=2， 则𝑃𝐶=√𝑃𝑁2−𝑁𝐶2=√4−1=√3，即𝐴=√3，故选C.
点睛：该题考查的是有关三角函数的图像的问题，在解题的过程中，需要关注题的条件，找出对应的线段的长度，利用直角三角形的特征，列出相应的等量关系式，求得结果.
9．C
由题意知,𝑅𝑇𝛥𝐴𝐷𝐶≅𝑅𝑇𝛥𝐴𝐵𝐶,所以∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=60°,𝐴𝐶=2,𝐷𝐶=√3 设⃑⃑⃑⃑⃑ 𝐷𝐸=𝜆𝐷𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ , 因为⃑𝐴𝐸⃑⃑⃑⃑ =⃑⃑⃑⃑⃑ 𝐴𝐷+⃑⃑⃑⃑⃑ 𝐷𝐸,⃑⃑𝐵𝐸⃑⃑⃑ =⃑⃑⃑⃑𝐵𝐴⃑ +⃑⃑⃑⃑⃑ 𝐴𝐷+⃑⃑⃑⃑⃑ 𝐷𝐸
， 所以⃑𝐴𝐸⃑⃑⃑⃑ ⋅⃑⃑𝐵𝐸⃑⃑⃑ =(𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑ +𝐷𝐸⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅⃑⃑𝐵𝐸
⃑⃑⃑ = (𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑ +𝜆𝐷𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑ +⃑⃑⃑⃑⃑ 𝐴𝐷+⃑⃑⃑⃑⃑ 𝐷𝐸
)=1×1×cos60∘+12+𝜆𝐷𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑ +𝜆2|𝐷𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ |2 =
3
2+𝜆（⃑𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑ −⃑⃑⃑⃑⃑ 𝐴𝐷)⋅⃑⃑⃑⃑𝐵𝐴
⃑ +3𝜆2 =3
𝜆(2×1×cos120°−1×1×cos60°)+3𝜆2=3
3
2+2−2𝜆+3𝜆2 =1
2
（6𝜆2−3𝜆+3） （0≤𝜆≤1）
所以当𝜆=1
时，⃑𝐴𝐸⃑⃑⃑⃑ ⋅⃑⃑𝐵𝐸
⃑⃑⃑ 有最小值21416
,故选C. 10．C
【解析】分析：利用等比数列𝑎𝑛=𝑎1𝑞𝑛−1的通项公式，解出𝐾𝑛的通项公式，化简整理𝐾5<𝐾6，𝐾6=𝐾7>𝐾8这三个表达式，得出结论。
详解：设等比数列𝑎𝑛=𝑎1𝑞
𝑛−1
，𝐾𝑛是其前𝑛项的积所以𝐾𝑛=𝑎𝑛(𝑛−1)1𝑛
𝑞
2，由此
𝐾5<𝐾6⇒1<𝑎1𝑞5，𝐾6=𝐾7⇒1=𝑎1𝑞6，𝐾7>𝐾8⇒1>𝑎1𝑞7 所以𝑎7=𝑎1𝑞6=1，所以B正确，
由1<𝑎1𝑞5，1<𝑎1𝑞5，各项为正数的等比数列，可知0<𝑞<1，所以A正确 1=𝑎1𝑞6
，𝐾𝑛=𝑎1𝑛
𝑞
𝑛(𝑛−1)2，可知𝐾𝑛=𝑎1𝑛
𝑞
𝑛(𝑛−1)
2=𝑞
𝑛(𝑛−13)
2，由0<𝑞<1，所以𝑞𝑥单调递减，
𝑛(𝑛−13)
2
在n=6,7时取最小值，所以𝐾𝑛在n=6,7时取最大值，所以D正确。故选C
11．A
以𝐵为原点，𝐵𝐶所在直线为𝑥轴，过点𝐵垂直于𝐵𝐶为𝑦轴，将向量都坐标化，由⃑𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑ =𝜆𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ +𝜇𝐴𝐶
⃑⃑⃑⃑⃑ 可得：{𝑥−1=−𝜆+𝜇𝑦−√3=−√3𝜆−√3𝜇 ，故𝜆+𝜇=−√33𝑦+1，进而得到最值. 【详解】
如图：以𝐵为原点，𝐵𝐶所在直线为𝑥轴，过点𝐵垂直于𝐵𝐶为𝑦轴 则𝐴(1，√3)，𝐵(0，0)，𝐶(2，0) 设𝑃(𝑥，𝑦)，∵𝐵𝑃=
√3则𝑃点轨迹为𝑥22
+𝑦2=3
4
由⃑𝐴𝑃
⃑⃑⃑⃑ =𝜆𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ +𝜇𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ 可得：{𝑥−1=−𝜆+𝜇𝑦−√3=−√3𝜆−√3𝜇 故𝜆+𝜇=−√31
3
𝑦+1当𝑦=
√32
时，(𝜆+𝜇)𝑚𝑖𝑛=2故选𝐴
12．D
根据题意，设𝑔(𝑥)=ln𝑥⋅𝑓(𝑥),(𝑥>0)，
其导数𝑔′(𝑥)=(ln𝑥)′𝑓(𝑥)+ln𝑥𝑓′(𝑥)=1
𝑥𝑓(𝑥)+ln𝑥𝑓′(𝑥)，
又由当𝑥>0时，ln𝑥⋅𝑓′(𝑥)<−1
𝑥𝑓(𝑥)， 则有𝑔′(𝑥)=1
𝑥𝑓(𝑥)+ln𝑥⋅𝑓′(𝑥)<0，
即函数𝑔(𝑥)在(0,+∞)上为减函数，又由𝑔(1)=ln1⋅𝑓(1)=0， 则在区间(0,1)上，𝑔(𝑥)=ln𝑥⋅𝑓(𝑥)>0，又由ln𝑥<0，则𝑓(𝑥)<0， 在区间(1,+∞)上，𝑔(𝑥)=ln𝑥⋅𝑓(𝑥)<0，又由ln𝑥>0，则𝑓(𝑥)<0， 则𝑓(𝑥)在(0,1)和(1,+∞)上，𝑓(𝑥)<0，
又由𝑓(𝑥)为奇函数，则在区间(−1,0)和(−∞,−1)上，都有𝑓(𝑥)>0， (𝑥2−1)𝑓(𝑥)>0⇔{𝑥2−4>0 𝑥2−4<0𝑓(𝑥)>0或{𝑓(𝑥)<0
，
解可得𝑥<−2或0<𝑥<2，则𝑥的取值范围是(−∞,−2)∪(0,2)，故选D. 13．−5
2
因为𝑎⃗=(1,2),𝑏⃑⃗=(𝑚,−1)，所以𝑎⃗+𝑏⃑⃗=(1+𝑚，1)，因为𝑎⃗//(𝑎⃗+𝑏⃑⃗)， 所以2(1+𝑚)=1，解得𝑚=−1
⃑⃗=(−1
,−1)既有𝑎⃑⃗=−5
2
，𝑏2
⃗⋅𝑏
2
。 14．43 【解析】由题设可得2sincos125124250，则sin0,cos0，所以sincos2124254925，即sincos75，与sincos15联立可得
sin43sin445,cos5，故cos3，应填答案3。
15．2
3+ln2
本题可以先将曲线𝑦=1
𝑥，𝑦2=𝑥与直线𝑥=2，𝑦=0所围成图形画出，再将其分为两部分分别
计算出面积。
由题意可知，面积为：
12∫√𝑥𝑑𝑥+∫
1𝑥𝑑𝑥=(23𝑥32)|10 +(ln𝑥)|22
0
1
1 =3+ln2。 16．
3√32
详解：根据题意可以求得cos∠𝐴𝐶𝐷=1+12−72×1×2√3=
√32
， 所以∠𝐴𝐶𝐷=30°，则点𝐵到边𝐴𝐶的距离为2×1×sin30°=1， 因为点𝑃与点𝐵在直线𝐴𝐶的异侧，且𝑃𝐵=𝐵𝐶， 所以点𝑃在以𝐵为圆心，以2为半径的圆上， 只有当点𝑃到线𝐴𝐶距离最大时，满足面积最大，
此时就是𝐵到线𝐴𝐶距离最小时，此时𝑃到线𝐴𝐶距离为2−1=1，
此时四边形的面积分成两个小三角形的面积来求，𝑆=1
×1×2√3×1
1
3√32
2
+2
×2√3×1=
2
. 17．（1）𝑎𝑛=2𝑛+1，𝑏𝑛=2𝑛−1；（2）311
2−𝑛+1−𝑛+2 【详解】
（1）设等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，等比数列{𝑏𝑛}的公比为𝑞， 因为𝑎1=3，𝑏1=1，𝑏2+𝑆2=10，𝑎5−2𝑏2=𝑎3，
所以{𝑞+3+3+𝑑=103+4𝑑−2𝑞=3+2𝑑
，
所以𝑑=2，𝑞=2，所以𝑎𝑛=2𝑛+1，𝑏𝑛=2𝑛−1。 （2）由（1）知，𝑆𝑛=𝑛(3+2𝑛+1)
2
=𝑛(𝑛+2)，
所以𝑐𝑛=1
1𝑛−
𝑛+2，
所以𝑇𝑛=1−1
1
−1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
3+24+3−5+...+𝑛−1−𝑛+1+𝑛−𝑛+2=2−𝑛+1−𝑛+2。 18．（1）𝑦̂=2𝑥+3；（2）见解析 试题解析：
（I）依题意：𝑥=1
7(1+2+3+4+5+6+7)=4，
𝑦=17
7(5+8+8+10+14+15+17)=11，∑2𝑖=1𝑥𝑖=140，∑7𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖=364， 7
𝑏
̂=∑𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖−7𝑥𝑦∑
72=
364−7×4×11=2，𝑎̂=𝑦−𝑏
4=3， 𝑖=1
𝑥𝑖−7𝑥2140−7×16
̂𝑥=11−2×则𝑦关于𝑥的线性回归方程为𝑦̂=2𝑥+3．
（II）二人所获购物券总金额𝑋的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：
𝑃(𝑋=0)=1
×1
=1
，𝑃(𝑋=300)=2×1
×1
=1
，𝑃(1
1
1
1
52
2
4
2
3
3
𝑋=600)=3
×3
+2×2
×6
=
18
，
𝑃(𝑋=900)=2×1×1=1，𝑃(𝑋=111
3
6
9
1200)=6
×6
=
36
．
所以，总金额𝑋的分布列如下表：
𝑋 0 300 600 900 1200 𝑃 115114 3 18 9 36 总金额𝑋的数学期望为𝐸𝑋=0×1
1
5
+900×1
1
4+300×3+600×189+1200×36=400元． 19．（1）见解析；（2）9
7 （1）依题意，在等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶=2√3，𝐴𝐵=4， ∵𝐵𝐶=2，∴𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=𝐴𝐵2，即𝐵𝐶⊥𝐴𝐶，
∵平面𝐴𝐶𝐸𝐹⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，∴𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐶𝐸𝐹，而𝐴𝐸⊂平面𝐴𝐶𝐸𝐹，∴𝐴𝐸⊥𝐵𝐶， 连接𝐶𝐹，∵四边形𝐴𝐶𝐸𝐹是菱形，∴𝐴𝐸⊥𝐹𝐶，∴𝐴𝐸⊥平面𝐵𝐶𝐹， ∵𝐵𝐹⊂平面𝐵𝐶𝐹，∴𝐵𝐹⊥𝐴𝐸．
（2）取𝐸𝐹的中点𝑀，连接𝑀𝐶，因为四边形𝐴𝐶𝐸𝐹是菱形，且∠𝐶𝐴𝐹=60°，
所以由平面几何易知𝑀𝐶⊥𝐴𝐶，∵平面𝐴𝐶𝐸𝐹⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，∴𝑀𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷． 故可以𝐶𝐴、𝐶𝐵、𝐶𝑀分别为𝑥、𝑦、𝑧轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为𝐶(0,0,0)，𝐴(2√3,0,0)，𝐵(0,2,0)，𝐷(√3,−1,0)，𝐸(−√3,0,3)，𝐹(√3,0,3)，
设平面𝐵𝐸𝐹和平面𝐷𝐸𝐹的一个法向量分别为⃑𝑛⃑⃑⃑ 1=(𝑎1,𝑏1,𝑐1)，⃑𝑏⃑⃑⃑ 2=(𝑎2,𝑏2,𝑐2)， ∵⃑𝐵𝐹⃑⃑⃑⃑ =(√3,−2,3)，⃑𝐸𝐹
⃑⃑⃑⃑ =(2√3,0,0)， ∴由{⃑𝐵𝐹⃑⃑⃑⃑ ⋅⃑𝑛⃑⃑⃑ 1=0,√3𝑎1𝑎=0,⃑𝐸𝐹⃑⃑⃑⃑ ⋅⃑𝑛⃑⃑⃑ 1=0, 即{−2𝑏1+3𝑐1=0,2 √3𝑎1=0,即{2𝑏11=3𝑐1,
不妨令𝑏1=3，则⃑𝑛⃑⃑⃑ 1=(0,3,2)， 同理可求得⃑𝑛⃑⃑⃑ 2=(0,3,−1)，
∴cos𝜃=⃑𝑛
⃑⃑⃑1⃑ ⋅𝑛⃑⃑⃑⃑2
⃑ 79
|𝑛⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|𝑛1
⃑⃑⃑⃑⃑ |
2
=√130，故二面角𝐵−𝐸𝐹−𝐷的平面角的正切值为7． 20．（1）
𝑥2𝑦24
+
3
=1；（2）见解析
（1）因为椭圆𝐸:
𝑥2𝑦2𝑎
2+
𝑏2
=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为1
2
，
所以𝑒=𝑐
1
𝑎=2⇒𝑎=2𝑐，
因为𝑎2=𝑏2+𝑐2，所以𝑏=√3𝑐．故可设椭圆𝐸的方程为：𝑥2𝑦2
4𝑐2+3𝑐2=1， 因为点𝑃(1，3
2
)在椭圆𝐸上，
所以将其代入椭圆𝐸的方程得1
94
4𝑐2+3𝑐2=1⇒𝑐2=1．
所以椭圆𝐸的方程为𝑥2
𝑦24+
3
=1．
（2）依题意，直线𝑙不可能与𝑥轴垂直，故可设直线𝑙的方程为：𝑦−1=𝑘(𝑥−1)，
即𝑦=𝑘𝑥−𝑘+1，𝐴(𝑥1，𝑦1)，𝐵(𝑥2，𝑦2)为𝑙与椭圆𝐸的两个交点． 将𝑦=𝑘𝑥−𝑘+1代入方程3𝑥2+4𝑦2−12=0化简得： (4𝑘2+3)𝑥2−8(𝑘2−𝑘)𝑥+4𝑘2−8𝑘−8=0． 所以𝑥1+𝑥2=
8𝑘2−8𝑘4𝑘2+3，𝑥1𝑥2=
4𝑘2−8𝑘−84𝑘2+3
．
𝑦1−
331所以𝑘1+𝑘2=2
𝑦2−
12
𝑘(𝑥1−1)−2
𝑘(𝑥2−1)−2
11
1
1
𝑥
1
−1
+𝑥2
−1
=𝑥1−1
+
𝑥2−1
=2𝑘−2(𝑥
1
−1
+𝑥2
−1
) =2𝑘−2⋅𝑥1+𝑥2−2=2𝑘−1
8𝑘2−8𝑘−2(4𝑘2+3)
𝑥1𝑥2−(𝑥1+𝑥2)+1
2⋅4𝑘2−8𝑘−8−(8𝑘2−8𝑘)+(4𝑘2+3)=
6𝑘−3
5
．
又由{𝑦=𝑘𝑥−𝑘+13𝑥+4𝑦−12=0 ⇒3𝑥+4(𝑘𝑥−𝑘+1)−12=0，解得𝑥=4𝑘+89𝑘+3
4𝑘+3，𝑦=4𝑘+3，
即𝐶点的坐标为𝐶(4𝑘+8
9𝑘+3
9𝑘+33
4𝑘+3−4𝑘+3，4𝑘+3)，所以𝑘3=
4𝑘+82−1=
6𝑘−34𝑘+310
．
因此，𝑘1+𝑘2与𝑘3的关系为：𝑘1+𝑘2=2𝑘3。
21．（1）当𝑎≤0时，𝑥∈(0,减；当0<𝑎<4时，𝑓(𝑥)在（(
1+√1−4𝑎2
1
1+√1−4𝑎2
)，𝑓(𝑥)单调递增，当𝑥∈(
1+√1−4𝑎2
,+∞)时， 𝑓(𝑥)单调递
设ℎ(𝑥)=𝑥−ln𝑥−2， 则ℎ′(𝑥)=1−=
𝑥1
𝑥−1𝑥
1−√1−4𝑎21
，1+√1−4𝑎2
）上单调递增，在（0，1−√1−4𝑎2
），>0，∴ℎ(𝑥)在(1,+∞)上单调递增．
又ℎ(3)=3−ln3−2=1−ln3<0,ℎ(4)=4−ln4−2=2−2ln2>0，根据零点存在性定理，可知ℎ(𝑥)在(1,+∞)上有唯一零点，设该零点为𝑥0， 则𝑥0∈(3,4)，且ℎ(𝑥0)=𝑥0−ln𝑥0−2=0，即𝑥0−2=ln𝑥0，
∴𝑔(𝑥)min=
𝑥0ln𝑥0+2𝑥0−1
,+∞)上单调递减；当𝑎≥4时，𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递减； （2）5.
14
14
【解析】试题分析：(1)求导，分类讨论𝑎≤0、0<𝑎<、𝑎≥时三种情况的单调性(2)分离含参量𝑎>
𝑥ln𝑥+2𝑥−1
，构造新函数，𝑔(𝑥)=
𝑥ln𝑥+2𝑥−1
，求导算出零点的范围，从而求出结果
=𝑥0+1
𝑥−1
𝑥−1解析：（1）由题意可知，𝑥>0，𝑓′(𝑥)=1
𝑎−𝑥2+𝑥−𝑎
𝑥
−
𝑥
2−1=
𝑥2，
方程−𝑥2
+𝑥−𝑎=0对应的𝛥=1−4𝑎，
当𝛥=1−4𝑎≤0，即𝑎≥1
4时，当𝑥∈(0,+∞)时，𝑓′(𝑥)≤0，
∴𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递减； 当0<𝑎<1
2
4时，方程−𝑥+𝑥−𝑎=0的两根为1±√1−4𝑎2，
且0<
1−√1−4𝑎1+√1−4𝑎2<
2
，
此时，𝑓(𝑥)在（1−√1−4𝑎1+√1−4𝑎2
，2
）上𝑓′(𝑥)>0，函数𝑓(𝑥)单调递增，
在（0，1−√1−4𝑎2
），(
1+√1−4𝑎2
,+∞)上𝑓′(𝑥)<0，函数𝑓(𝑥)单调递减；
当𝑎≤0时，
1−√1−4𝑎1+√1−4𝑎2
<0，
2
>0，
此时当𝑥∈(0,1+√1−4𝑎′2
),𝑓(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增，
当𝑥∈(
1+√1−4𝑎2
,+∞)时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减；
综上：当𝑎≤0时，𝑥∈(0,1+√1−4𝑎𝑥∈(1+√1−4𝑎2
)，𝑓(𝑥)单调递增，当2
,+∞)时，减；
当0<𝑎<1
1−√1−4𝑎1+√1−4𝑎4时，𝑓(𝑥)在（2
，2
）上单调递增，
在（0，1−√1−4𝑎2），(
1+√1−4𝑎2
,+∞)上单调递减；
当𝑎≥1
4时，𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递减； （2）原式等价于(𝑥−1)𝑎>𝑥ln𝑥+2𝑥−1， 即存在𝑥>1，使𝑎>𝑥ln𝑥+2𝑥−1
𝑥−1
成立．
设𝑔(𝑥)=𝑥ln𝑥+2𝑥−1
𝑥−1，𝑥>1，
则𝑔′(𝑥)=
𝑥−ln𝑥−2(𝑥−1)2，
𝑓(𝑥)单调递
𝑥0−1
由题意可知𝑎>𝑥0+1，又𝑥0∈(3,4)，𝑎∈𝑍，∴𝑎的最小值为5. 22．（1）𝑥+√3𝑦−3=0，𝑥2+𝑦2=4；（2）3√3 （Ⅰ）2𝜌sin(𝜃+𝜋
6)−3=0，
化为√3𝜌sin𝜃+𝜌cos𝜃−3=0， 即𝑙的普通方程为𝑥+√3𝑦−3=0，
{𝑥=2𝑐𝑜𝑠𝜑𝑦=2𝑠𝑖𝑛𝜑
消去𝜑，得𝐶的普通方程为𝑥2+𝑦2=4. （Ⅱ）在𝑥+√3𝑦−3=0中令𝑦=0得𝑃(3,0)，
∵𝑘=−
√33
，∴倾斜角𝛼=
5𝜋6
，
∴𝑙的参数方程可设为{𝑥=3+𝑡𝑐𝑜𝑠5𝜋
𝑥=3−√3𝑦=0+𝑡𝑠𝑖𝑛5𝜋6 即{12𝑡 ， 6𝑦=2
𝑡
代入𝑥2+𝑦2=4得𝑡2−3√3𝑡+5=0，𝛥=7>0，∴方程有两解， 𝑡1+𝑡2=3√3，𝑡1𝑡2=5>0，∴𝑡1，𝑡2同号， |𝑃𝐴|+|𝑃𝐵|=|𝑡1|+|𝑡2| =|𝑡1+𝑡2|=3√3.
23．（1）{𝑥|0≤𝑥≤4
3 }；（2）𝑚∈[−3，0]
（1）当𝑚=−1时，𝑓(𝑥)=|𝑥−1|+|2𝑥−1|，
①𝑥≥1时，𝑓(𝑥)=3𝑥−2≤2，解得1≤𝑥≤4
3； ②当1
1
2<𝑥<1时，𝑓(𝑥)=𝑥≤2，解得2<𝑥<1； ③当𝑥≤1
2时，𝑓(𝑥)=2−3𝑥≤2，解得0≤𝑥≤1
2；
综合①②③可知，原不等式的解集为{𝑥|0≤𝑥≤4
3 }．
（2）当𝑥∈[1，2]时，𝑓(𝑥)=|𝑥+𝑚|+|2𝑥−1|=|𝑥+𝑚|+2𝑥−1≤|2𝑥+1|=2𝑥+1， 从而可得|𝑥+𝑚|≤2，
即−2≤𝑥+𝑚≤2⇔−2−𝑥≤𝑚≤2−𝑥，且(−2−𝑥)max=−3，(2−𝑥)min=0，
因此𝑚∈[−3，0]．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容