体积随堂检测文北师大
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！) 一、选择题(每一小题6分，一共36分)
1．正棱锥的高缩小为原来的，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，那么它的体积是原来体积的() A.倍B.倍 C.倍D.倍
【解析】设原棱锥高为h，底面面积为S， 那么V＝Sh，
新棱锥的高为h，底面面积为9S. ∴V′＝·9S·h＝Sh·， ∴＝. 【答案】B
2．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的外表积为() A．32πB．16π C．12πD．8π
【解析】由三视图可知几何体是半径为2的半球，故其外表积应为半球的外表积与底面圆的面积
之和，即S＝2πR＋πR＝3πR＝12π.
2
2
2
【答案】C
3．当圆锥的侧面积和底面积的比值是时，圆锥轴截面的顶角等于() A．45°B．60° C．90°D．120°
【解析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r， 那么＝，∴＝，
设轴截面顶角的一半为α，
那么sinα＝＝，∴α＝45°，2α＝90°. 【答案】C
4．在三棱锥A—BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，那
么该三棱锥的体积为()
A.B. C．6D．2
【解析】AB·AC＝，AD·AC＝，AB·AD＝， ∴AB＝，AC＝1，AD＝. ∴V＝··1··＝. 【答案】B
5．把由曲线y＝|x|和y＝2围成的图形绕x轴旋转360°，所得旋转体的体积为() A.B. C.D.
【解析】由题意，y=|x|和y=2围成图中阴影局部的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个一样的一共
顶点的圆锥．
【答案】D
6．不一共面的三条定直线l1，l2，l3互相平行，点A在l1上，点B在l2上，C、D两点在l3上，
假设CD＝a(定值)，那么三棱锥A－BCD的体积()
A．由A点的变化而变化 B．由B点的变化而变化 C．有最大值，无最小值 D．为定值 【解析】
如图，把△BCD当作三棱锥的底面，AO⊥平面BCD于O， ∵l2∥l3，∴B点在l2上什么位置，△BCD的面积不变． 又∵l2∥l3，∴l2、l3确定一个平面α， ∵l1∥l2，且点A不在l2、l3确定的平面α上，
∴l1平行于l2、l3确定的平面α，从而不管A在l1的什么位置，高AO的长总不变．
又V=
×高×底面积，故无论A、B在什么位置时，其体积的值恒定．
【答案】D
二、填空题(每一小题6分，一共18分)
7.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那
么这个几何体的侧面积为.
【解析】由三视图的知识，它是底面直径与高均为1的圆柱，所以侧面积S=π. 【答案】π
8．正三棱台高为12 cm，上、下底面面积之比为1∶4，它的体积为28 cm，那么下底面面积为
________．
【解析】设下底面面积为Scm，
2
3
那么上底面面积为Scm，
2
∴×12＝28， ∴S＝4. 【答案】4cm
2
9．(2021年全国卷Ⅰ)直三棱柱ABC－A1B1C1的各顶点都在同一球面上．假设AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC
＝120°，那么此球的外表积等于________．
【解析】在△ABC中，由余弦定理知BC＝AB＋AC－2AB·AC·cos120°＝4＋4－2×2×2×＝12，
2
2
2
∴BC＝2.
由正弦定理知△ABC的外接圆半径r满足＝2r，
∴r＝2，由题意知球心到平面ABC的间隔为1，设球的半径为R，那么R＝＝， ∴S球＝4πR＝20π.
2
【答案】20π 三、解答题(一共46分)
10．(15分)假设我们把体积和外表积数值相等的几何体叫做HY几何体，那么在正方体、等边圆
柱(母线长等于底面圆直径的圆柱)、球三种几何体中有无这样的HY几何体？
【解析】设正方体的棱长为a，那么其体积V＝a，外表积S＝6a.由a＝6a，解得a＝6.
3
2
3
2
所以当正方体的棱长为6时，它是HY几何体，
设等边圆柱的底面半径为r，那么其母线长为2r，它的体积V＝πr×2r＝2πr，外表积S＝
2πr×2r＋2πr＝6πr.
2
2
2
3
11．(15分)如图，几何体的三视图(单位：cm)． (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的外表积及体积． 【解析】(1)这个几何体的直观图如下列图．
(2)这个几何体可看成是由正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体．
12.(16分)如下列图，以AB＝4 cm，BC＝3 cm的长方形ABCD为底面的长方体被平面斜着截断的
几何体，EFGH是它的截面．当AE＝5 cm，BF＝8 cm，CG＝12 cm时，试答复以下问题：
(1)求DH的长； (2)求这个几何体的体积； (3)截面四边形EFGH是什么图形？ 证明你的结论．
【解析】(1)过E作EB1⊥BF，垂足为B1，那么BB1=AE=5(cm)， 所以B1F=8-5=3(cm)．
因为平面ABFE∥平面DCGH，EF和HG是它们分别与截面的交线，所以EF∥HG. 过H作HC1⊥CG，垂足为C1， 那么GC1=FB1=3(cm)， DH=12-3=9(cm)．
(2)作ED1⊥DH，垂足为D1，B1P⊥CG，垂足为P，连结D1P，B1C1，那么几何体被分割成一个长方体
ABCD-EB1PD1，一个斜三棱柱EFB1-HGC1，一个直三棱柱EHD1-B1C1
(3)是菱形．
证明：由(1)知EF∥HG，同理EH∥FG. 于是EFGH是平行四边形． 所以EF=EH. 故EFGH是菱形．
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