利用定积分定义证明不等式

(广东省深圳实验学校高中部　５１８０５５)

摘　要:本文介绍了利用定积分证明不等式的方法ꎬ并给出这种方法在求和型不等式证明中的一些应用.关键词:定积分ꎻ定义ꎻ不等式ꎻ证明

中图分类号:Ｇ６３２　　　　　　文献标识码:Ａ　　　　　　文章编号:１００８－０３３３(２０１９)２２－００５５－０２

　　我们知道ꎬ如果函数ｆ(ｘ)在[ａꎬｂ]上连续ꎬ则

１１１１１＋＋􀆺＋＝１×１＋×１＋×１２３ｎ２３喻秋生

∫

ｂ

ａ

(ｘ)ｄｘ＝ｌｉｍ∑ｆ(ξｉ)△ｘ.

△ｘ→０ｉ＝１

ｎ

解析　１＋＋􀆺＋

若将区间[ａꎬｂ]等分成ｎ个小区间ꎬ如果ｆ(ｘ)在[ａꎬ

(ｂ－ａ)ｉｂ－ａ

]􀅰且小于ｆ[ａ＋ｎｎ

ｂ]上单调递减ꎬ且ｆ(ｘ)>０ꎬ则ｆ(ｘ)在第ｉ个小区间上的曲边梯形面积大于ｆ[ａ＋

１×１ꎬ每一项可看成是一个小矩形的面积ꎬ第ｉ个ｎ１ꎬ宽为１.ｉ１１ꎬ∵ｆ′(ｘ)＝－<０ꎬ∴ｆ(ｘ)在(０ꎬｘ２ｘｘ矩形的高为

(ｂ－ａ)(ｉ－１)ｂ－ａ

]􀅰ꎬ因此ꎬ根据定积分定义可以得到

ｎｎ下列不等关系:

ｎ

令ｆ(ｘ)＝

(ｂ－ａ)ｉｂ－ａ(１)∑ｆ[ａ＋]􀅰<

ｉ＝１ｎｎ

∫

ｂａ

＋¥)上单调递减ꎬ则

１＋(ｘ)ｄｘ(如图１)ꎻ

１１１１＋＋＋􀆺＋>

２３ｎ例２　求证:

１１１＋＋􀆺＋≤１＋２３ｎ因此ꎬ原不等式成立.

∫

ｎ＋１

∫

ｎ１

１ｄｘ＝１＋２ｘｘｎ＋１１

ｎ１

＝２ｎ－１ꎬ

１

１ｄｘ＝２ｘｘ＝２ｎ＋１－２.

１１１１＋＋＋􀆺＋２≥１(ｎ∈Ｎ∗).ｎｎ＋１ｎ＋２ｎ

１

ꎬｎ＋ｘ

解析　当ｎ＝１ꎬ２时ꎬ不等式显然成立ꎬ

(ｂ－ａ)(ｉ－１)ｂ－ａ

(２)∑ｆ[ａ＋]􀅰>

ｉ＝１ｎｎ

ｎ

２).

∫

ｂａ

(ｘ)ｄｘ(如图

当ｎ≥３时ꎬ令ｆ(ｘ)＝∵ｆ′(ｘ)＝－

如果ｆ(ｘ)在[ａꎬｂ]上单调递增ꎬ则得到与上述不等式因此ꎬ对一些求和型的不等式∑ａｉ>ｆ(ｎ)(或∑ａｉ<

ｉ＝１

ｉ＝１

ｎ

ｎ

相反的结论.

ｆ(ｎ))ꎬ我们可以通过构造函数ꎬ根据函数的单调性ꎬ利用定积分定义进行证明.

例１　求证:２ｎ＋１－２<１＋－１(ｎ∈Ｎ∗).

收稿日期:２０１９－０５－０５

作者简介:喻秋生ꎬ男ꎬ广东省特级教师ꎬ从事高中数学教学研究.

∴ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上单调递减ꎬ１１１１

则＋＋＋􀆺＋２>ｎｎ＋１ｎ＋２ｎ＋ｘ)

ｎ２＋１１０＝ｌｎ≥ｌｎ>１.

ｎ３

ｎ－ｎ＋１

０

２

１

<０ꎬ

(ｎ＋ｘ)２

＝ｌｎ(ｎ２＋１)－ｌｎｎ

∫

ｎ２－ｎ＋１０

１

ｄｘ＝ｌｎ(ｎｎ＋ｘ

１１１＋＋􀆺＋≤２ｎ２３ｎ因此ꎬ原不等式成立.

例３　求证:ｌｎ(ｎ＋１)>

１１１１

＋＋＋􀆺＋(ｎ３５７２ｎ＋１

—５５—

∈Ｎ∗).

解析　令ｆ(ｘ)＝递减ꎬ

１

ꎬ易知ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上单调２ｘ＋１

１１１１∴＋＋＋􀆺＋<３５７２ｎ＋１∵

１

＝ｌｎ(２ｘ＋１)２

∫

ｎ

０

１１

ｄｘ＝２ｘ＋１２

ｎ

０

１１１１∴＋＋＋􀆺＋<ｌｎ(ｎ＋１).３５７２ｎ＋１式:－１<∑

ｋ１

－ｌｎｎ≤ꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ􀆺.

ｋ＝１ｋ＋１２

ｎ

１

＝ｌｎ(２ｎ＋１)<ｌｎ(ｎ＋１)ꎬ２

∫

ｎ

０

１

ｄ(２ｘ＋１)２ｘ＋１

∫

ｎ０

１

ｄｘ.２ｘ＋１

ｎ２＋１又∵≤ｎ２(ｎ＝１时取等号)ꎬ

２∴∑

ｎ

１

＝ｌｎ(ｘ２＋１)２

ｎ１

１ｎ２＋１＝ｌｎꎬ２２

ｎ

ｋ１ｋ１

－≤ｌｎｎꎬ即∑－ｌｎｎ≤.２２

ｋ＝１ｋ＋１ｋ＝１ｋ＋１２２

同理ꎬ∑

１ｎ２＋２ｎ＋２ｌｎꎬ２２

ｋ

>２

ｋ＝１ｋ＋１

ｎ

∫

ｎ＋１

１

ｘ１

ｄｘ＝ｌｎ(ｘ２＋１)

２ｘ＋１

２

ｎ＋１

１

＝

例４　(２００９年全国高中数学联赛加试)求证不等

２

１ｎ２＋２ｎ＋２∵ｌｎ－ｌｎｎ２２＝

ｋ

－ｌｎｎ>－１.２

ｋ＝１ｋ＋１

ｎ

(１ꎬ＋¥)单调递减ꎬ

∴∑∵

ｎ

ｘ１－ｘ２

解析　令ｆ(ｘ)＝２ꎬｆ′(ｘ)＝２ꎬ则ｆ(ｘ)在

ｘ＋１(ｘ＋１)２

ｋ１ｋ－＝∑２≤

ｋ＝１ｋ＋１２ｋ＝２ｋ＋１

ｎ

∴∑

１１１１１１１

ｌｎ(＋＋２)>ｌｎ>ｌｎｅ－２＝－１ꎬ２２ｎｎ２２２

因此ꎬ原不等式成立.　　

∫

２

ｎ

１

ｘ１

ｄｘ＝２

２ｘ＋１

∫

ｎ

１

１

ｄ(ｘ２＋１)ｘ＋１

２

∫

ｎ１

ｘ

ｄｘꎬｘ＋１

２

参考文献:

[１]赵曜.借助定积分证明不等式[Ｊ].中学数学杂志ꎬ２０１５(１１):４４－４６.

[责任编辑:杨惠民]

巧建坐标系　妙解平抛问题

(浙江省绍兴市第一中学　３１２０００)

摘　要:解决一些物理问题ꎬ往往离不开坐标系.学生在运动和力的合成与分解中对建立直角坐标系有了基本掌握.然而当遇到一些具体的平抛运动类的问题时ꎬ需要将运动进行分解ꎬ往往显得力不从心.产生这样的原因ꎬ笔者认为学生的思维存在一定的局限性ꎬ不能够灵活建立坐标系ꎬ无法独立的对分运动进行研究.本文通过典型的例题ꎬ根据“分解”的思想巧妙建立坐标系ꎬ对分运动的情况进行详细的分析ꎬ希望通过此类平抛问题的求解方法ꎬ更好的指导学生跳出思维的“瓶颈”.

关键词:坐标系ꎻ平抛ꎻ分运动

中图分类号:Ｇ６３２　　　　　　文献标识码:Ａ　　　　　　文章编号:１００８－０３３３(２０１９)２２－００５６－０２

　　学生在研究物体沿直线运动的问题时ꎬ通常能够正确进行受力分析ꎬ建立直角坐标系ꎬ然后解决问题.然而当学生遇到曲线运动时ꎬ由于物体的运动轨迹不在坐标系上ꎬ学生就会不知所措ꎬ不能正确的将速度和加速度分

解到坐标系上ꎬ独立地考虑这两个方向上的分运动.Ａ以水平速度ｖ０＝２０ｍ/ｓ抛出ꎬ小球刚好落到斜面的底端Ｂ(空气阻力不计)ꎬ求小球在平抛运动过程中离开斜面的最大高度ｈ.

收稿日期:２０１９－０５－０５

作者简介:秦黎(１９８８.２－)ꎬ男ꎬ山西省陵川人ꎬ研究生ꎬ中学二级教师ꎬ从事物理教学研究.

秦　黎

例１　如图１所示ꎬ一小球自倾角θ＝３７°的斜面顶端

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