高三数学 三角函数讲解及练习 试题

一、基础知识

定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。

定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一

弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=Lr,其中r是圆的半径。

定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上

任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=yr,余弦函数cos

α=

xr,正切函数tanα=yxx，余切函数cotα=y，

定理1 同角三角函数的基本关系式， 倒数关系：tanα=

1cot,商数关系：tanα=sincoscos,cotsin； 乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin2

α+cos2

α=1, tan2

α+1=sec2

α, cot2

α+1=csc2

α.

定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα; （Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα;

（Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα; （ Ⅳ）sin2=cosα, cos2=sinα（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间2k2,2k2上为增函数，在区间2k2,2k32上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+

2时，y取最大值1，当且仅当x=3k-2时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+2均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.

定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点k2,0均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.

定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+

2)在开区间(kπ-2, kπ+2)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+2，0）均为其对称中心。

定理6 两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ; tan(αβ)=

(tantan)(1tantan).

定理7 和差化积与积化和差公式: sinα+sinβ=2sin2cos2,sinα-sinβ=2sin2cos2, cosα+cosβ=2cos2cos, cosα-cosβ=-2sin22sin2, sinαcosβ=

12[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-β)], cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)].

定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2

α-sin2

α=2cos2

α-1=1-2sin2

α,

tan2α=

2tan(1tan2).

定理9 半角公式:sin(1cos)(2=2,cos2=1cos)2, tan2=(1cos)sin(1cos)=(1cos)(1cos)sin. 2tan1tan2定理10 万能公式: sin22, cos,

1tan221tan222tantan2.

1tan22定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为

β，则sinβ=

b,cosβ=

a，对任意的角α.

a2b2a2b2asinα+bcosα=(a2b2)sin(α+β).

定理12 正弦定理：在任意△ABC中有asinAbsinBcsinC2R，其中a, b, c分别是角A，B，C的对

边，R为△ABC外接圆半径。

定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2

=b2

+c2

-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。

定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐

标变为原来的

12

，得到y=sinx(0)的图象（周期变

2

换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振

3幅变换）；

y=Asin(x+)(>0)的图象（周 6 期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图

象（振幅变换）；

y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫

作振幅)的图象向右平移个

单位得到y=Asinx的图象。 定义4 函数y=sinxx2,2的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanxx2,2的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).

定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程

cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。

恒等式：arcsina+arccosa=

2；arctana+arccota=2. 定理16 若x0,2，则sinx这种题型一般就直接化简后求值，主要利用两角和与差公式，“奇变偶不变”等 如sin163sin223sin253sin313sin17sin43cos17cos47cos60

2、三角式的化简、求值

三角式的化简主要利用诱导公式、同角关系式、和与差的公式及二倍角公式将复杂的三角式化得较为简单，

化简时要注意最简式的形式和要求。如：化简tan(x2x4)tan(42) 原式等于tanx[1tan(x2x4)tan(42)]2tanx（利用二倍角公式）

求值问题是三角问题中较常见的题型，它主要分为给角求值，给值求值和给值求角，解决这类问题首先是合理选择公式，其次是注意角的范围，如：已知yacosxb2csinxd求sin22cos的值。解：

tan(tan4)3,11tan3 tan()0.5原式等于-0.8

3、已知yAsin(x)(A0,0)的图像，求解析式。如：已知函数yAsin(x)(||2)的一

段图象如图所示，则 A．A=2，2，6

B．A=2，2，6

C．A=2，1011，6 D．A=2，1011，6

4、三角函数的对称性

三角函数的对称轴过图像上最大值或最小值对应的点。如：如果函数ysin2xacos2x的图像关于直线

x8对称，那么a=-1

5、函数图像平移问题直接按函数的平移，左加右减。注意是x在平移，x前有系数时一定要把系数提出来。

如：将函数ysin(1x23)的图象作如下那种变换，才能得到函数ysin(12x)的图象？（ ） （A）向右平移3 （B）向左平移3 （C）向右平移23（D）向左平移23

6、三角函数的最值问题

主要是利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为以下基本类型处理： ①yasinxb 设tsinx化为求一次函数yatb在闭区间t[1,1]上的最值 ②yasinxbcosxc 引入辅助角(tanba)，化为ya2b2sin(x)c

③yasin2xbsinxc 设tsinx化为求二次函数在闭区间t[1,1]上的最值

④yasinxcosxb(sinxcosx)c 设tsinxcosx，化为二次函数ya(t21)btc在区间t[2,2]上的最值

yatanxbcotx 设ttanx化为yat2⑤bt用“法”求最值

⑥yacosxbcsinxd根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，还可以用“不等式”求最值，更可以用“数

型结合法”求最值。 三、练习

1．函数y(sin2x1)(cos2x3)的最大值是（ ） （A）4（ B）

214 （C）6 （D）254 2、函数y2sin(62x)（x∈[0, ]）为增函数的区间是（ ）

A、[0，

3] B、[12,712] C、[553,6] D、[6,]

3、为了得到ysin(2x6)的图象，可以将函数y=cos2x的图象（ ）

A、向右平移6个单位长度 B、向右平移3个单位长度

C、向左平移6个单位长度 D、向左平移3个单位长度

4、已知tan，tan是方程x26x70的根，那么tan()的值为（ ）

A、22 B、22 C、22 D、24 5．将函数ysin(2x3)的图象按向量平移后所得的图象关于点(12,0)中心对称，则向量的坐标可

能为（ ）

A．(12,0)

B．(6,0) C．(12,0) D．(6,0)

6．设02,若sin3cos，则的取值范围是：( )

（Ａ）3, （Ｂ）, （Ｃ）,42333 （Ｄ）33,2 7．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间(

32，2)内的图象大致是（ ）

A B C D

8、在同一平面直角坐标系中，函数ycos(x322)(x[0，2])的图象和直线y12

的交点个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）4

9、已知tan1(sincos)22，则

cos2 （ ） （A）2 （B）2 （C）3 （D）3

10．求值sin70cos50sin20sin50 11．函数y44cosxsin2x的最大值是______最小值是________。

12．已知函数f(x)(sinxcosx)sinx，xR，则f(x)的最小正周期是 ．

13．函数f(x)3sinxsin2x的最大值是_________________. 14、已知函数f(x)cos(2x)32sin(x4)sin(x4) （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数f(x)在区间[,122]上的值域

15、已知函数f(x)sin2x，g(x)cos(2x6)，直线xt（tR）与函数f(x)、g(x)的图象分别交

于M、N两点 （1）当t4时，求|MN|的值；（2）求|MN|在t[0,2]时的最大值．

20、已知函数f(x)＝3sin(x)cos(x)(0π,0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相π1π16已知函数f(x)Asin(x)(A0，0π)，xR的最大值是1，其图像经过点M3，2．

（1）求f(x)的解析式；

（2）已知，0，π2，且f()35，f()1213，求f()的值．

17．已知函数f(x)sin2x3sinxsinxπ2（0）的最小正周期为π．

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f(x)在区间0，2π3上的取值范围．

18.已知函数f(t)=1t1t,g(x)cosx•f(sinx)sinx•f(cosx),x(,1712]. （Ⅰ）将函数g(x)化简成Asin(ωx+φ)+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式； （Ⅱ）求函数g(x)的值域.

．已知函数f(x)2sinx4cosx423sin2x43．（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及最值； （Ⅱ）令g(x)fxπ3，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．

邻对称轴间的距离为2. （Ⅰ）求f（

π8）的值；（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.

21、已知函数f(x)4cos2x43sinxcosx5,xR

（I）求f(x)取得最大值时x的集合；（II）求f(x)的单调递增区间；

（III指出函数f(x)的图象可由函数的ysinx,(xR)图象经过怎样的变换出？