COMSOL自定义PDE仿真入门专题

COMSOL自定义方程方法主要内容自定义PDE系数型边界约束通式型边界失效弱解型弱解型弱边界弱边界ODEs和DAEs系数型方程注意时刻记住什么是边界条件什么是初始条件1.线性系数只是空间或时间的函数或常量2.非线性系数是因变量的函数方程中各项含义质量阻尼质量扩散对流源对流吸收源fauuuuctudtueaa22守恒通量质量阻尼质量弹性力初始/热应力惯性力重力aaedccu22aaedcafttuuuuuu系数形式——波动方程密度阻尼系数应力刚性―弹簧常数‖fauuuuctudtueaa22堆积/储存扩散对流源对流吸收源系数形式——输送扩散方程扩散Helmholtz项源

222cukufakkHelmholtz 方程波数波长系数形式——频率响应波动方程fauuuuctudtueaa22案例1——Telegraph方程式??电报线按照Telegraph方程传递电压脉冲。αβ0.5时结果αβ0.5时波形传播稳态问题——系数c0022tutu稳态各项异性时的c系数α和γ系数β和af三个量都是矢量瞬态问题——系数ea和da系数的时间微分设为γ??项设为f??项有空间分布的时间微分可以利用γf??项添加特征值问题1.对比瞬态求解将时间微分项替换为lambd2.处理线性特征值求解非线性特征值要结合ODE约束处理边界条件1通量/源边界零通量少了一项约束狄氏边界周期边界边界条件2边界吸收边界源项约束力项边界书写规范边界的时间微分设为g??项边界上的时间微分可以利用源项g项添加通式型守恒通量源狄氏边界纽曼边界系数型和通式型比较约束的失效x1x0uv0方程狄氏边界纽曼边界x1u01x1uvxxxxuv因为Lagrange乘子μ1μ2可以任意取值所以纽曼边界ux0失效方程和约束??以二维通式形方程为例稳态下方程和约束如下方程狄氏边界修正的纽曼边界约束情形一??无约束只剩下纽曼边界约束约束情形二??添加狄氏边界条件因为Lagrange乘子μ1μ2可以任意取值所以纽曼边界失效约束情形三??如下添加约束因为Lagrange乘子μ1??可以任意取值所以第一个纽曼边界失效约束情形四??

仅改变情形3中方程的排序第二个纽曼边界失效可见方程排序对边界有时也有影响约束情形五??如下添加约束因为这两个纽曼边界不可忽略因为两个边界可以联立得到如下关系双向约束Vs单项约束??多个物理场之间变量调用时发生??区别——Lagrange乘子的提供方式前者是为保证对称与所有约束变量对称相关后者只由物理场的该边界上的因变量有关约束双向约束单向约束弱形式书写方式

1audFtaudvdAvdAvFdAtaudvdAvdsvdAvFdAtn0auvvFdvdAvdstn对于Poisson方程‐ux‐uy??F1??Ru??u??约束为01在―弱‖编辑框中输入上面的求解域积分-testuxux-testuyuy testuF –datestuut2在边界上设置约束u通式形式的弱形式弱形式书写方式2系数形式的弱形式域内方程书写方式边界方程书写方式再次看到两个对流项的不同弱贡献常用于边界或边或点上添加源项圆形求解域求解方法弱解形式弱贡献约束在中心处有点源1此处有弱贡献项p1ds应当输入testu1弱约束??弱约束是积分约束与之相对的是逐点约束除开弱约束有优势的边界推荐使用逐点约束??优点1添加非线性约束2添加非对称约束——最好选择单向约束??缺点1由于添加了Lagrange乘子增加了求解规模2会造成雅克比行列式主对角元为0而迭代法对于线性系统的刚度矩阵特征值分布很敏感不易求解。3间断约束理论上形成无穷个Lagrange乘子对解造成巨大扰动常微分方程——ODEs??ODE的应用??控制??刚体动力学??非线性特征值??积分约束??超越方程??分布式ODE洛特卡沃尔泰拉方

程??Lotka-Volterraequations:??由两条一阶非线性微分方程组成。经常用来描述生物系统中捕食与被捕食两个种群的相克关系也就是两者族群规模的消长。参数a11b10.1a20.5b20.02初始值N120N24捕食者与被捕食者数量变化捕食者与被捕食者

的生态关系代数方程——DAEs1.例求解方程易知方程有三个解注意初始值非常重要2.可以求解复数方程

-17-1-7112322iiuuuyixwezwezwwiyxzwezwwwimagw22aauuedcuuuaufut对热能做一个时间上的积分PDEs ODEs010UwtUdtdwdtUwdVuUtttV 全局变量ODE方程全局ODE:求解时间范围0‐100s对u的体积积分ODE:??wt‐

Ufile:??Transient_Diffusion_with_ODE.mph22aauuedcuuuaufut

tPxyzuxyzdt如果当热积聚到一定程度会发生破坏例如: 生物加热需要形象的显示出P变量的分布.假设破坏发生在P20处.PDEs 分布式ODEsdPudt在P20??的区域发生破坏audcuuuauft对于实际情况可能还有相变:1相变过程不可逆2在破坏的位置扩散系数不一样:c12.75Pxyz203P20 判定返回0 false或1 truec 得到两个值: 1 或3.75PDEs 分布式ODEs判别式 tPxyzuxyzdt 1 dtzyxuzyxPt更高级的相变设置: c12.75Pxyz20限定: 为了收敛不等式需要做平滑:P20 step1P at 20ds5u1 step2u at 1ds0.5注意: 网格需要做优化 1 dtzyxuzyxPt阶跃平滑对比两种网格形式下的相变扩散系数分解面可看到明显区别.??蓝色区域c1??红色区域file:

Transient_Diffusion_with_distributed_ODE_and_pchange.mph