多维非带限信号的抽样定理

JournalofHubeiUniversity(NaturalScience)󰀁

No.2Vol.19Jun.1997　多维非带限信号的抽样定理

李落清

󰀁󰀁

(湖北大学数学与计算机科学学院,武汉,430062)

摘要　著名的WhittakerKotel'nikovShannon抽样定理在信号分析与图像处理中起着十分重要的

作用,多维抽样理论更是如此.讨论了多维抽样的重构,建立了多维非带限信号的抽样级数对其信号近似表示的混叠误差估计,并提出若干有待进一步讨论的问题.

关键词　非带限信号;抽样级数;混叠误差分类号

O174.4;O236

0　引　言

抽样理论在信号分析与图像处理等方面应用非常广泛.由信号的离散样点值重构或近似表示该信号是信号分析研究中的重要问题之一.在许多实际问题中,可以考虑通过等距样点来恢复信号的情形.设f为能量有限的带限信号(或函数),即f∈L2(R),且f的Fourier变换f具有紧支集.若假定suppf󰀁[-󰀁W,󰀁W],则信号f有如下抽样级数(或Cardinal级数)表示

∞

　^

　^

f(t)=SWf(t)=

其中

sincx=

这就是著名的Whittaker

k=-∞

∑f(W)sinc(Wt-

kk),(0.1)

sin󰀁x　　　　　x≠0

󰀁x1　　　　　　　x=0

(0.2)

Kotel'nikovShannon抽样定理,见文献[1].

0　　　　t=m/W,m≠n1　　　　t=n/Wmm)=f().WW

若n和m都是整数,则抽样核函数满足

sinc󰀁(Wt-n)=

因此,抽样级数在其样点{m/W}处插值f,亦即

(SWf)(

不仅如此,SWf可视为Lagrange插值多项式在某种意义下的极限形式,见文献[2].于是,抽样级数(0.1)是有限区间上插值公式在R上的一种拓广.

对于能量有限的非带限信号f(t),通常研究其抽样级数近似表示的可能性.J.L.Brown,Jr.(见文献[3])得到抽样级数恢复信号的混叠误差(aliasingerror)估计

󰀁国家自然科学基金和湖北省自然科学基金资助项目

󰀁󰀁李落清,男,1956年生,博士,教授收稿日期:19970124　第2期　　　　　　　　　　　　　　李落清:多维非带限信号的抽样定理　　　　　　　　　　　　　　　　107󰀁f(t)-SWf(t)󰀁≤

2󰀁∫󰀁f(󰀂)󰀁d󰀂󰀁󰀂󰀁≥󰀁W

　^

(0.3)

上式表明,对于满足一定条件的非带限信号,其抽样级数可以任意近似地表示该信号.R.L.Stens(见文献[4])将(0.3)式进一步推广为

󰀁f

(r)

(t)-(SWf)

(r)

(t)󰀁≤

　^

2󰀁∫󰀁󰀂󰀁󰀁f(󰀂)󰀁d󰀂,W>0󰀁󰀂󰀁≥󰀁W

r

　^

(0.4)

这里f∈L2(R)∩C(R),r为非负整数,且(i󰀂)rf(󰀂)∈L(R).

估式(0.4)不仅反映了抽样级数对其相应信号的恢复程度,而且揭示了其整体逼近性态.可以看到,此估式以(0.1)式和(0.3)式作为其特例.

本文讨论多维信号(或多元函数)的类似问题,建立了多维非带限信号的抽样级数对其信号的近似表示的混叠误差估计.本文提及的信号与函数视为同义语.

1　多维非带限信号的混叠误差

设L(Rd)、L2(Rd)和C(Rd)分别表示d维欧氏空间Rd上Lebesgue可积函数空间、平方可积函数空间和连续函数空间,其范数如通常定义.设a∈R为实数.对R中的向量t=(t1,t2,…,td),x=(x1,x2,…,xd),定义󰀁t󰀁=󰀁t1󰀁+󰀁t2󰀁+…+󰀁td󰀁,tx=(t1x1,t2x2,…,tdxd),以及ax=(ax1,ax2,…,axd).设

=( 1, 2,…, d)为多重指标.若 的分量 1, 2,…, d均为非负整数,记t=t11t22…tdd.用D表示微分

d

算子

󰀂1󰀂2󰀂d󰀂D= 1 … = 󰀂t1󰀂t22󰀂tdd󰀂t11󰀂t22…󰀂tdd

󰀁 󰀁

若f∈L(Rd),则f的Fourier变换定义为

　^

f(x)=

d

1d/2(2󰀁)

∫d

f(t)eR

d

-ixt

dt

再记!(t)为多维抽样核函数

!(t)=

　　对于多维信号f,定义其抽样算子为

SWf(t)=

其中k=(k1,k2,…,kd)为多重指标.

下面结果是WhittakerKotel'nikovShannon抽样定理在多维情形的表现形式,其证明是简单的,可见文献[5]及其所引文献.

定理1　设f是[-󰀁W,󰀁W]上能量有限的带限信号,即f∈L(R),且f󰀁[-󰀁W,󰀁W].那么在L2意义下有

f(t)=

d

2

d

　^

d

∏sinct

j=1

j

=

∏

j=1

sin󰀁tj

󰀁tj

(1.1)

∑f(W)!(Wt-k∈Zd

kk),(1.2)

∑f(W)!(Wt-k∈Zd

kk)(1.3)

　　关于多维非带限信号的抽样级数对其信号的近似表示,我们考虑混叠误差(aliasingerror)的情形,得到下列估计.

定理2　设f∈L(R)∩C(R),r为非负整数.再设 为多重指标,对󰀁 󰀁≤r,有(ix)f(x)∈L(Rd).那么,D f∈C(Rd),󰀁 󰀁≤r,且d

d

　^

　　　　　　　　　　　　　　　　　湖北大学学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　　　　第19卷　1082d/2(2󰀁)

　　在证明定理2之前,先做些准备工作.

󰀁D f(t)-D (SWf)(t)󰀁≤

∫x [-󰀁W,󰀁W]

󰀁x 󰀁󰀁f(x)󰀁dx　　　W>0.d

　^

(1.4)

记∀(W)={t=(t1,t2,…,td)∈Rd:󰀁tj󰀁≤󰀁W,j=1,2,…,d}.对参数x∈Rd,记G(x,t)为指数函数e-itx在∀(W)上的限制,并关于变元t的各个分量周期扩张到Rd上.这样G(x,t)是关于变元t以2󰀁W为周期的函数,在∀(W)上等于e.因而函数G(x,t)有如下Fourier展开.

引理1　设t∈R给定.那么

G(t,x)=

dd

ixt

∑e

k∈Z

d

ikx/W

!(Wt-k)

对几乎所有的x∈R成立,其中!(t)由(1.1)式定义.

引理1的证明　设x∈R固定.由于G(x,t)关于变量t是2󰀁W周期的,则其Fourier系数为

11-ikt/Wixt-ikt/W

ck(G)=G(x,t)edt=eedt=dd(2󰀁W)∀(W)(2󰀁W)∀(W)

d

∫1e

(2󰀁W)∫d

∀(W)

∫-i(x-k/W)t

dt=!(Wx-k)

由此推出

G(t,x)=

d

∑c(G)e

k

k∈Z

d

ikx/W

=

∑e

k∈Z

d

d

ikx/W

!(Wt-k)

引理2　设f∈L(R).固定t∈R,有

k∈Zd

d

∑f(W)!(Wt-k∈Zd∩[-N,N]d

kk)=

1d/2(2󰀁)

∫R

G(t,x)f(x)dx　　W>0

　^

引理2的证明　首先注意到,存在常数M>0,对任何N,成立着

∑

eikx/W!(Wt-k)f(x)≤M󰀁f(x)󰀁

　^　^

又因为f∈L(Rd),由引理1,对几乎处处的x∈Rd有

limN→∞

k∈Zd∩[-N,N]d

　^

∑

e

ikx/W

!(Wt-k)f(x)=G(t,x)f(x)

　^　^

于是由Lebesgue控制收敛定理给出

limN→∞

k∈Zd∩[-N,N]d

∑

∫

Rd

eikx/W!(Wt-k)f(x)dx=

　^

∫

Rd

G(t,x)f(x)dx

　^

由此及Fourier变换的反演公式,得

1k

f()!(Wt-k)=∑(2󰀁)d/2Wk∈Zd

f(t)=

上式右边对t求导数,得

D

　^

∫Rd

G(t,x)f(x)dx.

　^

定理2的证明　设f∈L(Rd)∩C(Rd).应用Fourier变换的反演公式,有

1d/2(2󰀁)

itx

∫R

d

　^

f(x)edx

itx

∫R

d

　^

f(x)edx=

∫

R

dd

(ix)f(x)edx

　^

itx

由假设(ix) f(x)∈L(Rd),故D f∈L(Rd).这就证明了定理的第一个结论.下证(1.4)式.

由引理2,有

SWf(t)=

从而,用微分算子D 作用上式两边,得1d/2(2󰀁)

∫G(t,x)f(x)dxR

　^

　第2期　　　　　　　　　　　　　　李落清:多维非带限信号的抽样定理　　　　　　　　　　　　　　　　109D SWf(t)=

1d/2(2󰀁)

∫R

D G(t,x)f(x)dx=d

　^

1d/2(2󰀁)

∫R

(ix) G(t,x)f(x)dxd

　^

(1.5)

　　记EW(t)=󰀁D f(t)-D (SWf)(t)󰀁.由(1.5)式及󰀁G(t,x)󰀁≤1推出

EW(t)=

1(2󰀁)d/21(2󰀁)d/22d/2(2󰀁)

定理2证毕.

∫∫∫x x

itx

(ix)f(x)edx-dR

　^

(ix)f(x)e∀(W)

　^

　^

itx

∫dx-∫(ix)

x ∀(W)

1(2󰀁)d/2

(ix)f(x)G(t,x)dx=dR

　^

　^

f(x)G(t,x)dx≤

󰀁x󰀁󰀁f(x)󰀁dx∀(W)

2　几点注记

2.1　本文讨论的抽样理论,属于Fourier分析、插值与逼近、信号与图像处理以及通信工程等学科的交叉领域,有着丰富的理论.无论是正则抽样(regularsampling),还是非正则抽样(irregularsampling),近年来都取得很大进展,一维抽样理论向多维的拓广也受到越来越多人们的关注.虽然许多一维的结果可以推广到多维,但是多维抽样理论并不能完全保持人们所期望的一维的某些特征.有兴趣的读者可参阅文献[5]的相关说明.

2.2　多维非带限信号的抽样级数对其信号的近似表示的混叠误差以及其它一些类型(如截断误差等)的误差分析,也有不少研究,例如,见文献[6]和文献[7].在文献[8]中,W.Sickel还讨论了利用抽样级数的逼近度刻划一类函数空间的特征.这里给出Besov空间Bp,q的特征刻划(定义及证明见文献[8]).

设1d/p.那么

∞

s

f∈B

s

p,q

!‖f‖Lp+

s-1/qq

∑[(W+1)‖SWf‖Lp]W=0

1/q

<∞

由此可见,用广义抽样级数(见注记2.4)的逼近度来刻划函数空间的特征乃是一个值得讨论的问题.2.3　定理2中的误差估计式(1.3)表明满足一定条件的多维信号可以用其抽样级数来逼近到所给定的精度,而且它包含了带限信号的情形(1.2).从函数逼近论的角度,(1.3)式描述了某类函数用其Cardinal级数同时逼近的量化形式.因此,还可以讨论进一步的逼近性质.

2.4　本文讨论的抽样级数有不同的推广形式.一方面,用适当的核函数#(x)取代抽样核函数sincx,考虑抽样算子

(SWf)(x)=

#

#

∑f(W)#(Wx-k∈Z#

kk)

算子SW的收敛性已有不同程度的研究,例如(见文献[4])

设#是R上有界函数且∑k∈Z󰀁#(x-k)󰀁在[0,1]上一致收敛,f是R上连续有界函数,则

W→∞

lim(SWf)(x)=f(x)

的充分与必要条件是∑k∈Z#(x-k)=1.

󰀂

另一方面,可假定取样值依赖于某种卷积结构(例如,见文献[9]).譬如,设∃∈L(R)且∃(0)=1为卷积核函数,定义

(RWf)(t)=

∫

x)dxf(t-x)W∃(RW

kk若用(RWf)(W)取代样值f(W),则抽样级数具有形式　　　　　　　　　　　　　　　　　湖北大学学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　　　　第19卷　110QWf(x)=

∑(R

k∈Z

W

f)(k)#(Wx-k)

W

此类型抽样级数联系着小波展开理论(例如,见文献[10]).小波分析是目前用来进行时频局部分析的较理想的工具.因此,这方面的研究具有广阔的应用前景.

参

考

文

献

1　ShannonCE.Communicationsinthepresenceofnoise.ProcIRE,1949,37:10～21

2　HinsenG,KlostersD.ThesamplingseriesasalimmitingcaseofLagrangeinterpolation.ApplicableAnalysis,

1993,49:49～643　BrownJLJr.Ontheerrorinreconstructinganonbandlimmitedfunctionbymeansofthebandpasssamplingtheo-rem.JMathAnalAppl,1967,18:75～84;Erratum.samejournal,1968,21:699

4　ButzerPL,StensRL.Samplingtheoryfornotnecessarilybandlimmitedfunctions:ahistoricaloverview.SIAMReview,1992,34:40～535　HigginsJR.Fiveshortstoriesaboutthecardinalseries.BullAmerMathSoc,1985,12:45～89

6　ProsserRT.Amultidimensionalsamplingtheorem.JMathAnalAppl,1966,16:574～584

7　SplettosserW.Samplingapproximationofcontinuousfunctionswithmultidimensionaldomain.IEEETransInfor-mationTheory,1982,5:809～8148　SickelW.CharacterizationofBesov

TriebelLizorkinspacesviaapproximationbyWhittaker'scardinalseriesand

relatedunconditionalschauderbases.ConstructiveApproximation,1992,8:257～274

9　StensRL.Errorestimatesforsamplingsumsbasedonconvolutionintegrals.InformationandControl,1980,45:37

～47

10　GomesSM,CortinaE.Someresultsontheconvergenceofsamplingseriesbasedonconvolutionintegrals.SIAMJMathAnal,1995(5):1386～1402

SAMPLINGTHEOREMSFORMULTIDIMENSIONAL

NONBANDLIMMITEDSIGNALS

LiLuoqing

(InstituteofMathematicsandComputerScience,HubeiUniversity,Wuhan,430062)

Abstract　ThewellknownShannonsamplingtheoremwhichplaysabasicroleincommunica-tion,controltheoryanddataprocessing,statesthateverybandlimmitedsignalfuntioncanbecom-pletelyreconstructedfromitsequallyspacedsampledvalues.Thealiasingerrorsforsamplingseriesofmultidimensionalnonbandlimmitedsignalsareestimated.Andsameproblemswhichareworthconsid-eringarealsopresented.

Keywords　Nonbandlimmitedsignal;Samplingseries;Aliasingerror

(责任编辑　肖　铿)