2016年辽宁省葫芦岛市中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．4的相反数是（ ） A．4
B．﹣4 C．
D．
2．下列运算正确的是（ ） A．﹣a（a﹣b）=﹣a2﹣ab B．（2ab）2÷a2b=4ab C．2ab•3a=6a2b D．（a﹣1）（1﹣a）=a2﹣1 3．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是由5个相同的小正方体构成的几何体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．九年级两名男同学在体育课上各练习10次立定跳远，平均成绩均为2.20米，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名同学立定跳远成绩的（ ） A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
6．下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（ ）
A．2x2﹣6x+1=0 B．3x2﹣x﹣5=0 C．x2+x=0 D．x2﹣4x+4=0
7．在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球4个，其余为白球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为，则袋中白球的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．12
8．A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运40千克，A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等．设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，根据题意可列方程为（ ） A．C．
= =
B． D．
= =
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（ ）
1
A．4 B．8 C．2 D．4
10．甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y（km）与行驶时间t（h）的函数图象如图所示，下列说法正确的有（ ）
①甲车的速度为50km/h ②乙车用了3h到达B城
③甲车出发4h时，乙车追上甲车 ④乙车出发后经过1h或3h两车相距50km．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．在“2016丝绸之路”国际投资贸易洽谈会上，我省销售的产品和合作项目签约金额为730000000元，将730000000用科学记数法表示为 ．
12．分解因式：a3﹣4a= ．
13．某广告公司全体员工年薪的具体情况如表：
15 10 6 4 年薪/万元 25
1 1 3 3 2 人数
则该公司全体员工年薪的中位数是 万元．
14．如图，一只蚂蚁在正方形ABCD区域内爬行，点O是对角线的交点，∠MON=90°，OM，ON分别交线段AB，BC于M，N两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为 ．
15．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=110°，则∠BOD= 度．
16．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为 ．
2
17．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（2，1），BO=2则k的值为 ．
，反比例函数y=的图象经过点B，
18．如图，点A1（2，2）在直线y=x上，过点A1作A1B1∥y轴交直线y=x于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=x和y=x于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则等腰直角△AnBnCn的面积为 ．（用含正整数n的代数式表示）
三、解答题（第19小题10分，第20-25小题各12分，第26小题14分，共96分） 19．先化简：（2x﹣
）÷
，然后从0，1，﹣2中选择一个适当的数作为x的值代入求值．
20．某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
3
（1）本次调查的学生共有 人，在扇形统计图中，m的值是 ； （2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率． 21．在纪念中国抗日战争胜利70周年之际，某公司决定组织员工观看抗日战争题材的影片，门票有甲乙两种，甲种票比乙种票每张贵6元；买甲种票10张，乙种票15张共用去660元． （1）求甲、乙两种门票每张各多少元？
（2）如果公司准备购买35张门票且购票费用不超过1000元，那么最多可购买多少张甲种票？
22．在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离．如图，现测得∠ABC=30°，∠CBA=15°，AC=200米，请计算A，B两个凉亭之间的距离（结果精确到1米）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G． （1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．
24．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
25．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF． （1）请直接写出线段AF，AE的数量关系 ；
4
（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．
26．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q的坐标．
5
2016年辽宁省葫芦岛市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．4的相反数是（ ） A．4
B．﹣4 C．
D．
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可． 【解答】解：根据概念，（4的相反数）+（4）=0，则4的相反数是﹣4． 故选：B．
2．下列运算正确的是（ ） A．﹣a（a﹣b）=﹣a2﹣ab B．（2ab）2÷a2b=4ab C．2ab•3a=6a2b D．（a﹣1）（1﹣a）=a2﹣1 【考点】整式的混合运算．
【分析】A、原式利用单项式乘以多项式法则计算得到结果，即可作出判断； B、原式先计算乘方运算，再计算除法运算得到结果，即可作出判断； C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可作出判断； D、原式变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式=﹣a2+ab，错误； B、原式=4a2b2÷a2b=4b，错误； C、原式=6a2b，正确；
D、原式=﹣（a﹣1）2=﹣a2+2a﹣1，错误， 故选C
3．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解，由于圆既是轴对称又是中心对称图形，故只考虑圆内图形的对称性即可．
【解答】解：A、既是轴对称图形，不是中心对称图形； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形； C、不是轴对称图形，是中心对称图形； D、只是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选B．
4．如图是由5个相同的小正方体构成的几何体，其左视图是（ ）
6
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】几何体的左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1；据此画出图形即可求解． 【解答】解：观察图形可知，如图是由5个相同的小正方体构成的几何体，其左视图是
．
故选：C．
5．九年级两名男同学在体育课上各练习10次立定跳远，平均成绩均为2.20米，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名同学立定跳远成绩的（ ） A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数 【考点】统计量的选择．
【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这2名学生立定跳远成绩的方差．
【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这2名学生立定跳远成绩的方差． 故选：A．
6．下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（ ）
A．2x2﹣6x+1=0 B．3x2﹣x﹣5=0 C．x2+x=0 D．x2﹣4x+4=0 【考点】根的判别式．
【分析】由根的判别式为△=b2﹣4ac，挨个计算四个选项中的△值，由此即可得出结论． 【解答】解：A、∵△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×2×1=28＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根；
B、∵△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×3×（﹣5）=61＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根； C、∵△=b2﹣4ac=12﹣4×1×0=1＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根；
D、∵△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×4=0， ∴该方程有两个相等的实数根． 故选D．
7．在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球4个，其余为白球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为，则袋中白球的个数为（ ） A．2
C．4
【考点】概率公式．
B．3
D．12
7
【分析】首先设袋中白球的个数为x个，然后根据概率公式，可得：案．
【解答】解：设袋中白球的个数为x个， 根据题意得：
=，
=，解此分式方程即可求得答
解得：x=3．
经检验：x=3是原分式方程的解． ∴袋中白球的个数为3个． 故选B．
8．A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运40千克，A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等．设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，根据题意可列方程为（ ） A．C．
= =
B． D．
= =
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据A、B两种机器人每小时搬运化工原料间的关系可得出A型机器人每小时搬运化工原料（x+40）千克，再根据A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等即可列出关于x的分式方程，由此即可得出结论．
【解答】解：设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，则A型机器人每小时搬运化工原料（x+40）千克，
∵A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等， ∴
=
．
故选A．
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
【考点】三角形中位线定理；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．
【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在RT△ABF中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．
【解答】解：在RT△ABF中，∵∠AFB=90°，AD=DB，DF=4， ∴AB=2DF=8，
∵AD=DB，AE=EC， ∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABF=30°， ∴AF=AB=4，
8
∴BF=故选D．
=
=4
．
10．甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y（km）与行驶时间t（h）的函数图象如图所示，下列说法正确的有（ ）
①甲车的速度为50km/h ②乙车用了3h到达B城
③甲车出发4h时，乙车追上甲车 ④乙车出发后经过1h或3h两车相距50km．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】一次函数的应用．
【分析】根据路程、时间和速度之间的关系判断出①正确；
根据函数图象上的数据得出乙车到达B城用的时间，判断出②正确；
根据甲的速度和走的时间得出甲车出发4h时走的总路程，再根据乙的总路程和所走的总时间求出乙的速度，再乘以2小时，求出甲车出发4h时，乙走的总路程，从而判断出③正确；
再根据速度×时间=总路程，即可判断出乙车出发后经过1h或3h，两车相距的距离，从而判断出④正确． 【解答】解：①甲车的速度为
=50km/h，故本选项正确；
②乙车到达B城用的时间为：5﹣2=3h，故本选项正确；
③甲车出发4h，所走路程是：50×4=200（km），甲车出发4h时，乙走的路程是：
×2=200（km），则
乙车追上甲车， 故本选项正确；
④当乙车出发1h时，两车相距：50×3﹣100=50（km）， 当乙车出发3h时，两车相距：100×3﹣50×5=50（km）， 故本选项正确； 故选D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．在“2016丝绸之路”国际投资贸易洽谈会上，我省销售的产品和合作项目签约金额为730000000元，将730000000用科学记数法表示为 7.3×108 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数．
9
【分析】利用科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
10n
【解答】解：730000000用科学记数法表示为：7.3×108． 故答案为：7.3×108．
12．分解因式：a3﹣4a= a（a+2）（a﹣2） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=a（a2﹣4） =a（a+2）（a﹣2）． 故答案为：a（a+2）（a﹣2）
13．某广告公司全体员工年薪的具体情况如表：
15 10 6 4 年薪/万元 25
1 1 3 3 2 人数
则该公司全体员工年薪的中位数是 8 万元． 【考点】中位数．
【分析】根据中位数的定义进行解答即可． 【解答】解：∵共有1+1+3+3+2=10个人， ∴中位数是第5和第6个数的平均数， ∴中位数是（10+6）÷2=8（万元）； 故答案为8．
14．如图，一只蚂蚁在正方形ABCD区域内爬行，点O是对角线的交点，∠MON=90°，OM，ON分别交线段AB，BC于M，N两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为
．
【考点】几何概率．
OB=OC，【分析】根据正方形的性质可得出“∠MBO=∠NCO=45°，∠BOC=90”，通过角的计算可得出∠MOB=∠NOC，由此即可证出△MOB≌△NOC，同理可得出△AOM≌△BON，从而可得知S阴影=S正方形ABCD，再根据几何概率的计算方法即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，点O是对角线的交点， ∴∠MBO=∠NCO=45°，OB=OC，∠BOC=90°， ∵∠MON=90°，
∴∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠NOC=90°， ∴∠MOB=∠NOC． 在△MOB和△NOC中，有
，
10
∴△MOB≌△NOC（ASA）． 同理可得：△AOM≌△BON． ∴S阴影=S△BOC=S正方形ABCD． ∴蚂蚁停留在阴影区域的概率P=
=．
故答案为：．
15．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=110°，则∠BOD= 140 度．
【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．
【分析】根据圆内接四边形对角互补和，同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可以解答本题． 【解答】解：∵A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=110°， ∴四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠C+∠A=180°， ∴∠A=70°，
∵∠BOD=2∠A， ∴∠BOD=140°， 故答案为：140．
16．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为 （0，） ．
【考点】矩形的性质；坐标与图形性质．
【分析】过D作DE⊥AC于E，根据矩形的性质和B的坐标求出OC=AB=3，OA=BC=4，∠CCOA=90°，求出OD=DE，根据勾股定理求出OA=AE=4，AC=5，在Rt△DEC中，根据勾股定理得出DE2+EC2=CD2，求出OD，即可得出答案．
11
【解答】解：过D作DE⊥AC于E，
∵四边形ABCO是矩形，B（4，3），
∴OC=AB=3，OA=BC=4，∠CCOA=90°， ∵AD平分∠OAC， ∴OD=DE，
由勾股定理得：OA2=AD2﹣OD2，AE2=AD2﹣DE2， ∴OA=AE=4， 由勾股定理得：AC=
=5，
在Rt△DEC中，DE2+EC2=CD2， 即OD2+（5﹣4）2=（3﹣OD）2， 解得：OD=，
所以D的坐标为（0，）， 故答案为：（0，）．
17．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（2，1），BO=2则k的值为 ﹣8 ．
，反比例函数y=的图象经过点B，
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．
【分析】根据∠AOB=90°，先过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，构造相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算，求得点B的坐标，进而得出k的值．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，则∠OCA=∠BDO=90°， ∴∠DBO+∠BOD=90°， ∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°， ∴∠DBO=∠AOC， ∴△DBO∽△COA， ∴
12
，
∵点A的坐标为（2，1）， ∴AC=1，OC=2， ∴AO=∴
∴B（﹣2，4），
∵反比例函数y=的图象经过点B， ∴k的值为﹣2×4=﹣8． 故答案为：﹣8
=
，
，即BD=4，DO=2，
18．如图，点A1（2，2）在直线y=x上，过点A1作A1B1∥y轴交直线y=x于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=x和y=x于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则等腰直角△AnBnCn的面积为
．（用含正整数n的代数式表示）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．
【分析】先根据点A1的坐标以及A1B1∥y轴，求得B1的坐标，进而得到A1B1的长以及△A1B1C1面积，再根据A2的坐标以及A2B2∥y轴，求得B2的坐标，进而得到A2B2的长以及△A2B2C2面积，最后根据根据变换规律，求得AnBn的长，进而得出△AnBnCn的面积即可． 【解答】解：∵点A1（2，2），A1B1∥y轴交直线y=x于点B1， ∴B1（2，1）
∴A1B1=2﹣1=1，即△A1B1C1面积=×12=；
13
∵A1C1=A1B1=1， ∴A2（3，3），
又∵A2B2∥y轴，交直线y=x于点B2， ∴B2（3，），
∴A2B2=3﹣=，即△A2B2C2面积=×（）2=； 以此类推，
A3B3=，即△A3B3C3面积=×（）2=A4B4=…
∴AnBn=（）n﹣1，即△AnBnCn的面积=×[（）n﹣1]2=
．
，即△A4B4C4面积=×（
）2=
；
；
故答案为：
三、解答题（第19小题10分，第20-25小题各12分，第26小题14分，共96分） 19．先化简：（2x﹣
）÷
，然后从0，1，﹣2中选择一个适当的数作为x的值代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式=（
﹣
）÷
=•
=，
=．
当x=﹣2时，原式=
14
20．某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 50 人，在扇形统计图中，m的值是 30% ； （2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率． 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图． 【分析】（1）首先用选舞蹈课的人数除以它占本次调查的学生总人数的百分率，求出本次调查的学生共有多少人；然后用选乐器课的人数除以本次调查的学生总人数，求出在扇形统计图中，m的值是多少即可； （2）首先用本次调查的学生总人数乘参加绘画课、书法课的人数占总人数的百分率，求出参加绘画课、书法课的人数各是多少；然后根据参加绘画课、书法课的人数，将条形统计图补充完整即可；
（3）首先判断出在被调查的学生中，选修书法的有3名男同学，2名女同学，然后应用列表法，写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率是多少即可． 【解答】解：（1）20÷40%=50（人） 15÷50=30%
答：本次调查的学生共有50人，在扇形统计图中，m的值是30%．
（2）50×20%=10（人） 50×10%=5（人）
．
（3）∵5﹣2=3（名），
∴选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学， 男 男 男
/ 男 （男，男） （男，男）
/ 男 （男，男） （男，男）
男 （男，男） （男，男） / 女 （女，男） （女，男） （女，男）
15
女
（男，女） （男，女） （男，女） / 女
（男，女） （男，女） （男，女） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，男） （女，女） /
所有等可能的情况有20种，所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种， 则P（一男一女）=
=
答：所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率是．
故答案为：50、30%． 21．在纪念中国抗日战争胜利70周年之际，某公司决定组织员工观看抗日战争题材的影片，门票有甲乙两种，甲种票比乙种票每张贵6元；买甲种票10张，乙种票15张共用去660元． （1）求甲、乙两种门票每张各多少元？
（2）如果公司准备购买35张门票且购票费用不超过1000元，那么最多可购买多少张甲种票？ 【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用． 【分析】（1）设乙种门票每张x元，则甲种门票每张（x+6）元，根据“买甲种票10张，乙种票15张共用去660元”列方程即可求解；
（2）设可购买y张甲种票，则购买（35﹣y）张乙种票，根据购票费用不超过1000元列出不等式即可求解．
【解答】解：（1）设乙种门票每张x元，则甲种门票每张（x+6）元，根据题意得 10（x+6）+15x=660， 解得x=24．
答：甲、乙两种门票每张各30元、24元；
（2）设可购买y张甲种票，则购买（35﹣y）张乙种票，根据题意得 30y+24（35﹣y）≤1000， 解得y≤26．
答：最多可购买26张甲种票．
22．在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离．如图，现测得∠ABC=30°，∠CBA=15°，AC=200米，请计算A，B两个凉亭之间的距离（结果精确到1米）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用．
RT△ACD【分析】过点A作AD⊥BC，交BC延长线于点D，根据∠ABC=30°、∠CBA=15°求得∠CAD=45°，中由AC=200米知AD=ACcos∠CAD，再根据AB=【解答】解：过点A作AD⊥BC，交BC延长线于点D，
可得答案．
16
∵∠B=30°， ∴∠BAD=60°， 又∵∠BAC=15°， ∴∠CAD=45°，
在RT△ACD中，∵AC=200米， ∴AD=ACcos∠CAD=200×
=100
（米），
∴AB===200≈283（米），
答：A，B两个凉亭之间的距离约为283米．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G． （1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．
【考点】切线的判定；等腰三角形的性质；扇形面积的计算． 【分析】（1）连接AD、OD，由AB为直径可得出点D为BC的中点，由此得出OD为△BAC的中位线，再根据中位线的性质即可得出OD⊥DF，从而证出DF是⊙O的切线；
（2）CF=1，DF=，通过解直角三角形得出CD=2、∠C=60°，从而得出△ABC为等边三角形，再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接AD、OD，如图所示． ∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∵AC=AB，
∴点D为线段BC的中点． ∵点O为AB的中点， ∴OD为△BAC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：在Rt△CFD中，CF=1，DF=， ∴tan∠C=∴∠C=60°， ∵AC=AB，
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=，CD=2，
∴△ABC为等边三角形， ∴AB=4． ∵OD∥AC，
∴∠DOG=∠BAC=60°，
∴DG=OD•tan∠DOG=2， ∴S阴影=S△ODG﹣S扇形OBD=DG•OD﹣
πOB2=2
﹣π．
24．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用． 【分析】（1）设y=kx+b，根据题意，利用待定系数法确定出y与x的函数关系式即可； （2）根据题意结合销量×每本的利润=150，进而求出答案；
（3）根据题意结合销量×每本的利润=w，进而利用二次函数增减性求出答案． 【解答】解：（1）设y=kx+b， 把（22，36）与（24，32）代入得：解得：
，
，
则y=﹣2x+80；
（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元， 根据题意得：（x﹣20）y=150， 则（x﹣20）（﹣2x+80）=150， 整理得：x2﹣60x+875=0， （x﹣25）（x﹣35）=0，
解得：x1=25，x2=35（不合题意舍去）， 答：每本纪念册的销售单价是25元；
（3）由题意可得： w=（x﹣20）（﹣2x+80） =﹣2x2+120x﹣1600 =﹣2（x﹣30）2+200，
18
此时当x=30时，w最大，
又∵售价不低于20元且不高于28元，
∴x＜30时，y随x的增大而增大，即当x=28时，w最大=﹣2（28﹣30）2+200=192（元），
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
25．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF． （1）请直接写出线段AF，AE的数量关系 AF=AE ；
（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．
【考点】四边形综合题． 【分析】（1）如图①中，结论：AF=AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可．
（2）如图②中，结论：AF=AE，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可．
（3）如图③中，结论不变，AF=AE，连接EF，延长FD交AC于K，先证明△EDF≌△ECA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可． 【解答】解：（1）如图①中，结论：AF=AE．
理由：∵四边形ABFD是平行四边形， ∴AB=DF， ∵AB=AC， ∴AC=DF， ∵DE=EC， ∴AE=EF，
∵∠DEC=∠AEF=90°，
19
∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF=AE．
故答案为AF=AE．
（2）如图②中，结论：AF=
AE．
理由：连接EF，DF交BC于K． ∵四边形ABFD是平行四边形， ∴AB∥DF，
∴∠DKE=∠ABC=45°，
∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，
∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°， ∴∠EKF=∠ADE， ∵∠DKC=∠C， ∴DK=DC， ∵DF=AB=AC， ∴KF=AD，
在△EKF和△EDA中，
，
∴△EKF≌△EDA，
∴EF=EA，∠KEF=∠AED， ∴∠FEA=∠BED=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF=AE．
（3）如图③中，结论不变，AF=
AE．
理由：连接EF，延长FD交AC于K．
20
∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC， ∠ACE=（90°﹣∠KDC）+∠DCE=135°﹣∠KDC， ∴∠EDF=∠ACE， ∵DF=AB，AB=AC， ∴DF=AC
在△EDF和△ECA中，
，
∴△EDF≌△ECA，
∴EF=EA，∠FED=∠AEC， ∴∠FEA=∠DEC=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF=AE．
26．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q的坐标．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将抛物线解析式变形成顶点式即可得出结论；
（2）设线段BF与y轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），由相似三角形的判定及性质可得出点F′的坐标，根据点B、F′的坐标利用待定系数法可求出直线BF的解析式，联立直线BF和抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点F的坐标；
（3）设对角线MN、PQ交于点O′，如图2所示．根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点P、Q的位置，设出点Q的坐标为（2，2n），由正方形的性质可得出点M的坐标为（2﹣n，n）．由点M在抛物线图象上，即可得出关于n的一元二次方程，解方程可求出n值，代入点Q的坐标即可得出结论． 【解答】解：（1）将点B（6，0）、C（0，6）代入y=﹣x2+bx+c中， 得：
，解得：
，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+6．
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∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，
∴点D的坐标为（2，8）．
（2）设线段BF与y轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），如图1所示． ∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE，∠F′OB=∠BED=90°， ∴△F′BO∽△BDE， ∴
．
∵点B（6，0），点D（2，8）， ∴点E（2，0），BE=6﹣4=4，DE=8﹣0=8，OB=6， ∴OF′=
•OB=3，
∴点F′（0，3）或（0，﹣3）． 设直线BF的解析式为y=kx±3， 则有0=6k+3或0=6k﹣3， 解得：k=﹣或k=，
∴直线BF的解析式为y=﹣x+3或y=x﹣3．
联立直线BF与抛物线的解析式得：①或②，
解方程组①得：或（舍去），
∴点F的坐标为（﹣1，）；
解方程组②得：或（舍去），
∴点F的坐标为（﹣3，﹣）．
综上可知：点F的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）．
（3）设对角线MN、PQ交于点O′，如图2所示．
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形， ∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线对称轴上， 设点Q的坐标为（2，2n），则点M的坐标为（2﹣n，n）． ∵点M在抛物线y=﹣x2+2x+6的图象上， ∴n=﹣
+2（2﹣n）+6，即n2+2n﹣16=0，
解得：n1=﹣1，n2=﹣﹣1． ∴点Q的坐标为（2，﹣1）或（2，﹣
﹣1）．
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2016年8月27日
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