多重调和Bergman空间上多重调和符号的Topelitz算子

第１３卷第３期　２０１１年９月　应用泛函分析学报　ＡＣＴＡ　ＡＮＡＬＹＳＩＳ　ＦＵＮＣＴ１０ＮＡＬＩＳ　ＡＰＰＬＩＣＡＴＡ　Ｖｏｌ＿ｌ３．ＮＯ．３　Ｓｅｐｔ．，２０１１　ＤＯＩ：１０．３７２４／ＳＰ．Ｊ．１１６０．２０１１．００２９２　文章编号：１００９—１３２７（２０１１）０３—０２９２—１１　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｗｉｔｈ　Ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｓｙｍｂｏｌｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｐ　ｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｂ　ｅｒｇｍａｎ　Ｓｐａｃｅ　ＬＵ　Ｙｕｆｅｎｇ　．ＺＨＯＵ　Ｘｉａｏｙａｎｇ２　１　Ｓｃｈｏｏｌ　０ｌ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ　Ｄａｌｉａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｄａｌｉａｎ　１１６０２４。Ｃｈｉｎａ　２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｄａｌｉａｎ　Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｌｉａｎ　１　１６６００，Ｃｈｉｎａ　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｓｔｕｄｙ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｕｎｉｔ　ｂａｌ１．Ｆｏｒ　ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　ｓｙｍｂｏｌｓ，ｗｅ　ｏｂｔａｉｎ　ａ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｐｒｏｄｕｃｔ　ｏｆ　ｔｗｏ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｔｏ　ｂｅ　ａ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒ．Ａｎｄ　ｗｅ　ａｌｓｏ　ｇｉｖｅ　ａ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｏｍｅ　ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　ｓｙｍｂｏｌｓ　ｗｈｉｃｈ　ｉｎｄｕｃｅ　ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ａｎｄ　ｚｅｒｏ　ｓｅｍｉ—ｃｏｍｍｕｔａｔｏｒｓ，　ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．　＇Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｓｐａｃｅ；ｐｒｏｄｕｃｔ；ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ；Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ＣＬＣ　ｎｕｍｂｅｒ：０１７７．１　Ｄｏｃｕｍｅｎｔ　ＣＯｄｅ：Ａ　１　Ｂａｓｉｃ　Ｃｏｎｃｅｐｔｓ　ｏｆ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｓｐａｃｅｓ　Ｈａｒｄｙ　ｓｐａｃｅ　ａｎｄ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ａｒｅ　ｍａｉｎ　ｔｗｏ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｓｐａｃｅｓ．　Ｈａｒｄｙ　ｓｐａｃｅ　Ｔｈｅ　Ｈａｒｄｙ　ｓｐａｃｅ　Ｈ　ｃｏｎｓｉｓｔｓ　ｏｆ　ａｌｌ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｏｐｅｎ　ｕｎｉｔ　ｄｉｓｋ　Ｄ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　１　ｌｌ／ＩＩＨ一０＜ｒ＜１＼（　Ｉ，Ｔ　’　ｄｓ（　））　＜＋。。　ｓｕｐ…ｗｈｅｒｅ　Ｔ　ｓｔａｎｄｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｕｎｉｔ　ｃｉｒｃｌｅ　ａｎｄ　ｄｓ　ｉｓ　ｔｈｅ　ａｒｃ　ｌｅｎｇｔｈ　ｍｅａｓｕｒｅ，ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ　ＳＯ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｍｅａｓｕｒｅ　ｏｆ　Ｔ　ｅｑｕａｌｓ　１．Ｉｎ　ｔｅｒｍｓ　ｏｆ　Ｔａｙｌｏｒ　ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔｓ，ｔｈｅ　ｎｏｒｍ　ｔａｋｅｓ　ａ　ｍｏｒｅ　ａｐｐｅａｌｉｎｇ　ｆｏｒｍ：ｉｆ　ｆ（ｚ）＝Ｅｎ　ａｎ　“，　ｔｈｅｎ　１　＿Ｉ，ｌ１日ｚ＝（∑１。　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　Ｔｈｅ　ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ　ａｒｅａ　ｍｅａｓｕｒｅ　ｏｎ　Ｄ　ｉｓ　ｄｅｎｏｔｅｄ　ｂｙ　ｄＡ．Ｔｈｕｓ　ｄ　：　ｆｒｄ　ｄ　Ｍｏｒｅ　ｇｅｎｅｒａｌｌｙ，ｆｏｒ　ａｎｙ－Ｉ＜Ｏｌ＜∞　ｗｒｉｔｅ　ｄＡ　（　）＝（１＋　）（１一　。）　ｄＡ（ｚ）　Ｔｈｅ　ｗｅｉｇｈｔｅｄ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅｓ　（Ｄ）＝工，　（Ｄ，ｄＡ。）ｎ日（Ｄ）　Ｈｅｒｅ　Ｈ（Ｄ）ｉｓ　ｔｈｅ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ａｌｌ　ａｎａｌｙｔｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｉｎ日（Ｄ）．Ｗｒｉｔｅ　ＡＰ（］Ｄ）＝Ａｇ（Ｄ）．　Ａｓｓｕｍｅ　ｔｈａｔ，（　）＝Ｅ　。ｎ　∈日（Ｄ），ｉｆ∑　ｌａｎｌ。＜　，ｔｈｅｎ，∈Ｈ　；ｉｆ∑　告＜。。，ｔｈｅｎ　／∈Ａ。　）．　Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅｓ　Ｔｈｅ　Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅｓ　ｃｏｎｓｉｓｔｓ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｍａｉｎ　ｐａｒｔｓ：　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｔｈｅｏｒｙ．Ｂｏｔｈ　ｔｈｅｏｒｉｅｓ　ｈａｖｅ　ｃｏｕｎｔｅｒｐａｒｔｓ　ｉｎ　ａｎｄ　ａｒｅ　ｍｏｔｉｖａｔｅｄ　ａｎｄ　Ｒｅｃｅｉｖｅｄ　ｄａｔｅ：２０１１一Ｏ６—１５　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｉｔｅｍ：Ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ（１０９７ｌ０２０）　第３期　ＬＵ　Ｙｕｆｅｎｇ．ｅｔ　ａｌ：ＲＴｏｅｐｌｉｔｚ　Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｗｉｔｈ　Ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｓｙｍｂｏｌｓ　Ｏｉｌ　２９３　ｉｎｓｐｉｒｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｍｏｒｅ　ｃｌａｓｓｉｃａｌ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｈａｒｄｙ．Ｔｈｅ　ｍａｉｎ　ｔｏｏｌｓ　ａｎｄ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅｓ　ａｒｅ：ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｋｅｒｎｅｌ，ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ，ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｍｅｔｒｉｃ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｔｈｅｏｒｙ．　２　Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｓｐａｃｅｓ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ａｎｄ　Ｈａｎｋｅｌ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ａｎｄ　Ｄｕａｌ　Ｔｏｒｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　Ｌｅｔ　Ｐ　ｂｅ　ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ　ｆｒｏｍ　Ｌ　（Ｄ，ｄＡ）ｏｎｔｏ　ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　Ａ　（　）．Ｇｉｖｅｎ　ａ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　∈Ｌｏ。（Ｄ），　ｗｅ　ｄｅｆｉｎｅ　ｔｈｅ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｏｎ　Ａ　（Ｄ）ｗｉｔｈ　ｓｙｍｂｏｌ　ｂｙ　，＝Ｐ（　，），ｆ∈Ａ。（　）　Ｔｈｅ　Ｈａｎｋｅｌ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｗｉｔｈ　ｓｙｍｂｏｌ　ｆｒｏｍ　Ａ　（Ｄ）ｔｏ（Ａ。（Ｄ））上ｂｙ　ｄｅｆｉｎｅｄ，　－，＝（Ｉ—Ｐ）（　，），ｆ∈Ａ。　）　Ｔｈｅ　ｄｕａｌ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｗｉｔｈ　ｓｙｍｂｏｌ　ｏｎ（Ａ　（Ｄ））上ｂｙ　ｄｅｉｆｎｅｄ　ｌ厂＝（Ｉ—Ｐ）（　，），ｆ∈（Ａ　（　））上　Ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅｓｅ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　Ｉｔ　ｉｓ　ｗｅｌｌ　ｋｎｏｗｎ　ｔｈａｔ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　Ｈａｎｋｅｌ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ａｎｄ　ｄｕａｌ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ａｒｅ　ｃｌｏｓｅｌｙ　ｒｅｌａｔｅｄ　ｔｏ　ｅａｃｈ　ｏｔｈｅｒ．Ｇｉｖｅｎ　ａ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　∈　（Ｄ），　ｗｅ　ｄｅｆｉｎｅ　ｔｈｅ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　Ａ　ｗｉｔｈ　ｓｙｍｂｏ１　ｏｎ　（Ｄ，ｄＡ）ｂｙ　，＝　，，ｆ∈Ｌ。（Ｄ，ｄＡ）　Ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　Ｌ２（　，ｄＡ）＝　。（Ｄ）０（Ａ　（Ｄ））上，ｆｏｒ　∈　（Ｄ），ｔｈｅ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　Ａ　ｉｓ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ａｓ　２９４　应用泛函分析学报　第１３卷　２．Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　Ａ　（Ｄ）ｄｉｆｅｒ　ｉｎ　ｍａｎｙ　ｗａｙｓ　ｆｒｏｍ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　Ｈａｒｄｙ　ｓｐａｃｅ　Ｈ２，ｆｏｒ　ｅｘａｍｐｌｅ，Ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ，Ｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ，ｓｐｅｃｔｒｕｍ，ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｉｔｙ　ａｎｄ　ａｌｇｅｂｒａ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ，ｅｔｃ　３．Ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｔｈｅｏｒｙ．　４．Ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　Ａｎａｌｙｓｉｓ，Ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ａｎｄ　Ｔｏｐｏｌｏｇｙ，Ａｌｇｅｂｒａ，ａｎｄ　Ｃ　一ａｌｇｅｂｒａ・ｅｔｃ　５．Ｗｉｔｈ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｖａｒｉｏｕｓ　ｆｉｅｌｄｓ．　３　Ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　Ｓｐａｃｅｓ　ａｎｄ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　Ｌｅｔ　Ｂ礼ｂｅ　ｔｈｅ　ｏｐｅｎ　ｕｎｉｔ　ｂａｌｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｓｐａｃｅ　Ｃｎ．　Ｆｏｒ　Ｐ≥１，ｗｅ　ｌｅｔ　Ｌｐ＝Ｌｐ（　，ｄｖ）　ｄｅｎｏｔｅ　ｔｈｅ　ｕｓｕａｌ　Ｌｅｂｅｓｇｕｅ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｐｅｎ　ｕｎｉｔ　ｂａｌｌ　Ｂｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｐｌａｎｅ．Ｈｅｒｅ，ｄｖ　ｄｅｎｏｔｅｓ　ｔｈｅ　ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ　ａｒｅａ　ｍｅａｓｕｒｅ　ｏ１２　Ｂｎ．Ｔｈｅ　ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ｂ２（Ｂｎ）ｉｓ　ｔｈｅ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｌｅｂｅｓｇｕｅ　ｓ　ａｃｅ　Ｌ２　ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ　ｏｆ　ａｕ　ｃｏｍｐｌｅｘ－ｖａｌｕｅｄ　ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｂｎ・　Ｏｎｅ　ｃａｎ　ｃｈｅｃｋ　ｔｈａｔ　ｂ２（Ｂ　）＝Ａ　（Ｂ　）＋Ａ。（Ｂ　）　ｗｈｅｒｅ　Ａ２（Ｂｎ）ｄｅｎｏｔｅｓ　ｔｈｅ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ｏｎ　Ｂｎ－Ａｓ　ｉｓ　ｗｅｌｌ　ｋｎｏｗｎ，ｔｈｅ　ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ｂ２（Ｂ札）ｉｓ　ａ　ｃｌｏｓｅｄ　ｓｕｂｓｐａｃｅ　ｏｆ　Ｌ２　ａｎｄ　ｈｅｎｃｅ　ｉｓ　ａ　Ｈｉｌｂｅｒｔ　ｓｐａｃｅ．Ｅａｃｈ　ｐｏｉｎｔ　ｅｖａｌｕａｔｉ。ｎ　ｉｓ　ｅａｓｉｌｙ　ｖｅｒｉｉｆｅｄ　ｔｏ　ｂｅ　ａ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｌｉｎｅａｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａ１。ｎ　ｂ２（Ｂｎ）・Ｈｅｎｃｅ，ｆ０ｒ　ｅａｃｈ　∈Ｂｎ，ｔｈｅｒｅ　ｅｘｉｓｔｓ　ａ　ｕｎｉｑｕｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｒｚ∈ｂ２（　），ｃａｌｌｅｄ　ｔｈｅ　ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｋｅｒｎｅｌ，　ｗｈｉｃｈ　ｈａｓ　ｔｈｅ　ｒｅｐｒｏｄｕｃｉｎｇ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ｕ（ｚ）　：厂　Ｊｓ　ｏｆｒ　ｅｖｅｒｙ　ｕ∈ｂ２（Ｂ　）．Ｓｉｎｃｅ　ｂ２（Ｂ　）＝Ａ。（Ｂ　）＋Ａ　（Ｂｎ），　ｔｈｅｒｅ　ｉｓ　ａ　ｓｉｍｐｌｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　Ｒｚ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｋｅｒｎｅｌ　Ｋｚ：　Ｒｚ：Ｋｚ＋Ｋｚ一　Ｔｈｕｓ，ｔｈｅ　ｅｘｐｌｉｃｉｔ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｏｆ　Ｒ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ　ｂｙ　Ｒ：＝　ｌ　１　＋　一１，　ｚ∈Ｂｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ　Ｑ：Ｌ。（Ｂｎ，ｄｖ）　６　（Ｂｎ）ａｄｍｉｔｓ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ　（　＋　（１一（　，叫））“＋　１）　（　）山（　），ｚ∈Ｂｎ　ｆｏｒ　ｕｆｎｃｔｉｏｎ　∈Ｌ２．Ｓｅｅ［２】ｆｏｒ　ｍｏｒｅ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｒｅｌａｔｅｄ　ｆａｃｔｓ．　ｏＦｒ　ｕ∈Ｌ２，ｔｈｅ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒ咒ｗｉｔｈ　ｓｙｍｂｏｌ　ｉｓ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｂｙ　ｆ＝Ｑ（ｕｆ）　ｆｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｆ∈６　（Ｂｎ）．Ｔｈｅ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｉｓ　ｄｅｎｓｅｌｙ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ａｎｄ　ｎｏｔ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｉｎ　ｇｅｎｅｒａｌ・　ＴＯｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ｂ２（　）ｄｉｆｅｒ　ｆｒｏｍ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　Ａ２（Ｂｎ）．　Ｆｏｒ　ｅｘａｍｐｌｅ，ｉｎ［３】Ｌｅｅ　ａｎｄ　Ｚｈｕ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ａ　ｎｅｃｅｓｓａｒＹ　ａｎｄ　ｓｕｔｔｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉ０ｎ　ｆｏｒ　ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｗｉｔｈ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｓｙｍｂｏｌｓ　ｏｎ　ｂ２（　），ｂｕｔ　８ｕｃｈ　Ｔ０ｅＤｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ａｌｗａｙｓ　ｃｏｍｍｕｔｅ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ・Ｉｎ　ｒｅｃｅｎｔ　ｙｅａｒｓ，ｍａｎＹ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓ　Ｄａｙ　ｍｕｃｈ　ａｔｔｅｎｔｉｏｎ　ｔｏ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｕｎｉｔ　ｄｉｓｋ　ｏｒ　ｏｎ　ｔｈｅ　ＤｌｕｒｉｈａｌｒｍＯｎｉｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｕｎｉｔ　ｂａｌｌ　ａｎｄ　ｅｘｔｅｎｄ　ｔｈｅｓｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｐａｒａｌｌｅｌｉｎｇ　ｔｈｏｓｅ　ｏｆ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ＯＤ　ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ｏｒ　Ｈａｒｄｙ　ｓｐａｃｅ，ｆｏｒ　ｅｘａｍｐｌｅ，ｓｅｅ【４－８］・　Ｉｎ　ｔｈｅ　８ｅｔｔｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｉｃａｌ　Ｈａｒｄｙ　ｓｐａｃｅ，Ｂｒｏｗｎ　ａｎｄ　Ｈａｌｍｏｓ【　Ｊ　ｇａｖｅ　ａ　ｃｏｍｐｌｅｔｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ　ｆｌｏｒ　ｔｈｅ　Ｄｒｏｄｕｃｔ　ｏｆ　ｔｗｏ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｔｏ　ｂｅ　ａ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒ．Ｏｎ　ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｕｎｉｔ　ｄｉｓｋ．Ａｈｅｒｎ　ａｎｄ　ｅｕ６ｋｏｖｉｄ［９］ａｎｄ　Ａｈｅｍ［　。］ｏｂｔａｉｎｅｄ　ａ　ｓｉｍｉｌａｒ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆｒ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　第３期　ＬＵ　Ｙｕｆｅｎｇ，ｅｔ　ａｌ：ＲＴｏｅｐｌｉｔｚ　Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｗｉｔｈ　Ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｓｙｍｂｏｌｓ　ｏｎ　２９５　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ。ｕｎｉｔ　ｂａｌｌ　ｉｎ　Ｃ　ｗｉｔｈ　ｐｌｕｒｉｈａｒｍｉｎｉｃ　ｓｙｍｂｏｌｓ．Ｔｈｅ　ｉｆｒｓｔ　ａｕｔｈｏｒ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｄ　ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｂｉｄｉｓｋ　ｗｉｔｈ　ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　ｓｙｍｂｏｌｓ［　引．　Ｃｈｏｅ，Ｋｏｏ　ａｎｄ　Ｌｅｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｓ　ｏｆ（ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ）ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｗｉｔｈ　ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　ｓｙｍｂｏｌｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｏｌｙｄｉｓｋ［　１．　Ｏｎ　ｔｈｅ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｕｎｉｔ　ｄｉｓｋ，ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｗｅｒｅ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ　ｉｎ【５　７】＿Ｏｎ　ｔｈｅ　ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｓｅｖｅｒａｌ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ，Ｌｅｅ　ａｎｄ　Ｚｈｕ［。］ａｎｄ　Ｌｅｅ　ａｎｄ　Ｃｈｏｎｎａｍ［引ｓｔｕｄｉｅｄ　ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ．　Ｋｎｏｗｉｎｇ　ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｉｔｙ　ｏｆ　ｔｗｏ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｆｔｅｎ　ｈｅｌｐｓ　ｔｏ　ｇｉｖｅ　ａｎ　ｉｄｅａ　ｏｆ　ｗｈａｔ　ｔｈｅｓｅ　ｏｐｅｒ—　ａｔｏｒｓ　ｌｏｏｋ　ｌｉｋｅ；ｔｒｙｉｎｇ　ｔｏ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ　ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｉｔｙ　ｏｆ　ｔｗｏ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｆｔｅｎ　ｌｅａｄｓ　ｔｏ　ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｉｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｉｎｇ　ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｉｓ　ｓｔｉｌｌ　ａｎ　ｏｐｅｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ，ｗｈｅｔｈｅｒ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ｏｒ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ．Ｉｎ　Ｓｅｃｔｉｏｎ　５　ａｎｄ　６，ｗｅ　ｗｉｌｌ　ｓｔｕｄｙ　ｓｅｍｉ—　ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ　ａｎｄ　ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｕｎｉｔ　ｂａｌｌ，　ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．　４　Ｐｒｏｄｕｃｔ　ｏｆ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　Ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　Ｓｐａｃｅｓ　Ｂｅｆｏｒｅ　ｓｔａｔｉｎｇ　ｏｕｒ　ｒｅｓｕｌｔｓ，ｗｅ　ｒｅｃａｌｌ　ｓｏｍｅ　ｎｏｔａｔｉｏｎ．Ｌｅｔ　Ｐ　ｄｅｎｏｔｅ　ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｌ　ｏｎｔｏ　Ａ。（Ｂ　）．Ｓｉｎｃｅ　Ｒ２＝Ｋｚ＋　一１，ａｎｄ　）（　ｄ　ｆｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｕ∈Ｌ　，ｔｈｅ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ　Ｑ　ｃａｎ　ｂｅ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｂｙ　Ｑ（　）＝Ｐ（ｕ）＋Ｐ（瓦）一Ｐ（　）（０）　ｏｆｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｕ∈Ｌ２．　Ｆｏｒ　ａｎｙ　ｍｕｌｔｉ－ｉｎｄｅｘ　＝（ＯＬ１，…，Ｏｚｎ），ｗｈｅｒｅ　ｅａｃｈ　ＯＬｋ　ｉｓ　ａ　ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　ｉｎｔｅｇｅｒ，ｗｅ　ｗｉｌｌ　ｗｒｉｔｅ　Ｉ＝　１＋…＋　ｎ，　！＝Ｏｌ１　１…Ｏｄｎ　Ｗｅ　ｗｉｌｌ　ａｌｓｏ　ｗｒｉｔｅ　Ｚ。＝Ｚｌ　…　”　ｏｆｒ　Ｚ＝（Ｚｌ，…，Ｚｎ）∈　．　ｏＦｒ　ｔｗｏ　ｍｕｌｔｉ—ｉｎｄｅｘｅｓ　＝（Ｏｑ，…，Ｏｌｎ）ａｎｄ　＝（　１，…，　），ｔｈｅ　ｎｏｔａｔｉｏｎ　ｍｅａｎｓ　ｔｈａｔ　ＯＬｉ≥　，　ｉ＝１，…，ｎ　２９６　应用泛函分析学报　第１３卷　Ｗｌｅ　ａｌｓｏ　ｄｅｆｉｎｅ　一　＝（　１一　１，…，　一　）　ｆｏｒ　ａ　．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，　一　Ｉ＝Ｉ　Ｉ—Ｉ　Ｗｅ　ｂｅｇｉｎ　ｗｉｔｈ　ｓｏｍｅ　ｓｉｍｐｌｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈ　ａｒｅ　ｔａｋｅｎ　ｆｒｏｍ［。】ａｎｄ　ｑｕｉｔｅ　ｕｓｅｆｕｌ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．　Ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｌｅｍｍａ　ｉｓ　Ｌｅｍｍａ　５　ｉｎ［３】．　Ｌｅｍｍａ　４．１　Ｌｅｔ　ｆ∈Ａ　（Ｂｎ）ａｎｄ　ａｓｓｕｍｅ　ｆ（ｚ）：∑ａ　Ａ。Ｚ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｐｏｗｅｒ　ｓｅｒｉｅｓ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ　ｏｆｆ．Ｔｈｅｎ　Ｐ（　，）（　）＝∑　Ａ　ｔ筹　几十　１　ｏｆｒ　ａｌｌ　Ｚ∈Ｂ　ａｎｄ　１≤ｋ≤ｎ．Ｉｆ　ｉｎ　ａｄｄｉｔｉｏｎ　ｆ（Ｏ）＝０，ｔｈｅｎ　Ｐ（ｗｋｆ）＝Ｐ（面　．厂）（０）　ｏｆｒ　ａｌｌ　１≤ｋ≤ｎ　Ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｌｅｍｍａ　ｉｓ　Ｌｅｍｍａ　１０　ｉｎ［３］．　Ｌｅｍｍａ　４．２　Ｌｅｔ　ｆ，ｇ∈Ａ　（Ｂｎ）ａｎｄ　ｈ　ｂｅ　ｂｏｕｎｄｅｄ．Ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｓｔａｔｅｍｅｎｔｓ　ｈｏｌｄ　（ａ）Ｐ（７Ｐ（　９））（　）＝Ｐ（７　ｇ）（ｚ）；　（ｂ）Ｐ（ｆＰ（ｈｇ）））（０）：Ｐ（ｆ蚵）（０）．　Ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｉｓ　ａ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｐｒｏｄｕｃｔ　ｏｆ　ｔｗｏ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｗｉｔｈ　ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　ｓｙｍｂｏｌｓ　ｔｏ　ｂｅ　ａ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｏｎ　ｂ２（玩）．　Ｔｈｅｏｒｅｍ　４．１　Ｌｅｔ　Ｇｒ∈Ｌ　ａｎｄ　ａｓｓｕｍｅ　Ｕ＝ｆ￣ｈ，Ｖ＝＿９＋　ｆｏｒ　ｆ，ｇ，ｈ，　∈Ａ　（Ｂｎ）．Ｉｆ　＝　，　ｔｈｅｎ　ａ　ｎｏｎｔｒｉｖｉａｌ　ｌｉｎｅａｒ　ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｆ　ａｎｄ　ｇ　ｉｓ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ａｎｄ　ａ　ｎｏｎｔｒｉｖｉａｌ　ｌｉｎｅａｒ　ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｈ　ａｎｄ　ｋ　ｉｓ　ｃｏｎｓｔａｎｔ．　Ｐｒｏｏｆ　Ｗｉｔｈｏｕｔ　ｌｏｓｓ　ｏｆ　ｇｅｎｅｒａｌｉｔｙ，ｗｅ　ｍａｙ　ａｓｓｕｍｅ　ｆ（ｏ）＝ｈ（０）＝ｇ（０）＝ｋ（０）＝０．　Ｂｙ　Ｌｅｍｍａ　４．１，ｆｏｒ　ｅａｃｈ　Ｊ＝１，…，ｎ，　（　）＝Ｐ（￣－＃７ｇ）＋Ｐ（ｗｊ￣）一Ｐ（面　）（０）＝Ｐ（￣－Ｔｇ）　（巧）＝Ｑ（，Ｐ（巧９））＝ｆＰ（￣＇Ｔｇ）　ａｎｄ　（　）＝Ｑ（　Ｐ（砀一９））＝Ｐ（ｈ－Ｐ（￣Ｔｇ））＋Ｐ（ｈ—Ｐ（—￣－Ｔｊｇ））　—Ｐ（ｈＰ（￣－ｆ－ｇ））（Ｏ）　Ｂｙ　Ｌｅｍｍａ　４．２　（巧）＝Ｐ（ｈｗｉｇ）＋Ｐ（ｈＰ（￣－ｆｇ））一Ｐ（ｈｗ＃ｇ）（Ｏ）　Ｓｉｎｃｅ　Ｑ（ｋｗｊ）　＝ｋｗ＃，ｗｅ　ｈａｖｅ　（巧）＝　（ｋｗｊ）＝Ｐ（ｆｋｗ＃）＋Ｐ（ｆｋｗ＃）一Ｐ（ｆｋｗｊ）（Ｏ）　Ｎｏｔｅ　ｔｈａｔ　（巧）＝ｈｋｗ＃　Ｉｔ　ｆｏ・ｌｌｏｗｓ　ｔｈａｔ　（巧）＝咒　（巧）＝，Ｐ（面－９）＋Ｐ（ｈｗ＃ｇ）＋Ｐ（＾Ｐ（面－９））一Ｐ（ｈｗｊｇ）（Ｏ）　第３期ＬＵ　Ｙｕｆｅｎｇ，ｅｔ　ａｌ：ＲＴｏｅｐｌｉｔｚ　Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｗｉｔｈ　Ｐｌｕｒｉｈａｘｍｏｎｉｃ　Ｓｙｍｂｏｌｓ　ｏｎ…　２９７　＋Ｐ（ｆｋｗｊ）＋Ｐ（ｆｋｗｊ）一Ｐ（ｆｋｗｊ）（Ｏ）＋ｈｋｗｊ　Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ，ｗｅ　ｈａｖｅ　（　）＝　（巧）＝ｋＰ（－￣ｈ）＋Ｐ（－ｇ￣－ｈ）＋Ｐ（夕Ｐ（　））一Ｐ（ｆ－￣ｈ）（Ｏ）　＋Ｐ（ｋ—ｆｗ—ｊ）＋Ｐ（－ｋｆｗｊ）一Ｐ（ｋ—ｆｗ—ｊ）（Ｏ）＋—ｇｆ—ｗｊ　Ｔ￣（ｗ３）＝　（　）＝ｆｇｗｊ＋Ｐ（ｆＰ（＠Ｔｋ））＋Ｐ（ｆｗｊｋ）一Ｐ（ｆｗｊｋ）（Ｏ）　＋Ｐ（ｗｊｇｈ）＋ＪＦ）（，　面　）一Ｐ（ｗｊｇｈ）（Ｏ）＋ｈＰ（￣Ｔｋ）　（　）＝马　（　）＝　＋Ｐ（ｋ　丽）＋Ｐ（一ｋｗｊｆ）一Ｐ（ｋｗｊｆ）（Ｏ）　＋Ｐ（ｗｊｈ￣）＋Ｐ（ｇ—ｗｊ—ｈ）一Ｐ（ｗｊｈ－￣）（Ｏ）＋　Ｎｏｔｅ　ｔｈａｔ　ｆｏｒ　ｅａｃｈ　Ｊ＝１，・一，ｎ，　正　（瓦　）＝Ｐ（　）＋Ｐ（ａｗｊ）一Ｐ（　酉）（０）　Ｔ．（ｗｊ）＝Ｐ（ａｗｊ）＋Ｐ（　巧）一Ｐ（ａｗｊ）（Ｏ）　ａｎｄ　咧。）＝ｆＯ＂　ｄ　＝　巧　＝Ｐ（瓦　）（０）　Ｂｎ　ＳＯ　ｗｅ　ｈａｖｅ　（巧）＝　（叫ｊ）　Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ，　（巧）：Ｔ￣（ｗｊ）　Ｔｈｕｓ　Ｐ（巧　）＋Ｐ（ｋｆｗｊ）＋Ｐ（ｇ　丽）＝Ｐ（ｆ　丽）＋Ｐ（ｗｊｇ－ｈ）＋　Ｐ（巧　）　（１）　ｆＰ（￣Ｔｇ）＋Ｐ（ｆｋｗｊ）＋Ｐ（ｈＰ（＠Ｔｇ））＝Ｐ（　Ｐ（瓦　Ｉ厂））＋Ｐ（“０，　）＋ｇＰ（￣－ｊ］ｆ）　（２）　Ｓｉｎｃｅ　（０）Ｐ（：瓦　＾）（０）＝　（０）Ｐ（瓦　）（０）＝０　ｗｅ　ｃａｎ　ｔａｋｅ　ｔｈｅ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｐａｒｔ　ｏｎ　ｂｏｔｈ　ｓｉｄｅｓ　ｏｆ（１）ｔｏ　ｏｂｔａｉｎ　ｋＰ（￣－ｊ－ｈ）：ｈＰ（＠Ｔｋ）．Ｂｙ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　８　ｉｎ［３］ｊ　ｈ　ａｎｄ　ｋ　ａｒｅ　ｌｉｎｅａｒｌｙ　ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ．　Ｉｔ　ｆｏｌｌｏｗｓ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ（２）ｔｈａｔ　ｆＰ（ｗ＇Ｔｇ）＝９Ｐ（巧，）．Ｓｏ　ｆ　ａｎｄ　ｇ　ａｒｅ　ｌｉｎｅａｒｌｙ　ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ．　Ｔｈｅ　ｐｒｏｏｆ　ｉｓ　ｃｏｍｐｌｅｔｅ．　５　Ｓｅｍｉ－ｃｏｍｍｕｔａｔｏｒｓ　ｏｆ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　Ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　Ｓｐａｃｅｓ　Ｉｎ［３，Ｌｅｍｍａ　ｉ４］，Ｌｅｅ　ａｎｄ　Ｚｈｕ　ｏｎｌｙ　ｇａｖｅ　ａ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｏｆｒ　ｚｅｒｏ　ｓｅｍｉ－ｃｏｍｍｕｔａｔｏｒｓ　ａｓ　ｆｏｌｌｏｗｓ．　Ｌｅｍｍａ　５．１　Ｌｅｔ　，Ｖ∈ｂ２（Ｂｎ）ａｎｄ　ａｓｓｕｍｅ　Ｕ＝，＋　，Ｖ＝ｇ＋　ｆｏｒ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ．厂，ｇ，ｈ，ｋ．Ｉｆ　＂＝　ｏｎ　ｂ２（Ｂｎ），ｔｈｅｎ　ａｔ　ｌｅａｓｔ　ｏｎｅ　ｏｆ，ａｎｄ　ｇ　ｉｓ　ｃｏｎｓｔａｎｔ，ａｎｄ　ａｔ　ｌｅａｓｔ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｈ　ａｎｄ　ｋ　ｉｓ　ｃｏｎｓｔａｎｔ．　Ｓｉｍｉｌａｒ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｐｒｏｏｆ　ｏｆ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　３．１　ｉｎ［６】　ｊｗｅ　ａｌｓｏ　ｇｅｔ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　Ｌｅｍｍａ．　Ｌｌｅｍｍａ　５．２　Ｌｅｔ　ｆ，ｇ∈Ａ。（Ｂｎ）．Ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ．　１）　＝Ｔ￣Ｔｓ；　２）Ｔｒｏ＝Ｔ－￣Ｔｓ；　３）　虿＝　巧．　２９８　应用泛函分析学报　第ｌ３卷　Ｏｎ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　Ｂｅｒｇｉｎａｎ　ｓｐａｃｅ，ｆｏｒ　ｆ，ｇ∈Ａ　，　＝　虿ａｌｗａｙｓ　ｈｏｌｄｓ．Ｒｅｔｕｒｎｉｎｇ　ｔｏ　ｔｉｌｅ　ｐｌｕｒｉｈａｒＩｎｏｎｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ，ｗｅ　ｈａｖｅ　ｎｏｔ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｌｅｔｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ　ｆｏｘ‘ｔｈｅ　ａｂｏｗ￣　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｂｕｔ　ｗｅ　ｄｏ　ｈａｖｅ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｒｅｓｕｌｔ　ｉｆ　ｗｅ　ｐｕｔ　ＳＯＩＩｌｅ　ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　ｔｉｌｅ　ｓｙｍｂｏｌｓ．　Ｔｈｅｏｒｅｍ　５．１　Ｌｅｔ　ｆ∈Ａ０（Ｂｎ），ａｎｄ　：ｃ＋ａｗ。，ｗｈｅｒｅ　ａ，ｃ　ａｒｅ　ｃｏｎｓｔａｎｔ，ｔｈｅ　ｍｕｌｔｉ—ｉｍｔｅｘ“≠０．　Ｔｈｅｎ　＝　，ｉ　ｏｎ　ｂ２（　）ｉｆ　ａｎｄ　ｏｎｌｙ　ｉｆ　ｅｉｔｈｅｒ　ｆ　ｏｒ　ｉｓ　ｃｏｎｓｔａｎｔ．　Ｐｒｏｏｆ　Ｗｅ　ｏｎｌｙ　ｎｅｅｄ　ｔｏ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｎｅｃｅｓｓｉｔｙ．Ｗｉｔｈｏｕｔ　ｌｏｓｓ　ｏｆ　ｇｅｎｅｒａｌｉｔｙ，ｗｅ　ｍａｙ　ａｓｓｌｎｎｅ　ｆ（Ｏ）　ｋ（０）＝０．Ｆｏｒ　ａｎｙ　ｍｕｌｔｉ—ｉｎｄｅｘ　，　（　）＝ｆＰ（ｋｗ　）＋Ｐ（，Ｐ（　））４－Ｐ（ｆｗ＇￣ｋ）一Ｐ（ｆｗ　）（Ｏ）一ｆＰ（ｋｗ　）（０）　ｒｓ￣（ｗ　）＝Ｐ（ｆｗ　）＋Ｐ（ｆｗ　）一Ｐ（ｆｗ　）（０）　Ｓｉｎｃｅ　（“，　）＝　（　）　ｆＰ（ｋｗ　）一ｆＰ（ｋｗ　）（０）＋Ｐ（　Ｐ（　））＝Ｐ（ｆｗ　）　Ｂｙ　ｔｈｅ　ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ　ｔｈａｔ　０≠０，ｗｅ　ｗｉｌｌ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ｔｗｏ　ｃａｓｅｓ　ａｓ　ｆｏｌｌｏｗｓ．　Ｃａｓｅ　１　Ａｓｓｕｍｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅｒｅ　ｅｘｉｓｔｓ　ａｎ　ｉｎｔｅｇｅｒ　ｉ　ｗｉｔｈ　１≤ｉ≤凡ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ（Ｉｉ＝０．　Ｗｅ　ｃａｎ　ｃｈｏｏｓｅ　ａ　ｍｕｌｔｉ—ｉｎｄｅｘ－ｙ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　ｏＬ　ａｎｄ　≠ｏＬ．Ｔｈｅｎ　ｐ（ｋ－￣Ｔ）＝０，Ｐ（　叫　）（０）　ａｎｄ　ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ＿厂Ｐ（　。）＝Ｐ（，　）．Ｗｅ　ｃａｎ　ｗｒｉｔｅ　，＝∑６　卢　０＞．ｏ　ｗｉｔｈ　ｂ（０，…．０）＝０，ｔｈｅｎ　．厂Ｐ（　叫　）　：ｎ　４－ｌ７１）！（一ｙ—　）　卢＋　一　∑瓦　（８　ｏ　Ｓｉｎｃｅ　Ｐ（ｆｗ　尼１　＝∑瓦　（佗４－ｌ　ｌ　－Ｉ４　Ｉ）！（　４－７一　）！　臼　ｏ　（　４－　）！（他４－ｌ　ｌ十Ｉ　ｌ—Ｉ　１）　ｗｅ　ｈａｖｅ　（　ｎａｍｅｌｙ　一　≠０，ｔｈｅｎ　＝一）　　Ｉｆ　ｔｈｅｒｅ　ｅｘｉｓｔｓ　ａ　ｎｏｎｚｅｒｏ　ｍｕｌｔｉ—ｉｎｄｅｘ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　１（ｎ　－ｌ４７ｌ—ｌ　Ｉ）！　（　４－７）！（ｎ　－Ｉ４　｛４－ｌ７Ｉ—１　１）　（ｎ　－Ｉ４７１）！（　—　）　（ｎ　４ｌ－　ｌ　－ｌ４　｝）！（　＋　一　）！　ｌｌ　＋ｌ７ｌ—ｊ　Ｉ）！（ｎ＋ｌ７１）　ｎ　ｌ（　４－　）！（　一　）！　ｆ∥ｌ＋ｌ　１）！（几＋ｌ　ｌ—ｌ　１）　ｏ），ｗｈｅｒｅ　ｅ　ｉ）＝ｌ　ａｎｄ　ｅ　ｏｒＦ　ａｎｙ　ｉ＝１，２，．一，礼，ｌｅｔ　ｅ（。）＝（０，．－．　０，１　１（　＋　一　）！　…ｆｎ　（３）　０　ｗｈｅｎｃｖｅ￣‘ｊ≠ｉ　＝，，Ａｎｄ　ｌｅｔ　７＝ｃｔ＋／ｅ（　）ａｎｄ　＝　＋（ｆ＋１）ｅ（　，ｗｈｅｒｅ　ｌ≥１．Ｉｔ　ｉｓ　ｅａｓｙ　ｔｏ　ｓｅｅ　ｔｈａｔ　Ｉ　Ｂｙ　ｔｈｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ（３），　Ｉ７ｌ＋１＝ｌ　ｌ＋ｆ＋ｌ　７　１（　４－　一　）！（　＋７　）！（　一　）！　（ｎ　－ｌ４　｝－ｌ４　Ｉ—ｌ“１）！（ｎ　－ｌ４，ｙＩ）！（ｎ　－Ｉ４　ｌ＋Ｉ　１）！（ｎ＋ｌ—ｙ　Ｉ—ｌ　１）　（　４－　）！（　一　）！，ｙ　！（　＋　一　）！　（ｎ　４｛－∥ｌ　－ｌ４—ｙＩ）！（几十Ｉ　ｌ—Ｉ　１）！（ｎ＋ｌ　Ｉ＋ｌ　ｌ—Ｉ　１）！（ｎ　－Ｉ４　｛）　ｔｈａｔ　ｉｓ，　＋　ｔ＋ｌ＋１）（１＋１）　（礼４－Ｉ　ｌ＋｝　ｌ＋１＋１）（ｎ＋ｆ＋１）　＋ｌ　－１４）（　＋１＋１）　（ｎ十ｌ　Ｉ＋２＋１）（ｎ＋ｌ　ｌ＋ｆ＋１）　Ｓｉｎｃｅ　＝０，ｔｈｅｎ　ｌ＋１）　１＋１１　第３期　ＬＵ　Ｙｕｆｅｎｇ，ｅｔ　ａｈ　ＲＴｏｅｐｌｉｔｚ　Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｗｉｔｈ　Ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｓｙｍｂｏｌｓ　ｏｎ　＞０．Ｎｏｔｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　２９９　Ｆｏｒ　ｏｚ，　≠０，ｌ　ｌ＞０，　，＝　ｆｏｒ　＞０．ｔｈｅｎ　一　ｏＬ　（！　Ｉ＋　）（Ｉ　ｉ＋　）　（ｎ＋Ｉ　Ｊ＋１　ｌ＋１＋１）（他＋１＋１）　（他＋ｆ　ｌ＋ｌ＋１）（ｎ＋ｌ　ｌ＋１＋１）　Ｉｔ　ｉｓ　ａ　ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｉｏｎ．Ｔｈｕｓ　ａ＝０　ｏｒ　ｂｅ＝０　ｆｏｒ　ａｎｙ　．　＜Ｏ　Ｃａｓｅ　２．Ａｓｓｕｍｅ　１　ａｎｄ　ｌｅｔ　＝　一ｅ（　）＋ｅ（　）＝（　１，ｏｔ２，…，ｏｄ　一１，．一，ｏｌｍ＋１，…，ｏＬｎ）　ｗｉｔｈ　ｍ≠ｉ．Ｉｔ　ｉｓ　ｅａｓｙ　ｔｏ　ｓｅｅ　ｔｈａｔ　ｆｏｒ　ａｎｙ　ｗｉｔｈ　≠０，ｗｅ　ｈａｖｅ　＋７　ｏＬ．Ｗｒｉｔｅ　，＝∑ｂｅｚ　ｅＬｏ　ｗｉｔｈ　ｂ（ｏ，…，０）　０，ｔｈｅｎ　Ｐ（ｆｗ　）＝　∑　＋一ｙ　０　瓦６　＿＿　｝　＋　一。　一　＝ｆＰ（ｋｗ　）一ｆＰ（ｋｗ　）（０）＋Ｐ（１厂Ｐ（　））　０　＝Ｔｈｕｓ　ａ＝０　ｏｒ　ｂｅ＝０　ｆｏｒ　ａｎｙ　ｗｉｔｈ　ｆｌｉ≠０．　Ｉｆ　ａ＝０．ｔｈｅｎ　ｋ＝０．　ｉｓ　ｓｔａｔｅｄ　ａｂｏｖｅ，ｆｏｒ　ａｎｙ　ｉ＝　Ｉｆ　ａ≠０，ｔｈｅｎ　ｆ＝∑　：０　ｂｅｚ　，ｉ．ｅ．ｆ　ｉｓ　ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　ｏｆ　ｚｉ．Ａｓ　１，２，・－．，佗，ｆ　ｉｓ　ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　ｏｆ　ｚｉ．Ｓｏ　ｆ＝０．Ｔｈｅ　ｐｒｏｏｆ　ｉｓ　ｃｏｍｐｌｅｔｅ．　Ｔｈｅｏｒｅｍ　５．２　Ｌｅｔ　ｆ＝ｆ＋ｈ，ｕ＝９＋　，ｗｈｅｒｅ　ｆ，ｉ９，ｈ，　∈Ａ。（Ｂ　）．　Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｆ，９，ｈ，　ｉｓ　ｔｈｅ　ｓｎｎｌ　ｏｆ　ａ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ａｎｄ　ａ　ｍｏｎｏｍｉａ１．Ｔｈｅｎ　ＣＯＩｌｓｔａｎｔ．　＝　口ｏｎ　ｂ２（　）　ｉｆ　ａｎｄ　ｏｎｌｙ　ｉｆ　ｅｉｔｈｅｒ　ｕ　ｏｒ　ｖ　ｉｓ　Ｐｒｏｏｆ　Ｔｈｅ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｃｙ　ｉｓ　ｔｒｉｖｉａ１．Ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｐｒｏｏｆ　ｏｆ　ｎｅｃｅｓｓｉｔｙ，ｗｅ　ｍａｙ　ａｓｓｕＩｎｅ　ｔｈａｔ　ｅｉｔｈｅｒ　ｇ　ｏｒ　ｉｓ　ｔｉｌｅ　ｓｕｍ　ｏｆ　ａ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ａｎｄ　ａ　ｍｏｎｏｍｉａｌ，ｓｉｎｃｅ　ｔｗｏ　ｃａｓｅｓ　ａｓ　ｆｏｌｌｏｗｓ　＝　而．Ｂｙ　Ｌｅｍｍａ　５．１，ｗｅ　ｎｅｅｄ　ｏｎｌｙ　ｔｏ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　Ｃａｓｅ　１　Ｉｆ　ｉｓ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　ａｎｄ＂ｉｓ　ｃｏ—ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｅ．ｔｈｅｎ“＝ｆ．１，＝　ａｎｄ　ｋ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｓｕｒｒｌ　ｏｆ　ａ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ａｎｄ　ａ　ｍｏｎｏｍｉａｌ，ａｎｄ　．Ｂｙ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　５．１，ｔｈｅ　ｐｒｏｏｆ　ｉｓ　ｃｏｍｐｌｅｔｅ．　Ｃａｓｅ　２　Ｉｆ札ｉｓ　ｃｏ—ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　ａｎｄ　ｉｓ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ．ｔｈｅｎ　ｕ＝　．＂＝９　ｉｓ　ｔｉｌｅ　ｓｕｍ　ｏｆ　ａ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ａｎｄ　ａ　ｍｏｎｏｍｉａｌ，ａｎｄ　瓦・Ｂｙ　Ｌｅｍｍａ　５．２，　＝　．Ｔｈｅｎ死　＝　可ｂｙ　ｔａｋｉｎｇ　ａｄｊｏｉｎｔｓ．Ｓｏ　ｔｈｅ　ｐｒｏｏｆ　ｉｓ　ｃｏｍｐｌｅｔｅ　ｂｙ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　５．１．　６　Ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　Ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｂｅｒｇｍａｎ　Ｓｐａｃｅｓ　ｈｌ　ｔｈｉｓ　ｓｅｃｔｉｏｎ，ｏｕｒ　ｇｏａｌ　ｉｓ　ｔｏ　ｏｂｔａｉｎ　ｓｏｒｔｉｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｗｉｔｈ　ｐｌｕｒｉｈａｒｍｏｌｉｆＣ　ｓｙｍｂｏｌｓ　ｏｎ　ｂ２（Ｂｎ）．　Ｔｈｅｏｒｅｍ　６．１　Ｌｅｔ札，　∈Ｄ。（Ｂ　）ａｎｄ　ａｓｓｕｌｎｅ“＝．厂＋　，　，＝ｇ＋　ｆｏｒ　ｆ，ｇ，ｈ，ｋ∈Ａ。（Ｂｎ）．Ｉｆ　＝　，　ｏｎ　ｂ２（Ｂｎ），ｔｈｅｎ　ａ　ｎｏｎｔｒｉｖｉａｌ　ｌｉｎｅａｒ　ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ　ｏｆ，ａｎｄ　ｇ　ｉｓ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ａｎｄ　ａ　ｎｏｎｔｒｉｖｉａｌ　１ｉｎｅａｒ　ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏ￣ｌ　ｏｆ　ｈ　ａｎｄ　ｉｓ　ｃｏｎｓｔａｎｔ．　Ｐｒｏｏｆ　Ｗｉｔｈｏｕｔ　ｌｏｓｓ　ｏｆ　ｇｅｎｅｒａｌｉｔｙ，ｗｅ　ｌｅｔ　ｆ（０）　ｈ（０）　ｇ（ｏ）＝ｋ（ｏ）＝ｏ．Ｆｏｒ　ｅａｃｈ　Ｊ　（巧）＝。厂尸（巧９）＋Ｐ（ｈ，ｗｊｇ）＋Ｐ（ｈＰ（ｂ－￣ｊｇ））一Ｐ（ｈｗｊｇ）（０）　应用泛函分析学报　第１３卷　＋ｅ（ｆ－￣ｊ）＋Ｐ（Ｔｋ￣ｊ）一　Ｐ（ｆｋｗｉ）（Ｏ）＋一ｈｋｗｊ　（巧）＝ｇＰ（￣ｊｊｆ）＋ｅ（ｋ￣ｄｆ）＋Ｐ（　Ｐ（巧，））　Ｐ（－￣ｗｊｆ）（Ｏ）　Ｐ（ｇ　）（０）＋ｈｋｗｊ　Ｂｙ死　（砑）＝ＴｖＴｕ（￣），ｗｅ　ｈａｖｅ　，Ｐ（面．夕）＋Ｐ（ｆ＇ｋｗｊ）＋Ｐ（　Ｐ（巧９））　：９Ｐ（巧，）＋Ｐ　ｈ　ｊ）＋　Ｐ（ｋＰ（￣Ｔｆ））　ｓｉｎｃｅ，（０）Ｐ（　）（０）：　尸（巧，）（０）＝０，ｗｅ　ｃａｎ　ｔａｋｅ　ｔｈｅ　ｈ。ｌ。ｍｏＴｐｈｉｃ　ｐ２Ｌｒｔ。ｎｂ。　ｈ　ｓ　ｄｅｓ。ｆ　ｈ。　ａｂｏｖｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｔｏ　ｇｅｔ　ｆＰ（￣ｊｊｇ１＝ｇＰ（￣－Ｔｆ）　Ｂｖ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　８　ｉｎ［４］，，ａｎｄ　ｇ　ａｒｅ　ｌｉｎｅａｒｌｙ　ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　０ｎ　ｔｈｅ。ｔｈｅｒ　ｈａｎｄ，ｂｙ死　（　）＝　（　），ａｎｄ　ｗｅ　ｔａｋｅ　ｔｈｅ　ｃ。。ｈｏｌｏＨｌ（）ｒｐｈｉ　ｐ　ｇ。　Ｐ（瓦　）＝　Ｐ（　ｈ）　Ｓｏ九ａＩｌｄ　ａｒｅ　ｌｉｎｅａｒｌｙ　ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ．Ｔｈｅ　ｐｒｏｏｆ　ｉｓ　ｃｏｍｐｌｅｔｅ・　．　Ｉｎ　ｔｈｅ　ｆ０ｌｌ。ｗｉｎｇ，ｗｅ　ｗｉｌｌ　ｄｅｓｃｒｉｂｅ　ｓｅｖｅｒａｌ　ｓｐｅｃｉａ１　ｓｙｍｂ。１ｓ　ｗｈｉｃｈ　ｉｎｄｕｃｅ　ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ上ｂ。ｐｌｉｆ　ｏｎｅｒａｔｏｒｓ．　ｃ。ｒ。ｌｌａｒｙ　６．１　Ｌｅｔ　ｕ，　ｂｅ　ｎ。ｎｃ。ｎｓｔａｎｔ　ｒｅ　ｖａｌｕｅｄ　ｐｌｕｒｉｈａｒｍ。ｎｉｃ　ｆ１１ｎｃｔｉ。ｎｓ・Ｔｈｅｎ　Ｌ　ａｎｄ　ｃ０ｍｎｍｔｅ　ｏｎ　ｂ２（Ｂｎ）ｉｆ　ａｎｄ　ｏｎｌｙ　ｉｆ　＝　ｕ＋　，ｗｈｅｒｅ　，　∈Ⅱ　‘　Ｐｒ。。ｆ　Ｗｅ。ｎｌｙ　ｎｅｅｄ　ｔ。ｐｒ。ｖｅ　ｔｈｅ　ｎｅｃｅｓｓｉｔｙ．Ｓｉｎｃｅ札，　ａｒｅ　ｎＯｎｃ。璐ｔａｌｎｔ　ｒｅａＬｖａｌｕｅｄ　ｐｌｕｎｈａｒｍ。　ｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｗｅ　ｃａｎ　ｗｒｉｔｅ　ｕ：，＋了，　：－９＋　，ｗｈｅｒｅ，，９∈Ａ２（　），ａｎｄｂ。也，ａｎｄ　ｇ　ａ　ｎｏｎｃｏｎｓｔａｎｔ．　…Ｉｆ　ａｎｄ　ｃ。ｍｍｕｔｅ。ｎ　ｂ２（Ｂｎ），ｔｈｅｎ　ｂｙ　Ｔｈｅ。ｒｅｍ　６．１，，＝　ｇ＋　，ｗｈｅｒｅ　Ｑ，　。ｃ。ｎ　ａｎｔ・ｖｖｅ　ｎ　ｅａ８ｉｌｙ　ｓｅｅ　ｔｈａｔ　ＴＳ＋７Ｔｇ＋￣＝ｒｇ＋￣Ｔｓ＋７　ｉｍｐ１ｉｅ　ｔｈａｔ　（（９／一　）（　马一谒）＝０　Ｓｉｎｃｅ口ｉｓ　ｎｏｎｃｏｎｓｔａｎｔ，　ａｎｄ　ｃ叽ｎ０ｔ　ｃ。ｍｍｕｔｅ　ｂｙ　Ｌｅｍｍａ　５．２　ａｎｄ　Ｔｈｅ。ｒｅｍ　１７　ｎ［３】＿ｓ。　：西，　ｉ，ｅ，Ｑ∈　．Ｔｈｕｓ　：ｆ＋７：ａｇ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