初中数学竞赛辅导 第十一讲 二元一次方程组解的讨论(含答案)

一、内容提要

a1xb1yc11． 二元一次方程组的解的情况有以下三种：

axbyc222① 当

a1b1c1时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） a2b2c2a1b1c1时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） a2b2c2a1b1（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解： a2b2② 当

③ 当

c1b2c2b1xa1b2a2b1  （这个解可用加减消元法求得）

cacay2112a1b2a2b12． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按

二元一次方程整数解的求法进行。

3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当已知数），再解

含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 二、例题

例1. 选择一组a,c值使方程组5xy7

ax2yc① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c时，方程组有无数多解

解比例得a=10, c=14。

② 当 5∶a＝1∶2≠7∶c时，方程组无解。

解得a=10, c≠14。

③当 5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，

即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解。

例2. a取什么值时，方程组xya 的解是正数？

5x3y31解：把a作为已知数，解这个方程组

313a313ax0x022得 ∵ ∴

5a315a31y0y022a解不等式组得a答：当a的取值为6

31113 解集是6a10 3153511a10时，原方程组的解是正数。 53例3. m取何整数值时，方程组2xmy4的解x和y都是整数？

x4y18x1m8解：把m作为已知数，解方程组得

y2m8∵x是整数，∴m－8取8的约数±1，±2，±4，±8。 ∵y是整数，∴m－8取2的约数±1，±2。 取它们的公共部分，m－8＝±1，±2。 解得 m=9，7，10，6。

经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。

例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？ 解：设桃，李，榄橄分别买x, y, z粒,依题意得

xyz100(1) 13x4yz100(2)7由（1）得x= 100－y－z (3)

把（3）代入（2），整理得

y=－200+3z－设

z 7zk(k为整数) 得z=7k, y=－200+20k, x=300－27k 7100k30027k09∵x,y,z都是正整数∴20020k0解得k.10（k是整数）

7k0k.0∴10＜k<11, ∵k是整数， ∴k=11

即x=3（桃）, y=20（李）, z=77（榄橄） (答略)

练习十一

1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况： ① 

2x3yaa12． a取什么值时方程组的解是正数？ 29x6y9a2a2193x5y1x2y32xy3 ② ③

3x5y13x6y94x2y3

3． a取哪些正整数值，方程组

4． 要使方程组

x2y5a的解x和y都是正整数？

3x4y2axkyk的解都是整数， k应取哪些整数值？

x2y15． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，

鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？

练习十一答案:

1. ①无数多个解 ②无解 ③唯一的解 2. a>1 3. a=1 4. –5,-3,-1,1

鸡翁＝45. 鸡母＝15鸡雏＝78

鸡翁＝8鸡翁＝12鸡母＝11鸡母＝4 鸡雏＝81鸡雏＝84