平方根与立方根

平 方 根

〖知识点〗

1.平方根的定义：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。换句话说如果x2=a,那么x就叫做a的平方根。

例如：因为102=100，（-10）2=100，所以100的平方根是±10，记作±100=±10，读作100的平方根等于±10。

【练习】（1）49的平方根是＿＿＿，记作＿＿＿＿＿＿。

16 （2）25的平方根是＿＿＿，记作＿＿＿＿＿＿。

（3）0的平方根是＿＿＿，记作＿＿＿＿＿＿。

（4）-4有没有平方根？为什么？

2.平方根的性质：

（1） 正数有两个平方根，它们互为相反数。

（2） 0的平方根只有一个，是它本身。

（3） 负数没有平方根。

3.算术平方根的定义：

一个正数的正的平方根叫做这个正数的算术平方根。0的算术平方根还是0.

例如：25有两个平方根是±5，5是25的正的平方根，－5是25的负的平方根，其中5叫做25的算术平方根，记作25=5，读作25的算术平方根等于5.

【练习】（1）169的算术平方根是＿＿＿，记作＿＿＿＿＿＿。

（2）36=＿＿＿，－36=＿＿＿，±36=＿＿＿。

（3）0=＿＿＿。

4.式子a的解读：

（1）a中的读作二次根号，前身是

2，2叫做根指数，一般的当根指数是2时，2省略不写；

a中的a叫做被开方数，因为负数没有平方根，所以a为非负数，即a≥0.

（2）±a表示正数a的平方根，a正数a的算术平方根，－a表示正数a的负的平方根，注意它们的区别。

5开平方运算的定义：求一个非负数平方根的运算叫做开平方。

【练习】求下列各式的值：

162（1）81 （2） ±10 （3）－49 （4）－

92

〖练习题〗

1.2的平方根记作＿＿＿＿，算术平方根记作＿＿＿＿。

2.下列说法中，错误的是（ ）

A. 5是5的算术平方根 B. 5的平方根是5

C. －5的平方是5 3.下列各式中，正确的是（ A.36=±6 B.±36=6 4.求下列个数的平方根

（1）16 （2）0.81 5.求下列个数的算术平方根

4（1）169 （2）9 6.求下列各式的值

9（1）1 （2）－16 7.求下列各式中x的值

D. 5的平方根是±5

C.36=6 D.36=－6

1 （3）（－3）2 （4）24 （3）0 （4）5

2121 （3）－12 （4）81

）

9（1）x2=81 （2）x2－64=0 （3）2x2－18=0 （4）（x－1）2=4

8.一个正数的平方根为2a－1和－a＋2，求a的值和这个正数。

立 方 根

〖知识点〗

1.立方根的定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根。换句话说如果x3=a,那么x就叫做a的立方根。

3例如：因为63=216，所以216的立方根是6，记作216=6，读作216的立方根等于6.

【练习】（1）64的立方根是＿＿＿，记作＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

8 （2）125的立方根是＿＿＿，记作＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（3）－0.008的立方根是＿＿＿，记作＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（4）0的立方根是＿＿＿，记作＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

2.立方根的性质：

（1） 正数有一个正的立方根

（2） 负数有一个负的立方根

（3） 0的立方根仍然是0

【练习】求下列个数的立方根

27（1）－27 （2）0.125 （3）8 （4）（－2）3

33.式子a的解读

3a读作三次根号a,其中3是根指数，不能省略；a叫做被开方数，因为任何数都有立方根，所以

a可以是任意实数。

【练习】求下列各式的值

3（1）8 （2）

315510358 （3）－27

4.开立方运算的定义：求一个数立方根的运算叫做开立方。

〖练习题〗

1.下列说法中，正确的是（ ）

A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0

B．一个数的立方根不是正数就是负数

C．负数没有立方根

D．一个数的立方根与这个数同号，0的立方根为0

332.下列说法：①±4是64的立方根；②x=x；③64的立方根为4；④－125没有立方根。其

中正确的个数是（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

3.（－1）125立方根为（ ）

A.1 B.－1 C.5 D.－5

54.343的立方根是＿＿＿＿，－2是＿＿＿＿的立方根。

5．求下列各式中x的值

（1）x3-512=0 （2）8x3+27=0 （3）(x-1)3+125=0

6．已知-3是x+y的一个平方根，x-y的立方根是3，求2x-5y的值。

7．（1）(2)2=＿＿＿；（3）2=＿＿＿；由此可得（a）2=＿＿＿(a≥0)

（2）2=＿＿＿；3=＿＿＿；＿

2222=＿＿＿；

322=＿＿＿；由此可得a=＿＿＿＿

3（3）2=＿＿＿；

3323=＿＿＿；由此可得3a3=＿＿＿

（4）2=＿＿＿；3332=＿＿＿；由此可得

3a=＿＿＿

333333（5）-8=＿＿＿；8=＿＿＿；由此可得-a＿＿＿a

根据你发现的规律计算

133（1）10＋5＋(2)2 （2）329213＋8－6(6)2

〖典型题〗

例1．已知y=x3＋3x＋2,求4x2yx的值。

分析：由已知得，x-3≥0,3-x≥0,∴x=3,y=2,∴4x2yx=4×32×23=288.

22x11x【练习】已知y=＋＋2,求xy的值。

例2．若｜a-2｜＋b3=0,则a2-2b=＿＿＿＿＿

分析：∵｜a-2｜≥0，b3≥0 ∴a-2=0，b-3=0 ∴a=2,b=3 ∴a2-2b=22-2×3=-2

【练习】已知b1＋(a-1)2=0,求a2006＋b2008的值。